Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imsqrtvalex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imsqrtvalex 40263
Description: Example for imsqrtval 40261. (Contributed by RP, 21-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
imsqrtvalex (ℑ‘(√‘(15 + (i · 8)))) = 1

Proof of Theorem imsqrtvalex
StepHypRef Expression
1 1nn0 11913 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
2 5nn0 11917 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12113 . . . . 5 15 ∈ ℕ0
43nn0cni 11909 . . . 4 15 ∈ ℂ
5 ax-icn 10595 . . . . 5 i ∈ ℂ
6 8cn 11734 . . . . 5 8 ∈ ℂ
75, 6mulcli 10647 . . . 4 (i · 8) ∈ ℂ
84, 7addcli 10646 . . 3 (15 + (i · 8)) ∈ ℂ
9 imsqrtval 40261 . . 3 ((15 + (i · 8)) ∈ ℂ → (ℑ‘(√‘(15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2))))
108, 9ax-mp 5 . 2 (ℑ‘(√‘(15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2)))
11 8pos 11749 . . . . 5 0 < 8
12 0re 10642 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
13 8re 11733 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
1412, 13ltnsymi 10758 . . . . . 6 (0 < 8 → ¬ 8 < 0)
153nn0rei 11908 . . . . . . . 8 15 ∈ ℝ
1615, 13crimi 14555 . . . . . . 7 (ℑ‘(15 + (i · 8))) = 8
1716breq1i 5060 . . . . . 6 ((ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0 ↔ 8 < 0)
1814, 17sylnibr 332 . . . . 5 (0 < 8 → ¬ (ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0)
1911, 18ax-mp 5 . . . 4 ¬ (ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0
2019iffalsei 4461 . . 3 if((ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) = 1
21 absreim 14656 . . . . . . . . . . 11 ((15 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → (abs‘(15 + (i · 8))) = (√‘((15↑2) + (8↑2))))
2215, 13, 21mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (abs‘(15 + (i · 8))) = (√‘((15↑2) + (8↑2)))
234sqvali 13551 . . . . . . . . . . . . . 14 (15↑2) = (15 · 15)
24 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 15 = 15
25 7nn0 11919 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 ∈ ℕ0
264mulid2i 10645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 15) = 15
27 1p1e2 11762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) = 2
28 2nn0 11914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
2925nn0cni 11909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 7 ∈ ℂ
302nn0cni 11909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 ∈ ℂ
31 7p5e12 12175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (7 + 5) = 12
3229, 30, 31addcomli 10831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (5 + 7) = 12
331, 2, 25, 26, 27, 28, 32decaddci 12159 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 · 15) + 7) = 22
3430mulid1i 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (5 · 1) = 5
3534oveq1i 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((5 · 1) + 2) = (5 + 2)
36 5p2e7 11793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (5 + 2) = 7
3735, 36eqtri 2847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((5 · 1) + 2) = 7
38 5t5e25 12201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (5 · 5) = 25
392, 1, 2, 24, 2, 28, 37, 38decmul2c 12164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 · 15) = 75
403, 1, 2, 24, 2, 25, 33, 39decmul1c 12163 . . . . . . . . . . . . . 14 (15 · 15) = 225
4123, 40eqtri 2847 . . . . . . . . . . . . 13 (15↑2) = 225
426sqvali 13551 . . . . . . . . . . . . . 14 (8↑2) = (8 · 8)
43 8t8e64 12219 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 · 8) = 64
4442, 43eqtri 2847 . . . . . . . . . . . . 13 (8↑2) = 64
4541, 44oveq12i 7162 . . . . . . . . . . . 12 ((15↑2) + (8↑2)) = (225 + 64)
4628, 28deccl 12113 . . . . . . . . . . . . 13 22 ∈ ℕ0
47 6nn0 11918 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ0
48 4nn0 11916 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℕ0
49 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 225 = 225
50 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 64 = 64
51 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 22 = 22
5247nn0cni 11909 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ∈ ℂ
5328nn0cni 11909 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
54 6p2e8 11796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (6 + 2) = 8
5552, 53, 54addcomli 10831 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 6) = 8
5628, 28, 47, 51, 55decaddi 12158 . . . . . . . . . . . . 13 (22 + 6) = 28
57 5p4e9 11795 . . . . . . . . . . . . 13 (5 + 4) = 9
5846, 2, 47, 48, 49, 50, 56, 57decadd 12152 . . . . . . . . . . . 12 (225 + 64) = 289
591, 25deccl 12113 . . . . . . . . . . . . . . 15 17 ∈ ℕ0
6059nn0cni 11909 . . . . . . . . . . . . . 14 17 ∈ ℂ
6160sqvali 13551 . . . . . . . . . . . . 13 (17↑2) = (17 · 17)
62 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 17 = 17
63 9nn0 11921 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℕ0
641, 1deccl 12113 . . . . . . . . . . . . . 14 11 ∈ ℕ0
6560mulid2i 10645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 17) = 17
66 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 11 = 11
67 7p1e8 11786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 + 1) = 8
681, 25, 1, 1, 65, 66, 27, 67decadd 12152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 17) + 11) = 28
6929mulid1i 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (7 · 1) = 7
7069oveq1i 7160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
71 7p4e11 12174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (7 + 4) = 11
7270, 71eqtri 2847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((7 · 1) + 4) = 11
73 7t7e49 12212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 · 7) = 49
7425, 1, 25, 62, 63, 48, 72, 73decmul2c 12164 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 · 17) = 119
7559, 1, 25, 62, 63, 64, 68, 74decmul1c 12163 . . . . . . . . . . . . 13 (17 · 17) = 289
7661, 75eqtr2i 2848 . . . . . . . . . . . 12 289 = (17↑2)
7745, 58, 763eqtri 2851 . . . . . . . . . . 11 ((15↑2) + (8↑2)) = (17↑2)
7877fveq2i 6665 . . . . . . . . . 10 (√‘((15↑2) + (8↑2))) = (√‘(17↑2))
7959nn0ge0i 11924 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 17
8059nn0rei 11908 . . . . . . . . . . . 12 17 ∈ ℝ
8180sqrtsqi 14737 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ 17 → (√‘(17↑2)) = 17)
8279, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (√‘(17↑2)) = 17
8322, 78, 823eqtri 2851 . . . . . . . . 9 (abs‘(15 + (i · 8))) = 17
8415, 13crrei 14554 . . . . . . . . 9 (ℜ‘(15 + (i · 8))) = 15
8583, 84oveq12i 7162 . . . . . . . 8 ((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) = (17 − 15)
861, 2, 28, 24, 36decaddi 12158 . . . . . . . . 9 (15 + 2) = 17
8760, 4, 53, 86subaddrii 10974 . . . . . . . 8 (17 − 15) = 2
8885, 87eqtri 2847 . . . . . . 7 ((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) = 2
8988oveq1i 7160 . . . . . 6 (((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2) = (2 / 2)
90 2div2e1 11778 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
9189, 90eqtri 2847 . . . . 5 (((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2) = 1
9291fveq2i 6665 . . . 4 (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2)) = (√‘1)
93 sqrt1 14634 . . . 4 (√‘1) = 1
9492, 93eqtri 2847 . . 3 (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2)) = 1
9520, 94oveq12i 7162 . 2 (if((ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2))) = (1 · 1)
96 1t1e1 11799 . 2 (1 · 1) = 1
9710, 95, 963eqtri 2851 1 (ℑ‘(√‘(15 + (i · 8)))) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1538  wcel 2115  ifcif 4451   class class class wbr 5053  cfv 6344  (class class class)co 7150  cc 10534  cr 10535  0cc0 10536  1c1 10537  ici 10538   + caddc 10539   · cmul 10541   < clt 10674  cle 10675  cmin 10869  -cneg 10870   / cdiv 11296  2c2 11692  4c4 11694  5c5 11695  6c6 11696  7c7 11697  8c8 11698  9c9 11699  cdc 12098  cexp 13437  cre 14459  cim 14460  csqrt 14595  abscabs 14596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-sup 8904  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-rp 12390  df-seq 13377  df-exp 13438  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator