imsqrtvalex - Mathbox for Richard Penner

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Theorem imsqrtvalex 42699

Description: Example for imsqrtval 42697. (Contributed by RP, 21-May-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
imsqrtvalex	⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 1

**Proof of Theorem imsqrtvalex**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12492	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
2		5nn0 12496	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ₀
3	1, 2	deccl 12696	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ₀
4	3	nn0cni 12488	. . . 4 ⊢ ;15 ∈ ℂ
5		ax-icn 11171	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6		8cn 12313	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
7	5, 6	mulcli 11225	. . . 4 ⊢ (i · 8) ∈ ℂ
8	4, 7	addcli 11224	. . 3 ⊢ (;15 + (i · 8)) ∈ ℂ
9		imsqrtval 42697	. . 3 ⊢ ((;15 + (i · 8)) ∈ ℂ → (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)))
11		8pos 12328	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
12		0re 11220	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		8re 12312	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
14	12, 13	ltnsymi 11337	. . . . . 6 ⊢ (0 < 8 → ¬ 8 < 0)
15	3	nn0rei 12487	. . . . . . . 8 ⊢ ;15 ∈ ℝ
16	15, 13	crimi 15144	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) = 8
17	16	breq1i 5154	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0 ↔ 8 < 0)
18	14, 17	sylnibr 328	. . . . 5 ⊢ (0 < 8 → ¬ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0)
19	11, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0
20	19	iffalsei 4537	. . 3 ⊢ if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) = 1
21		absreim 15244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2))))
22	15, 13, 21	mp2an 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2)))
23	4	sqvali 14148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;15↑2) = (;15 · ;15)
24		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;15 = ;15
25		7nn0 12498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℕ₀
26	4	mullidi 11223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · ;15) = ;15
27		1p1e2 12341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 1) = 2
28		2nn0 12493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
29	25	nn0cni 12488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 7 ∈ ℂ
30	2	nn0cni 12488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7p5e12 12758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 + 5) = ;12
32	29, 30, 31	addcomli 11410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 + 7) = ;12
33	1, 2, 25, 26, 27, 28, 32	decaddci 12742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 · ;15) + 7) = ;22
34	30	mulridi 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (5 · 1) = 5
35	34	oveq1i 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((5 · 1) + 2) = (5 + 2)
36		5p2e7 12372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (5 + 2) = 7
37	35, 36	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((5 · 1) + 2) = 7
38		5t5e25 12784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 · 5) = ;25
39	2, 1, 2, 24, 2, 28, 37, 38	decmul2c 12747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 · ;15) = ;75
40	3, 1, 2, 24, 2, 25, 33, 39	decmul1c 12746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;15 · ;15) = ;;225
41	23, 40	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;15↑2) = ;;225
42	6	sqvali 14148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8↑2) = (8 · 8)
43		8t8e64 12802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8 · 8) = ;64
44	42, 43	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8↑2) = ;64
45	41, 44	oveq12i 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;;225 + ;64)
46	28, 28	deccl 12696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;22 ∈ ℕ₀
47		6nn0 12497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
48		4nn0 12495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
49		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;225 = ;;225
50		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;64 = ;64
51		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;22 = ;22
52	47	nn0cni 12488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 6 ∈ ℂ
53	28	nn0cni 12488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
54		6p2e8 12375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (6 + 2) = 8
55	52, 53, 54	addcomli 11410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 6) = 8
56	28, 28, 47, 51, 55	decaddi 12741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;22 + 6) = ;28
57		5p4e9 12374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 + 4) = 9
58	46, 2, 47, 48, 49, 50, 56, 57	decadd 12735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;225 + ;64) = ;;289
59	1, 25	deccl 12696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;17 ∈ ℕ₀
60	59	nn0cni 12488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;17 ∈ ℂ
61	60	sqvali 14148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;17↑2) = (;17 · ;17)
62		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;17 = ;17
63		9nn0 12500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℕ₀
64	1, 1	deccl 12696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;11 ∈ ℕ₀
65	60	mullidi 11223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · ;17) = ;17
66		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;11 = ;11
67		7p1e8 12365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 + 1) = 8
68	1, 25, 1, 1, 65, 66, 27, 67	decadd 12735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · ;17) + ;11) = ;28
69	29	mulridi 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 · 1) = 7
70	69	oveq1i 7421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
71		7p4e11 12757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (7 + 4) = ;11
72	70, 71	eqtri 2758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 · 1) + 4) = ;11
73		7t7e49 12795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 · 7) = ;49
74	25, 1, 25, 62, 63, 48, 72, 73	decmul2c 12747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · ;17) = ;;119
75	59, 1, 25, 62, 63, 64, 68, 74	decmul1c 12746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;17 · ;17) = ;;289
76	61, 75	eqtr2i 2759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;289 = (;17↑2)
77	45, 58, 76	3eqtri 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;17↑2)
78	77	fveq2i 6893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;15↑2) + (8↑2))) = (√‘(;17↑2))
79	59	nn0ge0i 12503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ ;17
80	59	nn0rei 12487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;17 ∈ ℝ
81	80	sqrtsqi 15325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ ;17 → (√‘(;17↑2)) = ;17)
82	79, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘(;17↑2)) = ;17
83	22, 78, 82	3eqtri 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = ;17
84	15, 13	crrei 15143	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℜ‘(;15 + (i · 8))) = ;15
85	83, 84	oveq12i 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = (;17 − ;15)
86	1, 2, 28, 24, 36	decaddi 12741	. . . . . . . . 9 ⊢ (;15 + 2) = ;17
87	60, 4, 53, 86	subaddrii 11553	. . . . . . . 8 ⊢ (;17 − ;15) = 2
88	85, 87	eqtri 2758	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = 2
89	88	oveq1i 7421	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = (2 / 2)
90		2div2e1 12357	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
91	89, 90	eqtri 2758	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = 1
92	91	fveq2i 6893	. . . 4 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = (√‘1)
93		sqrt1 15222	. . . 4 ⊢ (√‘1) = 1
94	92, 93	eqtri 2758	. . 3 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = 1
95	20, 94	oveq12i 7423	. 2 ⊢ (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))) = (1 · 1)
96		1t1e1 12378	. 2 ⊢ (1 · 1) = 1
97	10, 95, 96	3eqtri 2762	1 ⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 = wceq 1539 ∈ wcel 2104 ifcif 4527 class class class wbr 5147 ‘cfv 6542 (class class class)co 7411 ℂcc 11110 ℝcr 11111 0cc0 11112 1c1 11113 ici 11114 + caddc 11115 · cmul 11117 < clt 11252 ≤ cle 11253 − cmin 11448 -cneg 11449 / cdiv 11875 2c2 12271 4c4 12273 5c5 12274 6c6 12275 7c7 12276 8c8 12277 9c9 12278 cdc 12681 ↑cexp 14031 ℜcre 15048 ℑcim 15049 √csqrt 15184 abscabs 15185

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7858 df-2nd 7978 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-sup 9439 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-z 12563 df-dec 12682 df-uz 12827 df-rp 12979 df-seq 13971 df-exp 14032 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sqrt 15186 df-abs 15187

This theorem is referenced by: (None)

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