Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imsqrtvalex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imsqrtvalex 41908
Description: Example for imsqrtval 41906. (Contributed by RP, 21-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
imsqrtvalex (ℑ‘(√‘(15 + (i · 8)))) = 1

Proof of Theorem imsqrtvalex
StepHypRef Expression
1 1nn0 12429 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
2 5nn0 12433 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12633 . . . . 5 15 ∈ ℕ0
43nn0cni 12425 . . . 4 15 ∈ ℂ
5 ax-icn 11110 . . . . 5 i ∈ ℂ
6 8cn 12250 . . . . 5 8 ∈ ℂ
75, 6mulcli 11162 . . . 4 (i · 8) ∈ ℂ
84, 7addcli 11161 . . 3 (15 + (i · 8)) ∈ ℂ
9 imsqrtval 41906 . . 3 ((15 + (i · 8)) ∈ ℂ → (ℑ‘(√‘(15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2))))
108, 9ax-mp 5 . 2 (ℑ‘(√‘(15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2)))
11 8pos 12265 . . . . 5 0 < 8
12 0re 11157 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
13 8re 12249 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
1412, 13ltnsymi 11274 . . . . . 6 (0 < 8 → ¬ 8 < 0)
153nn0rei 12424 . . . . . . . 8 15 ∈ ℝ
1615, 13crimi 15078 . . . . . . 7 (ℑ‘(15 + (i · 8))) = 8
1716breq1i 5112 . . . . . 6 ((ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0 ↔ 8 < 0)
1814, 17sylnibr 328 . . . . 5 (0 < 8 → ¬ (ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0)
1911, 18ax-mp 5 . . . 4 ¬ (ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0
2019iffalsei 4496 . . 3 if((ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) = 1
21 absreim 15178 . . . . . . . . . . 11 ((15 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → (abs‘(15 + (i · 8))) = (√‘((15↑2) + (8↑2))))
2215, 13, 21mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (abs‘(15 + (i · 8))) = (√‘((15↑2) + (8↑2)))
234sqvali 14084 . . . . . . . . . . . . . 14 (15↑2) = (15 · 15)
24 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 15 = 15
25 7nn0 12435 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 ∈ ℕ0
264mulid2i 11160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 15) = 15
27 1p1e2 12278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) = 2
28 2nn0 12430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
2925nn0cni 12425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 7 ∈ ℂ
302nn0cni 12425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 ∈ ℂ
31 7p5e12 12695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (7 + 5) = 12
3229, 30, 31addcomli 11347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (5 + 7) = 12
331, 2, 25, 26, 27, 28, 32decaddci 12679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 · 15) + 7) = 22
3430mulid1i 11159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (5 · 1) = 5
3534oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((5 · 1) + 2) = (5 + 2)
36 5p2e7 12309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (5 + 2) = 7
3735, 36eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((5 · 1) + 2) = 7
38 5t5e25 12721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (5 · 5) = 25
392, 1, 2, 24, 2, 28, 37, 38decmul2c 12684 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 · 15) = 75
403, 1, 2, 24, 2, 25, 33, 39decmul1c 12683 . . . . . . . . . . . . . 14 (15 · 15) = 225
4123, 40eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . 13 (15↑2) = 225
426sqvali 14084 . . . . . . . . . . . . . 14 (8↑2) = (8 · 8)
43 8t8e64 12739 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 · 8) = 64
4442, 43eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . 13 (8↑2) = 64
4541, 44oveq12i 7369 . . . . . . . . . . . 12 ((15↑2) + (8↑2)) = (225 + 64)
4628, 28deccl 12633 . . . . . . . . . . . . 13 22 ∈ ℕ0
47 6nn0 12434 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ0
48 4nn0 12432 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℕ0
49 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 225 = 225
50 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 64 = 64
51 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 22 = 22
5247nn0cni 12425 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ∈ ℂ
5328nn0cni 12425 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
54 6p2e8 12312 . . . . . . . . . . . . . . 15 (6 + 2) = 8
5552, 53, 54addcomli 11347 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 6) = 8
5628, 28, 47, 51, 55decaddi 12678 . . . . . . . . . . . . 13 (22 + 6) = 28
57 5p4e9 12311 . . . . . . . . . . . . 13 (5 + 4) = 9
5846, 2, 47, 48, 49, 50, 56, 57decadd 12672 . . . . . . . . . . . 12 (225 + 64) = 289
591, 25deccl 12633 . . . . . . . . . . . . . . 15 17 ∈ ℕ0
6059nn0cni 12425 . . . . . . . . . . . . . 14 17 ∈ ℂ
6160sqvali 14084 . . . . . . . . . . . . 13 (17↑2) = (17 · 17)
62 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 17 = 17
63 9nn0 12437 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℕ0
641, 1deccl 12633 . . . . . . . . . . . . . 14 11 ∈ ℕ0
6560mulid2i 11160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 17) = 17
66 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 11 = 11
67 7p1e8 12302 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 + 1) = 8
681, 25, 1, 1, 65, 66, 27, 67decadd 12672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 17) + 11) = 28
6929mulid1i 11159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (7 · 1) = 7
7069oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
71 7p4e11 12694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (7 + 4) = 11
7270, 71eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((7 · 1) + 4) = 11
73 7t7e49 12732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 · 7) = 49
7425, 1, 25, 62, 63, 48, 72, 73decmul2c 12684 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 · 17) = 119
7559, 1, 25, 62, 63, 64, 68, 74decmul1c 12683 . . . . . . . . . . . . 13 (17 · 17) = 289
7661, 75eqtr2i 2765 . . . . . . . . . . . 12 289 = (17↑2)
7745, 58, 763eqtri 2768 . . . . . . . . . . 11 ((15↑2) + (8↑2)) = (17↑2)
7877fveq2i 6845 . . . . . . . . . 10 (√‘((15↑2) + (8↑2))) = (√‘(17↑2))
7959nn0ge0i 12440 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 17
8059nn0rei 12424 . . . . . . . . . . . 12 17 ∈ ℝ
8180sqrtsqi 15259 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ 17 → (√‘(17↑2)) = 17)
8279, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (√‘(17↑2)) = 17
8322, 78, 823eqtri 2768 . . . . . . . . 9 (abs‘(15 + (i · 8))) = 17
8415, 13crrei 15077 . . . . . . . . 9 (ℜ‘(15 + (i · 8))) = 15
8583, 84oveq12i 7369 . . . . . . . 8 ((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) = (17 − 15)
861, 2, 28, 24, 36decaddi 12678 . . . . . . . . 9 (15 + 2) = 17
8760, 4, 53, 86subaddrii 11490 . . . . . . . 8 (17 − 15) = 2
8885, 87eqtri 2764 . . . . . . 7 ((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) = 2
8988oveq1i 7367 . . . . . 6 (((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2) = (2 / 2)
90 2div2e1 12294 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
9189, 90eqtri 2764 . . . . 5 (((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2) = 1
9291fveq2i 6845 . . . 4 (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2)) = (√‘1)
93 sqrt1 15156 . . . 4 (√‘1) = 1
9492, 93eqtri 2764 . . 3 (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2)) = 1
9520, 94oveq12i 7369 . 2 (if((ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2))) = (1 · 1)
96 1t1e1 12315 . 2 (1 · 1) = 1
9710, 95, 963eqtri 2768 1 (ℑ‘(√‘(15 + (i · 8)))) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541  wcel 2106  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  4c4 12210  5c5 12211  6c6 12212  7c7 12213  8c8 12214  9c9 12215  cdc 12618  cexp 13967  cre 14982  cim 14983  csqrt 15118  abscabs 15119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator