imsqrtvalex - Mathbox for Richard Penner

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Theorem imsqrtvalex 44400

Description: Example for imsqrtval 44398. (Contributed by RP, 21-May-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
imsqrtvalex	⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 1

**Proof of Theorem imsqrtvalex**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12526	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
2		5nn0 12530	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ₀
3	1, 2	deccl 12732	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ₀
4	3	nn0cni 12522	. . . 4 ⊢ ;15 ∈ ℂ
5		ax-icn 11165	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6		8cn 12344	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
7	5, 6	mulcli 11222	. . . 4 ⊢ (i · 8) ∈ ℂ
8	4, 7	addcli 11221	. . 3 ⊢ (;15 + (i · 8)) ∈ ℂ
9		imsqrtval 44398	. . 3 ⊢ ((;15 + (i · 8)) ∈ ℂ → (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)))
11		8pos 12362	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
12		0re 11216	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		8re 12343	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
14	12, 13	ltnsymi 11335	. . . . . 6 ⊢ (0 < 8 → ¬ 8 < 0)
15	3	nn0rei 12521	. . . . . . . 8 ⊢ ;15 ∈ ℝ
16	15, 13	crimi 15251	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) = 8
17	16	breq1i 5115	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0 ↔ 8 < 0)
18	14, 17	sylnibr 332	. . . . 5 ⊢ (0 < 8 → ¬ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0)
19	11, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0
20	19	iffalsei 4496	. . 3 ⊢ if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) = 1
21		absreim 15351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2))))
22	15, 13, 21	mp2an 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2)))
23	4	sqvali 14223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;15↑2) = (;15 · ;15)
24		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;15 = ;15
25		7nn0 12532	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℕ₀
26	4	mullidi 11220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · ;15) = ;15
27		1p1e2 12370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 1) = 2
28		2nn0 12527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
29	25	nn0cni 12522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 7 ∈ ℂ
30	2	nn0cni 12522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7p5e12 12799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 + 5) = ;12
32	29, 30, 31	addcomli 11408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 + 7) = ;12
33	1, 2, 25, 26, 27, 28, 32	decaddci 12783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 · ;15) + 7) = ;22
34	30	mulridi 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (5 · 1) = 5
35	34	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((5 · 1) + 2) = (5 + 2)
36		5p2e7 12402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (5 + 2) = 7
37	35, 36	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((5 · 1) + 2) = 7
38		5t5e25 12825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 · 5) = ;25
39	2, 1, 2, 24, 2, 28, 37, 38	decmul2c 12788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 · ;15) = ;75
40	3, 1, 2, 24, 2, 25, 33, 39	decmul1c 12787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;15 · ;15) = ;;225
41	23, 40	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;15↑2) = ;;225
42	6	sqvali 14223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8↑2) = (8 · 8)
43		8t8e64 12843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8 · 8) = ;64
44	42, 43	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8↑2) = ;64
45	41, 44	oveq12i 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;;225 + ;64)
46	28, 28	deccl 12732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;22 ∈ ℕ₀
47		6nn0 12531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
48		4nn0 12529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
49		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;225 = ;;225
50		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;64 = ;64
51		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;22 = ;22
52	47	nn0cni 12522	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 6 ∈ ℂ
53	28	nn0cni 12522	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
54		6p2e8 12405	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (6 + 2) = 8
55	52, 53, 54	addcomli 11408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 6) = 8
56	28, 28, 47, 51, 55	decaddi 12782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;22 + 6) = ;28
57		5p4e9 12404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 + 4) = 9
58	46, 2, 47, 48, 49, 50, 56, 57	decadd 12776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;225 + ;64) = ;;289
59	1, 25	deccl 12732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;17 ∈ ℕ₀
60	59	nn0cni 12522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;17 ∈ ℂ
61	60	sqvali 14223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;17↑2) = (;17 · ;17)
62		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;17 = ;17
63		9nn0 12534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℕ₀
64	1, 1	deccl 12732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;11 ∈ ℕ₀
65	60	mullidi 11220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · ;17) = ;17
66		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;11 = ;11
67		7p1e8 12395	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 + 1) = 8
68	1, 25, 1, 1, 65, 66, 27, 67	decadd 12776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · ;17) + ;11) = ;28
69	29	mulridi 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 · 1) = 7
70	69	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
71		7p4e11 12798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (7 + 4) = ;11
72	70, 71	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 · 1) + 4) = ;11
73		7t7e49 12836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 · 7) = ;49
74	25, 1, 25, 62, 63, 48, 72, 73	decmul2c 12788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · ;17) = ;;119
75	59, 1, 25, 62, 63, 64, 68, 74	decmul1c 12787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;17 · ;17) = ;;289
76	61, 75	eqtr2i 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;289 = (;17↑2)
77	45, 58, 76	3eqtri 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;17↑2)
78	77	fveq2i 6884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;15↑2) + (8↑2))) = (√‘(;17↑2))
79	59	nn0ge0i 12537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ ;17
80	59	nn0rei 12521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;17 ∈ ℝ
81	80	sqrtsqi 15433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ ;17 → (√‘(;17↑2)) = ;17)
82	79, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘(;17↑2)) = ;17
83	22, 78, 82	3eqtri 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = ;17
84	15, 13	crrei 15250	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℜ‘(;15 + (i · 8))) = ;15
85	83, 84	oveq12i 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = (;17 − ;15)
86	1, 2, 28, 24, 36	decaddi 12782	. . . . . . . . 9 ⊢ (;15 + 2) = ;17
87	60, 4, 53, 86	subaddrii 11553	. . . . . . . 8 ⊢ (;17 − ;15) = 2
88	85, 87	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = 2
89	88	oveq1i 7422	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = (2 / 2)
90		2div2e1 12387	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
91	89, 90	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = 1
92	91	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = (√‘1)
93		sqrt1 15329	. . . 4 ⊢ (√‘1) = 1
94	92, 93	eqtri 2785	. . 3 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = 1
95	20, 94	oveq12i 7424	. 2 ⊢ (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))) = (1 · 1)
96		1t1e1 12408	. 2 ⊢ (1 · 1) = 1
97	10, 95, 96	3eqtri 2789	1 ⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 1

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 = wceq 1569 ∈ wcel 2142 ifcif 4486 class class class wbr 5108 ‘cfv 6536 (class class class)co 7412 ℂcc 11104 ℝcr 11105 0cc0 11106 1c1 11107 ici 11108 + caddc 11109 · cmul 11111 < clt 11249 ≤ cle 11250 − cmin 11447 -cneg 11448 / cdiv 11877 2c2 12301 4c4 12303 5c5 12304 6c6 12305 7c7 12306 8c8 12307 9c9 12308 cdc 12717 ↑cexp 14104 ℜcre 15155 ℑcim 15156 √csqrt 15291 abscabs 15292

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1824 ax-4 1838 ax-5 1939 ax-6 1996 ax-7 2037 ax-8 2144 ax-9 2152 ax-10 2175 ax-11 2191 ax-12 2212 ax-ext 2734 ax-sep 5256 ax-nul 5268 ax-pow 5335 ax-pr 5403 ax-un 7734 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1103 df-3an 1104 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1809 df-nf 1813 df-sb 2096 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3064 df-ral 3079 df-rex 3089 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3416 df-v 3456 df-sbc 3744 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4487 df-pw 4563 df-sn 4589 df-pr 4591 df-op 4595 df-uni 4872 df-iun 4957 df-br 5109 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5555 df-eprel 5560 df-po 5568 df-so 5569 df-fr 5613 df-we 5615 df-xp 5666 df-rel 5667 df-cnv 5668 df-co 5669 df-dm 5670 df-rn 5671 df-res 5672 df-ima 5673 df-pred 6302 df-ord 6363 df-on 6364 df-lim 6365 df-suc 6366 df-iota 6492 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7369 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7861 df-2nd 7985 df-frecs 8276 df-wrecs 8307 df-recs 8356 df-rdg 8395 df-er 8692 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-sup 9400 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11449 df-neg 11450 df-div 11878 df-nn 12240 df-2 12309 df-3 12310 df-4 12311 df-5 12312 df-6 12313 df-7 12314 df-8 12315 df-9 12316 df-n0 12511 df-z 12598 df-dec 12718 df-uz 12869 df-rp 13023 df-seq 14045 df-exp 14105 df-cj 15157 df-re 15158 df-im 15159 df-sqrt 15293 df-abs 15294

This theorem is used by: (None)

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