imsqrtvalex - Mathbox for Richard Penner

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Theorem imsqrtvalex 44031

Description: Example for imsqrtval 44029. (Contributed by RP, 21-May-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
imsqrtvalex	⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 1

**Proof of Theorem imsqrtvalex**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12431	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
2		5nn0 12435	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ₀
3	1, 2	deccl 12636	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ₀
4	3	nn0cni 12427	. . . 4 ⊢ ;15 ∈ ℂ
5		ax-icn 11099	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6		8cn 12256	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
7	5, 6	mulcli 11153	. . . 4 ⊢ (i · 8) ∈ ℂ
8	4, 7	addcli 11152	. . 3 ⊢ (;15 + (i · 8)) ∈ ℂ
9		imsqrtval 44029	. . 3 ⊢ ((;15 + (i · 8)) ∈ ℂ → (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)))
11		8pos 12271	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
12		0re 11148	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		8re 12255	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
14	12, 13	ltnsymi 11266	. . . . . 6 ⊢ (0 < 8 → ¬ 8 < 0)
15	3	nn0rei 12426	. . . . . . . 8 ⊢ ;15 ∈ ℝ
16	15, 13	crimi 15130	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) = 8
17	16	breq1i 5107	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0 ↔ 8 < 0)
18	14, 17	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ (0 < 8 → ¬ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0)
19	11, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0
20	19	iffalsei 4491	. . 3 ⊢ if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) = 1
21		absreim 15230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2))))
22	15, 13, 21	mp2an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2)))
23	4	sqvali 14117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;15↑2) = (;15 · ;15)
24		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;15 = ;15
25		7nn0 12437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℕ₀
26	4	mullidi 11151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · ;15) = ;15
27		1p1e2 12279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 1) = 2
28		2nn0 12432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
29	25	nn0cni 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 7 ∈ ℂ
30	2	nn0cni 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7p5e12 12698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 + 5) = ;12
32	29, 30, 31	addcomli 11339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 + 7) = ;12
33	1, 2, 25, 26, 27, 28, 32	decaddci 12682	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 · ;15) + 7) = ;22
34	30	mulridi 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (5 · 1) = 5
35	34	oveq1i 7380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((5 · 1) + 2) = (5 + 2)
36		5p2e7 12310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (5 + 2) = 7
37	35, 36	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((5 · 1) + 2) = 7
38		5t5e25 12724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 · 5) = ;25
39	2, 1, 2, 24, 2, 28, 37, 38	decmul2c 12687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 · ;15) = ;75
40	3, 1, 2, 24, 2, 25, 33, 39	decmul1c 12686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;15 · ;15) = ;;225
41	23, 40	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;15↑2) = ;;225
42	6	sqvali 14117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8↑2) = (8 · 8)
43		8t8e64 12742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8 · 8) = ;64
44	42, 43	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8↑2) = ;64
45	41, 44	oveq12i 7382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;;225 + ;64)
46	28, 28	deccl 12636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;22 ∈ ℕ₀
47		6nn0 12436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
48		4nn0 12434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
49		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;225 = ;;225
50		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;64 = ;64
51		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;22 = ;22
52	47	nn0cni 12427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 6 ∈ ℂ
53	28	nn0cni 12427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
54		6p2e8 12313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (6 + 2) = 8
55	52, 53, 54	addcomli 11339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 6) = 8
56	28, 28, 47, 51, 55	decaddi 12681	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;22 + 6) = ;28
57		5p4e9 12312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 + 4) = 9
58	46, 2, 47, 48, 49, 50, 56, 57	decadd 12675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;225 + ;64) = ;;289
59	1, 25	deccl 12636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;17 ∈ ℕ₀
60	59	nn0cni 12427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;17 ∈ ℂ
61	60	sqvali 14117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;17↑2) = (;17 · ;17)
62		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;17 = ;17
63		9nn0 12439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℕ₀
64	1, 1	deccl 12636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;11 ∈ ℕ₀
65	60	mullidi 11151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · ;17) = ;17
66		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;11 = ;11
67		7p1e8 12303	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 + 1) = 8
68	1, 25, 1, 1, 65, 66, 27, 67	decadd 12675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · ;17) + ;11) = ;28
69	29	mulridi 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 · 1) = 7
70	69	oveq1i 7380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
71		7p4e11 12697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (7 + 4) = ;11
72	70, 71	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 · 1) + 4) = ;11
73		7t7e49 12735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 · 7) = ;49
74	25, 1, 25, 62, 63, 48, 72, 73	decmul2c 12687	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · ;17) = ;;119
75	59, 1, 25, 62, 63, 64, 68, 74	decmul1c 12686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;17 · ;17) = ;;289
76	61, 75	eqtr2i 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;289 = (;17↑2)
77	45, 58, 76	3eqtri 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;17↑2)
78	77	fveq2i 6847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;15↑2) + (8↑2))) = (√‘(;17↑2))
79	59	nn0ge0i 12442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ ;17
80	59	nn0rei 12426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;17 ∈ ℝ
81	80	sqrtsqi 15312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ ;17 → (√‘(;17↑2)) = ;17)
82	79, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘(;17↑2)) = ;17
83	22, 78, 82	3eqtri 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = ;17
84	15, 13	crrei 15129	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℜ‘(;15 + (i · 8))) = ;15
85	83, 84	oveq12i 7382	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = (;17 − ;15)
86	1, 2, 28, 24, 36	decaddi 12681	. . . . . . . . 9 ⊢ (;15 + 2) = ;17
87	60, 4, 53, 86	subaddrii 11484	. . . . . . . 8 ⊢ (;17 − ;15) = 2
88	85, 87	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = 2
89	88	oveq1i 7380	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = (2 / 2)
90		2div2e1 12295	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
91	89, 90	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = 1
92	91	fveq2i 6847	. . . 4 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = (√‘1)
93		sqrt1 15208	. . . 4 ⊢ (√‘1) = 1
94	92, 93	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = 1
95	20, 94	oveq12i 7382	. 2 ⊢ (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))) = (1 · 1)
96		1t1e1 12316	. 2 ⊢ (1 · 1) = 1
97	10, 95, 96	3eqtri 2764	1 ⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ifcif 4481 class class class wbr 5100 ‘cfv 6502 (class class class)co 7370 ℂcc 11038 ℝcr 11039 0cc0 11040 1c1 11041 ici 11042 + caddc 11043 · cmul 11045 < clt 11180 ≤ cle 11181 − cmin 11378 -cneg 11379 / cdiv 11808 2c2 12214 4c4 12216 5c5 12217 6c6 12218 7c7 12219 8c8 12220 9c9 12221 cdc 12621 ↑cexp 13998 ℜcre 15034 ℑcim 15035 √csqrt 15170 abscabs 15171

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-sep 5245 ax-nul 5255 ax-pow 5314 ax-pr 5381 ax-un 7692 ax-cnex 11096 ax-resscn 11097 ax-1cn 11098 ax-icn 11099 ax-addcl 11100 ax-addrcl 11101 ax-mulcl 11102 ax-mulrcl 11103 ax-mulcom 11104 ax-addass 11105 ax-mulass 11106 ax-distr 11107 ax-i2m1 11108 ax-1ne0 11109 ax-1rid 11110 ax-rnegex 11111 ax-rrecex 11112 ax-cnre 11113 ax-pre-lttri 11114 ax-pre-lttrn 11115 ax-pre-ltadd 11116 ax-pre-mulgt0 11117 ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3402 df-v 3444 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4288 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4583 df-pr 4585 df-op 4589 df-uni 4866 df-iun 4950 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5529 df-eprel 5534 df-po 5542 df-so 5543 df-fr 5587 df-we 5589 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6269 df-ord 6330 df-on 6331 df-lim 6332 df-suc 6333 df-iota 6458 df-fun 6504 df-fn 6505 df-f 6506 df-f1 6507 df-fo 6508 df-f1o 6509 df-fv 6510 df-riota 7327 df-ov 7373 df-oprab 7374 df-mpo 7375 df-om 7821 df-2nd 7946 df-frecs 8235 df-wrecs 8266 df-recs 8315 df-rdg 8353 df-er 8647 df-en 8898 df-dom 8899 df-sdom 8900 df-sup 9359 df-pnf 11182 df-mnf 11183 df-xr 11184 df-ltxr 11185 df-le 11186 df-sub 11380 df-neg 11381 df-div 11809 df-nn 12160 df-2 12222 df-3 12223 df-4 12224 df-5 12225 df-6 12226 df-7 12227 df-8 12228 df-9 12229 df-n0 12416 df-z 12503 df-dec 12622 df-uz 12766 df-rp 12920 df-seq 13939 df-exp 13999 df-cj 15036 df-re 15037 df-im 15038 df-sqrt 15172 df-abs 15173

This theorem is referenced by: (None)

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