imsqrtvalex - Mathbox for Richard Penner

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Theorem imsqrtvalex 44103

Description: Example for imsqrtval 44101. (Contributed by RP, 21-May-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
imsqrtvalex	⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 1

**Proof of Theorem imsqrtvalex**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12448	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
2		5nn0 12452	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ₀
3	1, 2	deccl 12654	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ₀
4	3	nn0cni 12444	. . . 4 ⊢ ;15 ∈ ℂ
5		ax-icn 11093	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6		8cn 12273	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
7	5, 6	mulcli 11148	. . . 4 ⊢ (i · 8) ∈ ℂ
8	4, 7	addcli 11147	. . 3 ⊢ (;15 + (i · 8)) ∈ ℂ
9		imsqrtval 44101	. . 3 ⊢ ((;15 + (i · 8)) ∈ ℂ → (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)))
11		8pos 12288	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
12		0re 11142	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		8re 12272	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
14	12, 13	ltnsymi 11261	. . . . . 6 ⊢ (0 < 8 → ¬ 8 < 0)
15	3	nn0rei 12443	. . . . . . . 8 ⊢ ;15 ∈ ℝ
16	15, 13	crimi 15150	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) = 8
17	16	breq1i 5081	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0 ↔ 8 < 0)
18	14, 17	sylnibr 331	. . . . 5 ⊢ (0 < 8 → ¬ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0)
19	11, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0
20	19	iffalsei 4466	. . 3 ⊢ if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) = 1
21		absreim 15250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2))))
22	15, 13, 21	mp2an 699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2)))
23	4	sqvali 14137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;15↑2) = (;15 · ;15)
24		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;15 = ;15
25		7nn0 12454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℕ₀
26	4	mullidi 11146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · ;15) = ;15
27		1p1e2 12296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 1) = 2
28		2nn0 12449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
29	25	nn0cni 12444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 7 ∈ ℂ
30	2	nn0cni 12444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7p5e12 12716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 + 5) = ;12
32	29, 30, 31	addcomli 11334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 + 7) = ;12
33	1, 2, 25, 26, 27, 28, 32	decaddci 12700	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 · ;15) + 7) = ;22
34	30	mulridi 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (5 · 1) = 5
35	34	oveq1i 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((5 · 1) + 2) = (5 + 2)
36		5p2e7 12327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (5 + 2) = 7
37	35, 36	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((5 · 1) + 2) = 7
38		5t5e25 12742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 · 5) = ;25
39	2, 1, 2, 24, 2, 28, 37, 38	decmul2c 12705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 · ;15) = ;75
40	3, 1, 2, 24, 2, 25, 33, 39	decmul1c 12704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;15 · ;15) = ;;225
41	23, 40	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;15↑2) = ;;225
42	6	sqvali 14137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8↑2) = (8 · 8)
43		8t8e64 12760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8 · 8) = ;64
44	42, 43	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8↑2) = ;64
45	41, 44	oveq12i 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;;225 + ;64)
46	28, 28	deccl 12654	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;22 ∈ ℕ₀
47		6nn0 12453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
48		4nn0 12451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
49		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;225 = ;;225
50		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;64 = ;64
51		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;22 = ;22
52	47	nn0cni 12444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 6 ∈ ℂ
53	28	nn0cni 12444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
54		6p2e8 12330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (6 + 2) = 8
55	52, 53, 54	addcomli 11334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 6) = 8
56	28, 28, 47, 51, 55	decaddi 12699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;22 + 6) = ;28
57		5p4e9 12329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 + 4) = 9
58	46, 2, 47, 48, 49, 50, 56, 57	decadd 12693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;225 + ;64) = ;;289
59	1, 25	deccl 12654	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;17 ∈ ℕ₀
60	59	nn0cni 12444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;17 ∈ ℂ
61	60	sqvali 14137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;17↑2) = (;17 · ;17)
62		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;17 = ;17
63		9nn0 12456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℕ₀
64	1, 1	deccl 12654	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;11 ∈ ℕ₀
65	60	mullidi 11146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · ;17) = ;17
66		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;11 = ;11
67		7p1e8 12320	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 + 1) = 8
68	1, 25, 1, 1, 65, 66, 27, 67	decadd 12693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · ;17) + ;11) = ;28
69	29	mulridi 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 · 1) = 7
70	69	oveq1i 7369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
71		7p4e11 12715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (7 + 4) = ;11
72	70, 71	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 · 1) + 4) = ;11
73		7t7e49 12753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 · 7) = ;49
74	25, 1, 25, 62, 63, 48, 72, 73	decmul2c 12705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · ;17) = ;;119
75	59, 1, 25, 62, 63, 64, 68, 74	decmul1c 12704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;17 · ;17) = ;;289
76	61, 75	eqtr2i 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;289 = (;17↑2)
77	45, 58, 76	3eqtri 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;17↑2)
78	77	fveq2i 6833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;15↑2) + (8↑2))) = (√‘(;17↑2))
79	59	nn0ge0i 12459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ ;17
80	59	nn0rei 12443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;17 ∈ ℝ
81	80	sqrtsqi 15332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ ;17 → (√‘(;17↑2)) = ;17)
82	79, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘(;17↑2)) = ;17
83	22, 78, 82	3eqtri 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = ;17
84	15, 13	crrei 15149	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℜ‘(;15 + (i · 8))) = ;15
85	83, 84	oveq12i 7371	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = (;17 − ;15)
86	1, 2, 28, 24, 36	decaddi 12699	. . . . . . . . 9 ⊢ (;15 + 2) = ;17
87	60, 4, 53, 86	subaddrii 11479	. . . . . . . 8 ⊢ (;17 − ;15) = 2
88	85, 87	eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = 2
89	88	oveq1i 7369	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = (2 / 2)
90		2div2e1 12312	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
91	89, 90	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = 1
92	91	fveq2i 6833	. . . 4 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = (√‘1)
93		sqrt1 15228	. . . 4 ⊢ (√‘1) = 1
94	92, 93	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = 1
95	20, 94	oveq12i 7371	. 2 ⊢ (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))) = (1 · 1)
96		1t1e1 12333	. 2 ⊢ (1 · 1) = 1
97	10, 95, 96	3eqtri 2768	1 ⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 = wceq 1548 ∈ wcel 2121 ifcif 4456 class class class wbr 5074 ‘cfv 6488 (class class class)co 7359 ℂcc 11032 ℝcr 11033 0cc0 11034 1c1 11035 ici 11036 + caddc 11037 · cmul 11039 < clt 11175 ≤ cle 11176 − cmin 11373 -cneg 11374 / cdiv 11803 2c2 12231 4c4 12233 5c5 12234 6c6 12235 7c7 12236 8c8 12237 9c9 12238 cdc 12639 ↑cexp 14018 ℜcre 15054 ℑcim 15055 √csqrt 15190 abscabs 15191

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1975 ax-7 2016 ax-8 2123 ax-9 2131 ax-10 2154 ax-11 2170 ax-12 2191 ax-ext 2713 ax-sep 5220 ax-nul 5230 ax-pow 5296 ax-pr 5364 ax-un 7681 ax-cnex 11090 ax-resscn 11091 ax-1cn 11092 ax-icn 11093 ax-addcl 11094 ax-addrcl 11095 ax-mulcl 11096 ax-mulrcl 11097 ax-mulcom 11098 ax-addass 11099 ax-mulass 11100 ax-distr 11101 ax-i2m1 11102 ax-1ne0 11103 ax-1rid 11104 ax-rnegex 11105 ax-rrecex 11106 ax-cnre 11107 ax-pre-lttri 11108 ax-pre-lttrn 11109 ax-pre-ltadd 11110 ax-pre-mulgt0 11111 ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 398 df-or 855 df-3or 1094 df-3an 1095 df-tru 1551 df-fal 1561 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2075 df-mo 2545 df-eu 2575 df-clab 2720 df-cleq 2733 df-clel 2816 df-nfc 2890 df-ne 2937 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3066 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3394 df-v 3435 df-sbc 3725 df-csb 3833 df-dif 3887 df-un 3889 df-in 3891 df-ss 3901 df-pss 3904 df-nul 4264 df-if 4457 df-pw 4533 df-sn 4558 df-pr 4560 df-op 4564 df-uni 4841 df-iun 4925 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5156 df-tr 5182 df-id 5515 df-eprel 5520 df-po 5528 df-so 5529 df-fr 5573 df-we 5575 df-xp 5626 df-rel 5627 df-cnv 5628 df-co 5629 df-dm 5630 df-rn 5631 df-res 5632 df-ima 5633 df-pred 6255 df-ord 6316 df-on 6317 df-lim 6318 df-suc 6319 df-iota 6444 df-fun 6490 df-fn 6491 df-f 6492 df-f1 6493 df-fo 6494 df-f1o 6495 df-fv 6496 df-riota 7316 df-ov 7362 df-oprab 7363 df-mpo 7364 df-om 7810 df-2nd 7934 df-frecs 8224 df-wrecs 8255 df-recs 8304 df-rdg 8343 df-er 8637 df-en 8888 df-dom 8889 df-sdom 8890 df-sup 9349 df-pnf 11177 df-mnf 11178 df-xr 11179 df-ltxr 11180 df-le 11181 df-sub 11375 df-neg 11376 df-div 11804 df-nn 12170 df-2 12239 df-3 12240 df-4 12241 df-5 12242 df-6 12243 df-7 12244 df-8 12245 df-9 12246 df-n0 12433 df-z 12520 df-dec 12640 df-uz 12784 df-rp 12938 df-seq 13959 df-exp 14019 df-cj 15056 df-re 15057 df-im 15058 df-sqrt 15192 df-abs 15193

This theorem is referenced by: (None)

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