Theorem 5recm6rec 12092

Description: One fifth minus one sixth. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
5recm6rec	⊢ ((1 / 5) − (1 / 6)) = (1 / ;30)

Proof of Theorem 5recm6rec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5cn 11575	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
2		6cn 11578	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
3		5re 11574	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
4		5pos 11596	. . . 4 ⊢ 0 < 5
5	3, 4	gt0ne0ii 11026	. . 3 ⊢ 5 ≠ 0
6		6re 11577	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
7		6pos 11597	. . . 4 ⊢ 0 < 6
8	6, 7	gt0ne0ii 11026	. . 3 ⊢ 6 ≠ 0
9	1, 2, 5, 8	subreci 11320	. 2 ⊢ ((1 / 5) − (1 / 6)) = ((6 − 5) / (5 · 6))
10		ax-1cn 10444	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		5p1e6 11634	. . . 4 ⊢ (5 + 1) = 6
12	2, 1, 10, 11	subaddrii 10825	. . 3 ⊢ (6 − 5) = 1
13		6t5e30 12055	. . . 4 ⊢ (6 · 5) = ;30
14	2, 1, 13	mulcomli 10499	. . 3 ⊢ (5 · 6) = ;30
15	12, 14	oveq12i 7031	. 2 ⊢ ((6 − 5) / (5 · 6)) = (1 / ;30)
16	9, 15	eqtri 2818	1 ⊢ ((1 / 5) − (1 / 6)) = (1 / ;30)

Syntax hints:   = wceq 1522  (class class class)co 7019  0cc0 10386  1c1 10387   · cmul 10391   − cmin 10719   / cdiv 11147  3c3 11543  5c5 11545  6c6 11546  ;cdc 11948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-dec 11949

This theorem is referenced by:  bpoly4  15246