Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imsqrtvalex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imsqrtvalex 43664
Description: Example for imsqrtval 43662. (Contributed by RP, 21-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
imsqrtvalex (ℑ‘(√‘(15 + (i · 8)))) = 1

Proof of Theorem imsqrtvalex
StepHypRef Expression
1 1nn0 12544 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
2 5nn0 12548 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12750 . . . . 5 15 ∈ ℕ0
43nn0cni 12540 . . . 4 15 ∈ ℂ
5 ax-icn 11215 . . . . 5 i ∈ ℂ
6 8cn 12364 . . . . 5 8 ∈ ℂ
75, 6mulcli 11269 . . . 4 (i · 8) ∈ ℂ
84, 7addcli 11268 . . 3 (15 + (i · 8)) ∈ ℂ
9 imsqrtval 43662 . . 3 ((15 + (i · 8)) ∈ ℂ → (ℑ‘(√‘(15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2))))
108, 9ax-mp 5 . 2 (ℑ‘(√‘(15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2)))
11 8pos 12379 . . . . 5 0 < 8
12 0re 11264 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
13 8re 12363 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
1412, 13ltnsymi 11381 . . . . . 6 (0 < 8 → ¬ 8 < 0)
153nn0rei 12539 . . . . . . . 8 15 ∈ ℝ
1615, 13crimi 15233 . . . . . . 7 (ℑ‘(15 + (i · 8))) = 8
1716breq1i 5149 . . . . . 6 ((ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0 ↔ 8 < 0)
1814, 17sylnibr 329 . . . . 5 (0 < 8 → ¬ (ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0)
1911, 18ax-mp 5 . . . 4 ¬ (ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0
2019iffalsei 4534 . . 3 if((ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) = 1
21 absreim 15333 . . . . . . . . . . 11 ((15 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → (abs‘(15 + (i · 8))) = (√‘((15↑2) + (8↑2))))
2215, 13, 21mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (abs‘(15 + (i · 8))) = (√‘((15↑2) + (8↑2)))
234sqvali 14220 . . . . . . . . . . . . . 14 (15↑2) = (15 · 15)
24 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 15 = 15
25 7nn0 12550 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 ∈ ℕ0
264mullidi 11267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 15) = 15
27 1p1e2 12392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) = 2
28 2nn0 12545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
2925nn0cni 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 7 ∈ ℂ
302nn0cni 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 ∈ ℂ
31 7p5e12 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (7 + 5) = 12
3229, 30, 31addcomli 11454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (5 + 7) = 12
331, 2, 25, 26, 27, 28, 32decaddci 12796 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 · 15) + 7) = 22
3430mulridi 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (5 · 1) = 5
3534oveq1i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((5 · 1) + 2) = (5 + 2)
36 5p2e7 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (5 + 2) = 7
3735, 36eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((5 · 1) + 2) = 7
38 5t5e25 12838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (5 · 5) = 25
392, 1, 2, 24, 2, 28, 37, 38decmul2c 12801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 · 15) = 75
403, 1, 2, 24, 2, 25, 33, 39decmul1c 12800 . . . . . . . . . . . . . 14 (15 · 15) = 225
4123, 40eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . 13 (15↑2) = 225
426sqvali 14220 . . . . . . . . . . . . . 14 (8↑2) = (8 · 8)
43 8t8e64 12856 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 · 8) = 64
4442, 43eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . 13 (8↑2) = 64
4541, 44oveq12i 7444 . . . . . . . . . . . 12 ((15↑2) + (8↑2)) = (225 + 64)
4628, 28deccl 12750 . . . . . . . . . . . . 13 22 ∈ ℕ0
47 6nn0 12549 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ0
48 4nn0 12547 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℕ0
49 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 225 = 225
50 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 64 = 64
51 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 22 = 22
5247nn0cni 12540 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ∈ ℂ
5328nn0cni 12540 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
54 6p2e8 12426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (6 + 2) = 8
5552, 53, 54addcomli 11454 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 6) = 8
5628, 28, 47, 51, 55decaddi 12795 . . . . . . . . . . . . 13 (22 + 6) = 28
57 5p4e9 12425 . . . . . . . . . . . . 13 (5 + 4) = 9
5846, 2, 47, 48, 49, 50, 56, 57decadd 12789 . . . . . . . . . . . 12 (225 + 64) = 289
591, 25deccl 12750 . . . . . . . . . . . . . . 15 17 ∈ ℕ0
6059nn0cni 12540 . . . . . . . . . . . . . 14 17 ∈ ℂ
6160sqvali 14220 . . . . . . . . . . . . 13 (17↑2) = (17 · 17)
62 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 17 = 17
63 9nn0 12552 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℕ0
641, 1deccl 12750 . . . . . . . . . . . . . 14 11 ∈ ℕ0
6560mullidi 11267 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 17) = 17
66 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 11 = 11
67 7p1e8 12416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 + 1) = 8
681, 25, 1, 1, 65, 66, 27, 67decadd 12789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 17) + 11) = 28
6929mulridi 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (7 · 1) = 7
7069oveq1i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
71 7p4e11 12811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (7 + 4) = 11
7270, 71eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((7 · 1) + 4) = 11
73 7t7e49 12849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 · 7) = 49
7425, 1, 25, 62, 63, 48, 72, 73decmul2c 12801 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 · 17) = 119
7559, 1, 25, 62, 63, 64, 68, 74decmul1c 12800 . . . . . . . . . . . . 13 (17 · 17) = 289
7661, 75eqtr2i 2765 . . . . . . . . . . . 12 289 = (17↑2)
7745, 58, 763eqtri 2768 . . . . . . . . . . 11 ((15↑2) + (8↑2)) = (17↑2)
7877fveq2i 6908 . . . . . . . . . 10 (√‘((15↑2) + (8↑2))) = (√‘(17↑2))
7959nn0ge0i 12555 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 17
8059nn0rei 12539 . . . . . . . . . . . 12 17 ∈ ℝ
8180sqrtsqi 15414 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ 17 → (√‘(17↑2)) = 17)
8279, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (√‘(17↑2)) = 17
8322, 78, 823eqtri 2768 . . . . . . . . 9 (abs‘(15 + (i · 8))) = 17
8415, 13crrei 15232 . . . . . . . . 9 (ℜ‘(15 + (i · 8))) = 15
8583, 84oveq12i 7444 . . . . . . . 8 ((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) = (17 − 15)
861, 2, 28, 24, 36decaddi 12795 . . . . . . . . 9 (15 + 2) = 17
8760, 4, 53, 86subaddrii 11599 . . . . . . . 8 (17 − 15) = 2
8885, 87eqtri 2764 . . . . . . 7 ((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) = 2
8988oveq1i 7442 . . . . . 6 (((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2) = (2 / 2)
90 2div2e1 12408 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
9189, 90eqtri 2764 . . . . 5 (((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2) = 1
9291fveq2i 6908 . . . 4 (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2)) = (√‘1)
93 sqrt1 15311 . . . 4 (√‘1) = 1
9492, 93eqtri 2764 . . 3 (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2)) = 1
9520, 94oveq12i 7444 . 2 (if((ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2))) = (1 · 1)
96 1t1e1 12429 . 2 (1 · 1) = 1
9710, 95, 963eqtri 2768 1 (ℑ‘(√‘(15 + (i · 8)))) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1539  wcel 2107  ifcif 4524   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157  ici 11158   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  2c2 12322  4c4 12324  5c5 12325  6c6 12326  7c7 12327  8c8 12328  9c9 12329  cdc 12735  cexp 14103  cre 15137  cim 15138  csqrt 15273  abscabs 15274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-rp 13036  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator