imsqrtvalex - Mathbox for Richard Penner

	Mathbox for Richard Penner		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > imsqrtvalex		Structured version Visualization version GIF version

Theorem imsqrtvalex 43635

Description: Example for imsqrtval 43633. (Contributed by RP, 21-May-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
imsqrtvalex	⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 1

**Proof of Theorem imsqrtvalex**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12458	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
2		5nn0 12462	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ₀
3	1, 2	deccl 12664	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ₀
4	3	nn0cni 12454	. . . 4 ⊢ ;15 ∈ ℂ
5		ax-icn 11127	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6		8cn 12283	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
7	5, 6	mulcli 11181	. . . 4 ⊢ (i · 8) ∈ ℂ
8	4, 7	addcli 11180	. . 3 ⊢ (;15 + (i · 8)) ∈ ℂ
9		imsqrtval 43633	. . 3 ⊢ ((;15 + (i · 8)) ∈ ℂ → (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)))
11		8pos 12298	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
12		0re 11176	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		8re 12282	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
14	12, 13	ltnsymi 11293	. . . . . 6 ⊢ (0 < 8 → ¬ 8 < 0)
15	3	nn0rei 12453	. . . . . . . 8 ⊢ ;15 ∈ ℝ
16	15, 13	crimi 15159	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) = 8
17	16	breq1i 5114	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0 ↔ 8 < 0)
18	14, 17	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ (0 < 8 → ¬ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0)
19	11, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0
20	19	iffalsei 4498	. . 3 ⊢ if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) = 1
21		absreim 15259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2))))
22	15, 13, 21	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2)))
23	4	sqvali 14145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;15↑2) = (;15 · ;15)
24		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;15 = ;15
25		7nn0 12464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℕ₀
26	4	mullidi 11179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · ;15) = ;15
27		1p1e2 12306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 1) = 2
28		2nn0 12459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
29	25	nn0cni 12454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 7 ∈ ℂ
30	2	nn0cni 12454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7p5e12 12726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 + 5) = ;12
32	29, 30, 31	addcomli 11366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 + 7) = ;12
33	1, 2, 25, 26, 27, 28, 32	decaddci 12710	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 · ;15) + 7) = ;22
34	30	mulridi 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (5 · 1) = 5
35	34	oveq1i 7397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((5 · 1) + 2) = (5 + 2)
36		5p2e7 12337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (5 + 2) = 7
37	35, 36	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((5 · 1) + 2) = 7
38		5t5e25 12752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 · 5) = ;25
39	2, 1, 2, 24, 2, 28, 37, 38	decmul2c 12715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 · ;15) = ;75
40	3, 1, 2, 24, 2, 25, 33, 39	decmul1c 12714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;15 · ;15) = ;;225
41	23, 40	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;15↑2) = ;;225
42	6	sqvali 14145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8↑2) = (8 · 8)
43		8t8e64 12770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8 · 8) = ;64
44	42, 43	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8↑2) = ;64
45	41, 44	oveq12i 7399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;;225 + ;64)
46	28, 28	deccl 12664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;22 ∈ ℕ₀
47		6nn0 12463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
48		4nn0 12461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
49		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;225 = ;;225
50		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;64 = ;64
51		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;22 = ;22
52	47	nn0cni 12454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 6 ∈ ℂ
53	28	nn0cni 12454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
54		6p2e8 12340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (6 + 2) = 8
55	52, 53, 54	addcomli 11366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 6) = 8
56	28, 28, 47, 51, 55	decaddi 12709	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;22 + 6) = ;28
57		5p4e9 12339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 + 4) = 9
58	46, 2, 47, 48, 49, 50, 56, 57	decadd 12703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;225 + ;64) = ;;289
59	1, 25	deccl 12664	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;17 ∈ ℕ₀
60	59	nn0cni 12454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;17 ∈ ℂ
61	60	sqvali 14145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;17↑2) = (;17 · ;17)
62		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;17 = ;17
63		9nn0 12466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℕ₀
64	1, 1	deccl 12664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;11 ∈ ℕ₀
65	60	mullidi 11179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · ;17) = ;17
66		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;11 = ;11
67		7p1e8 12330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 + 1) = 8
68	1, 25, 1, 1, 65, 66, 27, 67	decadd 12703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · ;17) + ;11) = ;28
69	29	mulridi 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 · 1) = 7
70	69	oveq1i 7397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
71		7p4e11 12725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (7 + 4) = ;11
72	70, 71	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 · 1) + 4) = ;11
73		7t7e49 12763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 · 7) = ;49
74	25, 1, 25, 62, 63, 48, 72, 73	decmul2c 12715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · ;17) = ;;119
75	59, 1, 25, 62, 63, 64, 68, 74	decmul1c 12714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;17 · ;17) = ;;289
76	61, 75	eqtr2i 2753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;289 = (;17↑2)
77	45, 58, 76	3eqtri 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;17↑2)
78	77	fveq2i 6861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;15↑2) + (8↑2))) = (√‘(;17↑2))
79	59	nn0ge0i 12469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ ;17
80	59	nn0rei 12453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;17 ∈ ℝ
81	80	sqrtsqi 15341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ ;17 → (√‘(;17↑2)) = ;17)
82	79, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘(;17↑2)) = ;17
83	22, 78, 82	3eqtri 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = ;17
84	15, 13	crrei 15158	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℜ‘(;15 + (i · 8))) = ;15
85	83, 84	oveq12i 7399	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = (;17 − ;15)
86	1, 2, 28, 24, 36	decaddi 12709	. . . . . . . . 9 ⊢ (;15 + 2) = ;17
87	60, 4, 53, 86	subaddrii 11511	. . . . . . . 8 ⊢ (;17 − ;15) = 2
88	85, 87	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = 2
89	88	oveq1i 7397	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = (2 / 2)
90		2div2e1 12322	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
91	89, 90	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = 1
92	91	fveq2i 6861	. . . 4 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = (√‘1)
93		sqrt1 15237	. . . 4 ⊢ (√‘1) = 1
94	92, 93	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = 1
95	20, 94	oveq12i 7399	. 2 ⊢ (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))) = (1 · 1)
96		1t1e1 12343	. 2 ⊢ (1 · 1) = 1
97	10, 95, 96	3eqtri 2756	1 ⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ifcif 4488 class class class wbr 5107 ‘cfv 6511 (class class class)co 7387 ℂcc 11066 ℝcr 11067 0cc0 11068 1c1 11069 ici 11070 + caddc 11071 · cmul 11073 < clt 11208 ≤ cle 11209 − cmin 11405 -cneg 11406 / cdiv 11835 2c2 12241 4c4 12243 5c5 12244 6c6 12245 7c7 12246 8c8 12247 9c9 12248 cdc 12649 ↑cexp 14026 ℜcre 15063 ℑcim 15064 √csqrt 15199 abscabs 15200

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145 ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4872 df-iun 4957 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-om 7843 df-2nd 7969 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-er 8671 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-sup 9393 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-div 11836 df-nn 12187 df-2 12249 df-3 12250 df-4 12251 df-5 12252 df-6 12253 df-7 12254 df-8 12255 df-9 12256 df-n0 12443 df-z 12530 df-dec 12650 df-uz 12794 df-rp 12952 df-seq 13967 df-exp 14027 df-cj 15065 df-re 15066 df-im 15067 df-sqrt 15201 df-abs 15202

This theorem is referenced by: (None)

W3C validator