Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  imsqrtvalex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imsqrtvalex 41992
Description: Example for imsqrtval 41990. (Contributed by RP, 21-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
imsqrtvalex (ℑ‘(√‘(15 + (i · 8)))) = 1

Proof of Theorem imsqrtvalex
StepHypRef Expression
1 1nn0 12436 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
2 5nn0 12440 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12640 . . . . 5 15 ∈ ℕ0
43nn0cni 12432 . . . 4 15 ∈ ℂ
5 ax-icn 11117 . . . . 5 i ∈ ℂ
6 8cn 12257 . . . . 5 8 ∈ ℂ
75, 6mulcli 11169 . . . 4 (i · 8) ∈ ℂ
84, 7addcli 11168 . . 3 (15 + (i · 8)) ∈ ℂ
9 imsqrtval 41990 . . 3 ((15 + (i · 8)) ∈ ℂ → (ℑ‘(√‘(15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2))))
108, 9ax-mp 5 . 2 (ℑ‘(√‘(15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2)))
11 8pos 12272 . . . . 5 0 < 8
12 0re 11164 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
13 8re 12256 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
1412, 13ltnsymi 11281 . . . . . 6 (0 < 8 → ¬ 8 < 0)
153nn0rei 12431 . . . . . . . 8 15 ∈ ℝ
1615, 13crimi 15085 . . . . . . 7 (ℑ‘(15 + (i · 8))) = 8
1716breq1i 5117 . . . . . 6 ((ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0 ↔ 8 < 0)
1814, 17sylnibr 329 . . . . 5 (0 < 8 → ¬ (ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0)
1911, 18ax-mp 5 . . . 4 ¬ (ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0
2019iffalsei 4501 . . 3 if((ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) = 1
21 absreim 15185 . . . . . . . . . . 11 ((15 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → (abs‘(15 + (i · 8))) = (√‘((15↑2) + (8↑2))))
2215, 13, 21mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (abs‘(15 + (i · 8))) = (√‘((15↑2) + (8↑2)))
234sqvali 14091 . . . . . . . . . . . . . 14 (15↑2) = (15 · 15)
24 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 15 = 15
25 7nn0 12442 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 ∈ ℕ0
264mulid2i 11167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 15) = 15
27 1p1e2 12285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) = 2
28 2nn0 12437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
2925nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 7 ∈ ℂ
302nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 ∈ ℂ
31 7p5e12 12702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (7 + 5) = 12
3229, 30, 31addcomli 11354 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (5 + 7) = 12
331, 2, 25, 26, 27, 28, 32decaddci 12686 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 · 15) + 7) = 22
3430mulid1i 11166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (5 · 1) = 5
3534oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((5 · 1) + 2) = (5 + 2)
36 5p2e7 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (5 + 2) = 7
3735, 36eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((5 · 1) + 2) = 7
38 5t5e25 12728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (5 · 5) = 25
392, 1, 2, 24, 2, 28, 37, 38decmul2c 12691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 · 15) = 75
403, 1, 2, 24, 2, 25, 33, 39decmul1c 12690 . . . . . . . . . . . . . 14 (15 · 15) = 225
4123, 40eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (15↑2) = 225
426sqvali 14091 . . . . . . . . . . . . . 14 (8↑2) = (8 · 8)
43 8t8e64 12746 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 · 8) = 64
4442, 43eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (8↑2) = 64
4541, 44oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . 12 ((15↑2) + (8↑2)) = (225 + 64)
4628, 28deccl 12640 . . . . . . . . . . . . 13 22 ∈ ℕ0
47 6nn0 12441 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℕ0
48 4nn0 12439 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℕ0
49 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 225 = 225
50 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 64 = 64
51 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 22 = 22
5247nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ∈ ℂ
5328nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
54 6p2e8 12319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (6 + 2) = 8
5552, 53, 54addcomli 11354 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 6) = 8
5628, 28, 47, 51, 55decaddi 12685 . . . . . . . . . . . . 13 (22 + 6) = 28
57 5p4e9 12318 . . . . . . . . . . . . 13 (5 + 4) = 9
5846, 2, 47, 48, 49, 50, 56, 57decadd 12679 . . . . . . . . . . . 12 (225 + 64) = 289
591, 25deccl 12640 . . . . . . . . . . . . . . 15 17 ∈ ℕ0
6059nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . . . 14 17 ∈ ℂ
6160sqvali 14091 . . . . . . . . . . . . 13 (17↑2) = (17 · 17)
62 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 17 = 17
63 9nn0 12444 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℕ0
641, 1deccl 12640 . . . . . . . . . . . . . 14 11 ∈ ℕ0
6560mulid2i 11167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 17) = 17
66 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 11 = 11
67 7p1e8 12309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 + 1) = 8
681, 25, 1, 1, 65, 66, 27, 67decadd 12679 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 17) + 11) = 28
6929mulid1i 11166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (7 · 1) = 7
7069oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
71 7p4e11 12701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (7 + 4) = 11
7270, 71eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((7 · 1) + 4) = 11
73 7t7e49 12739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 · 7) = 49
7425, 1, 25, 62, 63, 48, 72, 73decmul2c 12691 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 · 17) = 119
7559, 1, 25, 62, 63, 64, 68, 74decmul1c 12690 . . . . . . . . . . . . 13 (17 · 17) = 289
7661, 75eqtr2i 2766 . . . . . . . . . . . 12 289 = (17↑2)
7745, 58, 763eqtri 2769 . . . . . . . . . . 11 ((15↑2) + (8↑2)) = (17↑2)
7877fveq2i 6850 . . . . . . . . . 10 (√‘((15↑2) + (8↑2))) = (√‘(17↑2))
7959nn0ge0i 12447 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 17
8059nn0rei 12431 . . . . . . . . . . . 12 17 ∈ ℝ
8180sqrtsqi 15266 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ 17 → (√‘(17↑2)) = 17)
8279, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (√‘(17↑2)) = 17
8322, 78, 823eqtri 2769 . . . . . . . . 9 (abs‘(15 + (i · 8))) = 17
8415, 13crrei 15084 . . . . . . . . 9 (ℜ‘(15 + (i · 8))) = 15
8583, 84oveq12i 7374 . . . . . . . 8 ((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) = (17 − 15)
861, 2, 28, 24, 36decaddi 12685 . . . . . . . . 9 (15 + 2) = 17
8760, 4, 53, 86subaddrii 11497 . . . . . . . 8 (17 − 15) = 2
8885, 87eqtri 2765 . . . . . . 7 ((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) = 2
8988oveq1i 7372 . . . . . 6 (((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2) = (2 / 2)
90 2div2e1 12301 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
9189, 90eqtri 2765 . . . . 5 (((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2) = 1
9291fveq2i 6850 . . . 4 (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2)) = (√‘1)
93 sqrt1 15163 . . . 4 (√‘1) = 1
9492, 93eqtri 2765 . . 3 (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2)) = 1
9520, 94oveq12i 7374 . 2 (if((ℑ‘(15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(15 + (i · 8))) − (ℜ‘(15 + (i · 8)))) / 2))) = (1 · 1)
96 1t1e1 12322 . 2 (1 · 1) = 1
9710, 95, 963eqtri 2769 1 (ℑ‘(√‘(15 + (i · 8)))) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4491   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  cc 11056  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   · cmul 11063   < clt 11196  cle 11197  cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  9c9 12222  cdc 12625  cexp 13974  cre 14989  cim 14990  csqrt 15125  abscabs 15126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator