imsqrtvalex - Mathbox for Richard Penner

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Theorem imsqrtvalex 44836

Description: Example for imsqrtval 44834. (Contributed by RP, 21-May-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
imsqrtvalex	⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 1

**Proof of Theorem imsqrtvalex**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12646	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
2		5nn0 12650	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ₀
3	1, 2	deccl 12853	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ₀
4	3	nn0cni 12642	. . . 4 ⊢ ;15 ∈ ℂ
5		ax-icn 11283	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6		8cn 12464	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
7	5, 6	mulcli 11340	. . . 4 ⊢ (i · 8) ∈ ℂ
8	4, 7	addcli 11339	. . 3 ⊢ (;15 + (i · 8)) ∈ ℂ
9		imsqrtval 44834	. . 3 ⊢ ((;15 + (i · 8)) ∈ ℂ → (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)))
11		8pos 12482	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
12		0re 11334	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		8re 12463	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
14	12, 13	ltnsymi 11453	. . . . . 6 ⊢ (0 < 8 → ¬ 8 < 0)
15	3	nn0rei 12641	. . . . . . . 8 ⊢ ;15 ∈ ℝ
16	15, 13	crimi 15386	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) = 8
17	16	breq1i 5113	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0 ↔ 8 < 0)
18	14, 17	sylnibr 332	. . . . 5 ⊢ (0 < 8 → ¬ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0)
19	11, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0
20	19	iffalsei 4495	. . 3 ⊢ if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) = 1
21		absreim 15486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2))))
22	15, 13, 21	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2)))
23	4	sqvali 14347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;15↑2) = (;15 · ;15)
24		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;15 = ;15
25		7nn0 12652	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℕ₀
26	4	mullidi 11338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · ;15) = ;15
27		1p1e2 12490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 1) = 2
28		2nn0 12647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
29	25	nn0cni 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 7 ∈ ℂ
30	2	nn0cni 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7p5e12 12920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 + 5) = ;12
32	29, 30, 31	addcomli 11526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 + 7) = ;12
33	1, 2, 25, 26, 27, 28, 32	decaddci 12904	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 · ;15) + 7) = ;22
34	30	mulridi 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (5 · 1) = 5
35	34	oveq1i 7450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((5 · 1) + 2) = (5 + 2)
36		5p2e7 12522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (5 + 2) = 7
37	35, 36	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((5 · 1) + 2) = 7
38		5t5e25 12946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 · 5) = ;25
39	2, 1, 2, 24, 2, 28, 37, 38	decmul2c 12909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 · ;15) = ;75
40	3, 1, 2, 24, 2, 25, 33, 39	decmul1c 12908	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;15 · ;15) = ;;225
41	23, 40	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;15↑2) = ;;225
42	6	sqvali 14347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8↑2) = (8 · 8)
43		8t8e64 12964	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8 · 8) = ;64
44	42, 43	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8↑2) = ;64
45	41, 44	oveq12i 7452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;;225 + ;64)
46	28, 28	deccl 12853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;22 ∈ ℕ₀
47		6nn0 12651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
48		4nn0 12649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
49		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;225 = ;;225
50		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;64 = ;64
51		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;22 = ;22
52	47	nn0cni 12642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 6 ∈ ℂ
53	28	nn0cni 12642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
54		6p2e8 12525	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (6 + 2) = 8
55	52, 53, 54	addcomli 11526	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 6) = 8
56	28, 28, 47, 51, 55	decaddi 12903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;22 + 6) = ;28
57		5p4e9 12524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 + 4) = 9
58	46, 2, 47, 48, 49, 50, 56, 57	decadd 12897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;225 + ;64) = ;;289
59	1, 25	deccl 12853	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;17 ∈ ℕ₀
60	59	nn0cni 12642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;17 ∈ ℂ
61	60	sqvali 14347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;17↑2) = (;17 · ;17)
62		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;17 = ;17
63		9nn0 12654	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℕ₀
64	1, 1	deccl 12853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;11 ∈ ℕ₀
65	60	mullidi 11338	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · ;17) = ;17
66		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;11 = ;11
67		7p1e8 12515	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 + 1) = 8
68	1, 25, 1, 1, 65, 66, 27, 67	decadd 12897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · ;17) + ;11) = ;28
69	29	mulridi 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 · 1) = 7
70	69	oveq1i 7450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
71		7p4e11 12919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (7 + 4) = ;11
72	70, 71	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 · 1) + 4) = ;11
73		7t7e49 12957	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 · 7) = ;49
74	25, 1, 25, 62, 63, 48, 72, 73	decmul2c 12909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · ;17) = ;;119
75	59, 1, 25, 62, 63, 64, 68, 74	decmul1c 12908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;17 · ;17) = ;;289
76	61, 75	eqtr2i 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;289 = (;17↑2)
77	45, 58, 76	3eqtri 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;17↑2)
78	77	fveq2i 6908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;15↑2) + (8↑2))) = (√‘(;17↑2))
79	59	nn0ge0i 12657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ ;17
80	59	nn0rei 12641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;17 ∈ ℝ
81	80	sqrtsqi 15568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ ;17 → (√‘(;17↑2)) = ;17)
82	79, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘(;17↑2)) = ;17
83	22, 78, 82	3eqtri 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = ;17
84	15, 13	crrei 15385	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℜ‘(;15 + (i · 8))) = ;15
85	83, 84	oveq12i 7452	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = (;17 − ;15)
86	1, 2, 28, 24, 36	decaddi 12903	. . . . . . . . 9 ⊢ (;15 + 2) = ;17
87	60, 4, 53, 86	subaddrii 11671	. . . . . . . 8 ⊢ (;17 − ;15) = 2
88	85, 87	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = 2
89	88	oveq1i 7450	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = (2 / 2)
90		2div2e1 12507	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
91	89, 90	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = 1
92	91	fveq2i 6908	. . . 4 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = (√‘1)
93		sqrt1 15464	. . . 4 ⊢ (√‘1) = 1
94	92, 93	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = 1
95	20, 94	oveq12i 7452	. 2 ⊢ (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))) = (1 · 1)
96		1t1e1 12528	. 2 ⊢ (1 · 1) = 1
97	10, 95, 96	3eqtri 2790	1 ⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 1

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 ifcif 4485 class class class wbr 5106 ‘cfv 6555 (class class class)co 7440 ℂcc 11222 ℝcr 11223 0cc0 11224 1c1 11225 ici 11226 + caddc 11227 · cmul 11229 < clt 11367 ≤ cle 11368 − cmin 11565 -cneg 11566 / cdiv 11997 2c2 12421 4c4 12423 5c5 12424 6c6 12425 7c7 12426 8c8 12427 9c9 12428 cdc 12838 ↑cexp 14228 ℜcre 15290 ℑcim 15291 √csqrt 15426 abscabs 15427

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-sep 5252 ax-nul 5263 ax-pow 5331 ax-pr 5395 ax-un 7772 ax-cnex 11280 ax-resscn 11281 ax-1cn 11282 ax-icn 11283 ax-addcl 11284 ax-addrcl 11285 ax-mulcl 11286 ax-mulrcl 11287 ax-mulcom 11288 ax-addass 11289 ax-mulass 11290 ax-distr 11291 ax-i2m1 11292 ax-1ne0 11293 ax-1rid 11294 ax-rnegex 11295 ax-rrecex 11296 ax-cnre 11297 ax-pre-lttri 11298 ax-pre-lttrn 11299 ax-pre-ltadd 11300 ax-pre-mulgt0 11301 ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-op 4839 df-uni 4871 df-iun 4956 df-br 5107 df-opab 5171 df-mpt 5190 df-tr 5216 df-id 5550 df-eprel 5555 df-po 5563 df-so 5564 df-fr 5608 df-we 5610 df-xp 5661 df-rel 5662 df-cnv 5663 df-co 5664 df-dm 5665 df-rn 5666 df-res 5667 df-ima 5668 df-pred 6319 df-ord 6380 df-on 6381 df-lim 6382 df-suc 6383 df-iota 6509 df-fun 6557 df-fn 6558 df-f 6559 df-f1 6560 df-fo 6561 df-f1o 6562 df-fv 6563 df-riota 7397 df-ov 7443 df-oprab 7444 df-mpo 7445 df-om 7899 df-2nd 8023 df-frecs 8324 df-wrecs 8355 df-recs 8404 df-rdg 8443 df-er 8742 df-en 8999 df-dom 9000 df-sdom 9001 df-sup 9458 df-pnf 11369 df-mnf 11370 df-xr 11371 df-ltxr 11372 df-le 11373 df-sub 11567 df-neg 11568 df-div 11998 df-nn 12360 df-2 12429 df-3 12430 df-4 12431 df-5 12432 df-6 12433 df-7 12434 df-8 12435 df-9 12436 df-n0 12631 df-z 12718 df-dec 12839 df-uz 12990 df-rp 13145 df-seq 14169 df-exp 14229 df-cj 15292 df-re 15293 df-im 15294 df-sqrt 15428 df-abs 15429

This theorem is used by: (None)

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