imsqrtvalex - Mathbox for Richard Penner

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Theorem imsqrtvalex 43924

Description: Example for imsqrtval 43922. (Contributed by RP, 21-May-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
imsqrtvalex	⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 1

**Proof of Theorem imsqrtvalex**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12419	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
2		5nn0 12423	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ₀
3	1, 2	deccl 12624	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ₀
4	3	nn0cni 12415	. . . 4 ⊢ ;15 ∈ ℂ
5		ax-icn 11087	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6		8cn 12244	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
7	5, 6	mulcli 11141	. . . 4 ⊢ (i · 8) ∈ ℂ
8	4, 7	addcli 11140	. . 3 ⊢ (;15 + (i · 8)) ∈ ℂ
9		imsqrtval 43922	. . 3 ⊢ ((;15 + (i · 8)) ∈ ℂ → (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)))
11		8pos 12259	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
12		0re 11136	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		8re 12243	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
14	12, 13	ltnsymi 11254	. . . . . 6 ⊢ (0 < 8 → ¬ 8 < 0)
15	3	nn0rei 12414	. . . . . . . 8 ⊢ ;15 ∈ ℝ
16	15, 13	crimi 15118	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) = 8
17	16	breq1i 5104	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0 ↔ 8 < 0)
18	14, 17	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ (0 < 8 → ¬ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0)
19	11, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0
20	19	iffalsei 4488	. . 3 ⊢ if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) = 1
21		absreim 15218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2))))
22	15, 13, 21	mp2an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2)))
23	4	sqvali 14105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;15↑2) = (;15 · ;15)
24		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;15 = ;15
25		7nn0 12425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℕ₀
26	4	mullidi 11139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · ;15) = ;15
27		1p1e2 12267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 1) = 2
28		2nn0 12420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
29	25	nn0cni 12415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 7 ∈ ℂ
30	2	nn0cni 12415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7p5e12 12686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 + 5) = ;12
32	29, 30, 31	addcomli 11327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 + 7) = ;12
33	1, 2, 25, 26, 27, 28, 32	decaddci 12670	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 · ;15) + 7) = ;22
34	30	mulridi 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (5 · 1) = 5
35	34	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((5 · 1) + 2) = (5 + 2)
36		5p2e7 12298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (5 + 2) = 7
37	35, 36	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((5 · 1) + 2) = 7
38		5t5e25 12712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 · 5) = ;25
39	2, 1, 2, 24, 2, 28, 37, 38	decmul2c 12675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 · ;15) = ;75
40	3, 1, 2, 24, 2, 25, 33, 39	decmul1c 12674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;15 · ;15) = ;;225
41	23, 40	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;15↑2) = ;;225
42	6	sqvali 14105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8↑2) = (8 · 8)
43		8t8e64 12730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8 · 8) = ;64
44	42, 43	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8↑2) = ;64
45	41, 44	oveq12i 7370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;;225 + ;64)
46	28, 28	deccl 12624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;22 ∈ ℕ₀
47		6nn0 12424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
48		4nn0 12422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
49		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;225 = ;;225
50		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;64 = ;64
51		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;22 = ;22
52	47	nn0cni 12415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 6 ∈ ℂ
53	28	nn0cni 12415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
54		6p2e8 12301	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (6 + 2) = 8
55	52, 53, 54	addcomli 11327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 6) = 8
56	28, 28, 47, 51, 55	decaddi 12669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;22 + 6) = ;28
57		5p4e9 12300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 + 4) = 9
58	46, 2, 47, 48, 49, 50, 56, 57	decadd 12663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;225 + ;64) = ;;289
59	1, 25	deccl 12624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;17 ∈ ℕ₀
60	59	nn0cni 12415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;17 ∈ ℂ
61	60	sqvali 14105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;17↑2) = (;17 · ;17)
62		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;17 = ;17
63		9nn0 12427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℕ₀
64	1, 1	deccl 12624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;11 ∈ ℕ₀
65	60	mullidi 11139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · ;17) = ;17
66		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;11 = ;11
67		7p1e8 12291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 + 1) = 8
68	1, 25, 1, 1, 65, 66, 27, 67	decadd 12663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · ;17) + ;11) = ;28
69	29	mulridi 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 · 1) = 7
70	69	oveq1i 7368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
71		7p4e11 12685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (7 + 4) = ;11
72	70, 71	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 · 1) + 4) = ;11
73		7t7e49 12723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 · 7) = ;49
74	25, 1, 25, 62, 63, 48, 72, 73	decmul2c 12675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · ;17) = ;;119
75	59, 1, 25, 62, 63, 64, 68, 74	decmul1c 12674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;17 · ;17) = ;;289
76	61, 75	eqtr2i 2759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;289 = (;17↑2)
77	45, 58, 76	3eqtri 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;17↑2)
78	77	fveq2i 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;15↑2) + (8↑2))) = (√‘(;17↑2))
79	59	nn0ge0i 12430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ ;17
80	59	nn0rei 12414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;17 ∈ ℝ
81	80	sqrtsqi 15300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ ;17 → (√‘(;17↑2)) = ;17)
82	79, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘(;17↑2)) = ;17
83	22, 78, 82	3eqtri 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = ;17
84	15, 13	crrei 15117	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℜ‘(;15 + (i · 8))) = ;15
85	83, 84	oveq12i 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = (;17 − ;15)
86	1, 2, 28, 24, 36	decaddi 12669	. . . . . . . . 9 ⊢ (;15 + 2) = ;17
87	60, 4, 53, 86	subaddrii 11472	. . . . . . . 8 ⊢ (;17 − ;15) = 2
88	85, 87	eqtri 2758	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = 2
89	88	oveq1i 7368	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = (2 / 2)
90		2div2e1 12283	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
91	89, 90	eqtri 2758	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = 1
92	91	fveq2i 6836	. . . 4 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = (√‘1)
93		sqrt1 15196	. . . 4 ⊢ (√‘1) = 1
94	92, 93	eqtri 2758	. . 3 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = 1
95	20, 94	oveq12i 7370	. 2 ⊢ (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))) = (1 · 1)
96		1t1e1 12304	. 2 ⊢ (1 · 1) = 1
97	10, 95, 96	3eqtri 2762	1 ⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ifcif 4478 class class class wbr 5097 ‘cfv 6491 (class class class)co 7358 ℂcc 11026 ℝcr 11027 0cc0 11028 1c1 11029 ici 11030 + caddc 11031 · cmul 11033 < clt 11168 ≤ cle 11169 − cmin 11366 -cneg 11367 / cdiv 11796 2c2 12202 4c4 12204 5c5 12205 6c6 12206 7c7 12207 8c8 12208 9c9 12209 cdc 12609 ↑cexp 13986 ℜcre 15022 ℑcim 15023 √csqrt 15158 abscabs 15159

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2183 ax-ext 2707 ax-sep 5240 ax-nul 5250 ax-pow 5309 ax-pr 5376 ax-un 7680 ax-cnex 11084 ax-resscn 11085 ax-1cn 11086 ax-icn 11087 ax-addcl 11088 ax-addrcl 11089 ax-mulcl 11090 ax-mulrcl 11091 ax-mulcom 11092 ax-addass 11093 ax-mulass 11094 ax-distr 11095 ax-i2m1 11096 ax-1ne0 11097 ax-1rid 11098 ax-rnegex 11099 ax-rrecex 11100 ax-cnre 11101 ax-pre-lttri 11102 ax-pre-lttrn 11103 ax-pre-ltadd 11104 ax-pre-mulgt0 11105 ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2538 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2727 df-clel 2810 df-nfc 2884 df-ne 2932 df-nel 3036 df-ral 3051 df-rex 3060 df-rmo 3349 df-reu 3350 df-rab 3399 df-v 3441 df-sbc 3740 df-csb 3849 df-dif 3903 df-un 3905 df-in 3907 df-ss 3917 df-pss 3920 df-nul 4285 df-if 4479 df-pw 4555 df-sn 4580 df-pr 4582 df-op 4586 df-uni 4863 df-iun 4947 df-br 5098 df-opab 5160 df-mpt 5179 df-tr 5205 df-id 5518 df-eprel 5523 df-po 5531 df-so 5532 df-fr 5576 df-we 5578 df-xp 5629 df-rel 5630 df-cnv 5631 df-co 5632 df-dm 5633 df-rn 5634 df-res 5635 df-ima 5636 df-pred 6258 df-ord 6319 df-on 6320 df-lim 6321 df-suc 6322 df-iota 6447 df-fun 6493 df-fn 6494 df-f 6495 df-f1 6496 df-fo 6497 df-f1o 6498 df-fv 6499 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7809 df-2nd 7934 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-er 8635 df-en 8886 df-dom 8887 df-sdom 8888 df-sup 9347 df-pnf 11170 df-mnf 11171 df-xr 11172 df-ltxr 11173 df-le 11174 df-sub 11368 df-neg 11369 df-div 11797 df-nn 12148 df-2 12210 df-3 12211 df-4 12212 df-5 12213 df-6 12214 df-7 12215 df-8 12216 df-9 12217 df-n0 12404 df-z 12491 df-dec 12610 df-uz 12754 df-rp 12908 df-seq 13927 df-exp 13987 df-cj 15024 df-re 15025 df-im 15026 df-sqrt 15160 df-abs 15161

This theorem is referenced by: (None)

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