imsqrtvalex - Mathbox for Richard Penner

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Theorem imsqrtvalex 44227

Description: Example for imsqrtval 44225. (Contributed by RP, 21-May-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
imsqrtvalex	⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 1

**Proof of Theorem imsqrtvalex**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12499	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
2		5nn0 12503	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ₀
3	1, 2	deccl 12705	. . . . 5 ⊢ ;15 ∈ ℕ₀
4	3	nn0cni 12495	. . . 4 ⊢ ;15 ∈ ℂ
5		ax-icn 11134	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
6		8cn 12317	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℂ
7	5, 6	mulcli 11191	. . . 4 ⊢ (i · 8) ∈ ℂ
8	4, 7	addcli 11190	. . 3 ⊢ (;15 + (i · 8)) ∈ ℂ
9		imsqrtval 44225	. . 3 ⊢ ((;15 + (i · 8)) ∈ ℂ → (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)))
11		8pos 12335	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
12		0re 11185	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		8re 12316	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℝ
14	12, 13	ltnsymi 11304	. . . . . 6 ⊢ (0 < 8 → ¬ 8 < 0)
15	3	nn0rei 12494	. . . . . . . 8 ⊢ ;15 ∈ ℝ
16	15, 13	crimi 15222	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) = 8
17	16	breq1i 5109	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0 ↔ 8 < 0)
18	14, 17	sylnibr 331	. . . . 5 ⊢ (0 < 8 → ¬ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0)
19	11, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ (ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0
20	19	iffalsei 4492	. . 3 ⊢ if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) = 1
21		absreim 15322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2))))
22	15, 13, 21	mp2an 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = (√‘((;15↑2) + (8↑2)))
23	4	sqvali 14195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;15↑2) = (;15 · ;15)
24		eqid 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;15 = ;15
25		7nn0 12505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℕ₀
26	4	mullidi 11189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · ;15) = ;15
27		1p1e2 12343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 1) = 2
28		2nn0 12500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
29	25	nn0cni 12495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 7 ∈ ℂ
30	2	nn0cni 12495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ ℂ
31		7p5e12 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 + 5) = ;12
32	29, 30, 31	addcomli 11377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 + 7) = ;12
33	1, 2, 25, 26, 27, 28, 32	decaddci 12756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 · ;15) + 7) = ;22
34	30	mulridi 11188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (5 · 1) = 5
35	34	oveq1i 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((5 · 1) + 2) = (5 + 2)
36		5p2e7 12375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (5 + 2) = 7
37	35, 36	eqtri 2787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((5 · 1) + 2) = 7
38		5t5e25 12798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 · 5) = ;25
39	2, 1, 2, 24, 2, 28, 37, 38	decmul2c 12761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 · ;15) = ;75
40	3, 1, 2, 24, 2, 25, 33, 39	decmul1c 12760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;15 · ;15) = ;;225
41	23, 40	eqtri 2787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;15↑2) = ;;225
42	6	sqvali 14195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8↑2) = (8 · 8)
43		8t8e64 12816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8 · 8) = ;64
44	42, 43	eqtri 2787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8↑2) = ;64
45	41, 44	oveq12i 7410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;;225 + ;64)
46	28, 28	deccl 12705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;22 ∈ ℕ₀
47		6nn0 12504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
48		4nn0 12502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
49		eqid 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;225 = ;;225
50		eqid 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;64 = ;64
51		eqid 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;22 = ;22
52	47	nn0cni 12495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 6 ∈ ℂ
53	28	nn0cni 12495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
54		6p2e8 12378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (6 + 2) = 8
55	52, 53, 54	addcomli 11377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 6) = 8
56	28, 28, 47, 51, 55	decaddi 12755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;22 + 6) = ;28
57		5p4e9 12377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 + 4) = 9
58	46, 2, 47, 48, 49, 50, 56, 57	decadd 12749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;225 + ;64) = ;;289
59	1, 25	deccl 12705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;17 ∈ ℕ₀
60	59	nn0cni 12495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;17 ∈ ℂ
61	60	sqvali 14195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;17↑2) = (;17 · ;17)
62		eqid 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;17 = ;17
63		9nn0 12507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℕ₀
64	1, 1	deccl 12705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;11 ∈ ℕ₀
65	60	mullidi 11189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · ;17) = ;17
66		eqid 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;11 = ;11
67		7p1e8 12368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 + 1) = 8
68	1, 25, 1, 1, 65, 66, 27, 67	decadd 12749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · ;17) + ;11) = ;28
69	29	mulridi 11188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 · 1) = 7
70	69	oveq1i 7408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
71		7p4e11 12771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (7 + 4) = ;11
72	70, 71	eqtri 2787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 · 1) + 4) = ;11
73		7t7e49 12809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 · 7) = ;49
74	25, 1, 25, 62, 63, 48, 72, 73	decmul2c 12761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · ;17) = ;;119
75	59, 1, 25, 62, 63, 64, 68, 74	decmul1c 12760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;17 · ;17) = ;;289
76	61, 75	eqtr2i 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;289 = (;17↑2)
77	45, 58, 76	3eqtri 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15↑2) + (8↑2)) = (;17↑2)
78	77	fveq2i 6872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘((;15↑2) + (8↑2))) = (√‘(;17↑2))
79	59	nn0ge0i 12510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ ;17
80	59	nn0rei 12494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;17 ∈ ℝ
81	80	sqrtsqi 15404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ ;17 → (√‘(;17↑2)) = ;17)
82	79, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘(;17↑2)) = ;17
83	22, 78, 82	3eqtri 2791	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘(;15 + (i · 8))) = ;17
84	15, 13	crrei 15221	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℜ‘(;15 + (i · 8))) = ;15
85	83, 84	oveq12i 7410	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = (;17 − ;15)
86	1, 2, 28, 24, 36	decaddi 12755	. . . . . . . . 9 ⊢ (;15 + 2) = ;17
87	60, 4, 53, 86	subaddrii 11522	. . . . . . . 8 ⊢ (;17 − ;15) = 2
88	85, 87	eqtri 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) = 2
89	88	oveq1i 7408	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = (2 / 2)
90		2div2e1 12360	. . . . . 6 ⊢ (2 / 2) = 1
91	89, 90	eqtri 2787	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2) = 1
92	91	fveq2i 6872	. . . 4 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = (√‘1)
93		sqrt1 15300	. . . 4 ⊢ (√‘1) = 1
94	92, 93	eqtri 2787	. . 3 ⊢ (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2)) = 1
95	20, 94	oveq12i 7410	. 2 ⊢ (if((ℑ‘(;15 + (i · 8))) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘(;15 + (i · 8))) − (ℜ‘(;15 + (i · 8)))) / 2))) = (1 · 1)
96		1t1e1 12381	. 2 ⊢ (1 · 1) = 1
97	10, 95, 96	3eqtri 2791	1 ⊢ (ℑ‘(√‘(;15 + (i · 8)))) = 1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 = wceq 1562 ∈ wcel 2144 ifcif 4482 class class class wbr 5102 ‘cfv 6523 (class class class)co 7398 ℂcc 11073 ℝcr 11074 0cc0 11075 1c1 11076 ici 11077 + caddc 11078 · cmul 11080 < clt 11218 ≤ cle 11219 − cmin 11416 -cneg 11417 / cdiv 11846 2c2 12274 4c4 12276 5c5 12277 6c6 12278 7c7 12279 8c8 12280 9c9 12281 cdc 12690 ↑cexp 14076 ℜcre 15126 ℑcim 15127 √csqrt 15262 abscabs 15263

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1817 ax-4 1831 ax-5 1932 ax-6 1989 ax-7 2030 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2214 ax-ext 2736 ax-sep 5248 ax-nul 5258 ax-pow 5324 ax-pr 5392 ax-un 7720 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1100 df-3an 1101 df-tru 1565 df-fal 1575 df-ex 1802 df-nf 1806 df-sb 2093 df-mo 2568 df-eu 2598 df-clab 2743 df-cleq 2756 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3064 df-ral 3079 df-rex 3089 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3458 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4288 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-tr 5210 df-id 5544 df-eprel 5549 df-po 5557 df-so 5558 df-fr 5602 df-we 5604 df-xp 5655 df-rel 5656 df-cnv 5657 df-co 5658 df-dm 5659 df-rn 5660 df-res 5661 df-ima 5662 df-pred 6290 df-ord 6351 df-on 6352 df-lim 6353 df-suc 6354 df-iota 6479 df-fun 6525 df-fn 6526 df-f 6527 df-f1 6528 df-fo 6529 df-f1o 6530 df-fv 6531 df-riota 7355 df-ov 7401 df-oprab 7402 df-mpo 7403 df-om 7849 df-2nd 7973 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8344 df-rdg 8383 df-er 8680 df-en 8930 df-dom 8931 df-sdom 8932 df-sup 9390 df-pnf 11220 df-mnf 11221 df-xr 11222 df-ltxr 11223 df-le 11224 df-sub 11418 df-neg 11419 df-div 11847 df-nn 12213 df-2 12282 df-3 12283 df-4 12284 df-5 12285 df-6 12286 df-7 12287 df-8 12288 df-9 12289 df-n0 12484 df-z 12571 df-dec 12691 df-uz 12842 df-rp 12996 df-seq 14017 df-exp 14077 df-cj 15128 df-re 15129 df-im 15130 df-sqrt 15264 df-abs 15265

This theorem is referenced by: (None)

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