Theorem 41prothprmlem2 48908

Description: Lemma 2 for 41prothprm 48909. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprmlem2	⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)

Proof of Theorem 41prothprmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ;41
2	1	41prothprmlem1 48907	. . . 4 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20
3	2	oveq2i 7454	. . 3 ⊢ (3↑((𝑃 − 1) / 2)) = (3↑;20)
4	3	oveq1i 7453	. 2 ⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((3↑;20) mod 𝑃)
5		5cn 12458	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
6		4cn 12455	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		5t4e20 12948	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 4) = ;20
8	5, 6, 7	mulcomli 11345	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 5) = ;20
9	8	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ ;20 = (4 · 5)
10	9	oveq2i 7454	. . . . . 6 ⊢ (3↑;20) = (3↑(4 · 5))
11		3cn 12451	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
12		4nn0 12652	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		5nn0 12653	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		expmul 14277	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0) → (3↑(4 · 5)) = ((3↑4)↑5))
15	11, 12, 13, 14	mp3an 1491	. . . . . 6 ⊢ (3↑(4 · 5)) = ((3↑4)↑5)
16	10, 15	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (3↑;20) = ((3↑4)↑5)
17	16	oveq1i 7453	. . . 4 ⊢ ((3↑;20) mod ;41) = (((3↑4)↑5) mod ;41)
18		3z 12756	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
19		zexpcl 14246	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (3↑4) ∈ ℤ)
20	18, 12, 19	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (3↑4) ∈ ℤ
21		neg1z 12759	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
22	20, 21	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ ((3↑4) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ)
23		1nn 12373	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
24	12, 23	decnncl 12865	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
25		nnrp 13159	. . . . . . 7 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
27	13, 26	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (5 ∈ ℕ0 ∧ ;41 ∈ ℝ+)
28		3exp4mod41 48906	. . . . 5 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = ( -1 mod ;41)
29		modexp 14409	. . . . 5 ⊢ ((((3↑4) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ (5 ∈ ℕ0 ∧ ;41 ∈ ℝ+) ∧ ((3↑4) mod ;41) = ( -1 mod ;41)) → (((3↑4)↑5) mod ;41) = (( -1↑5) mod ;41))
30	22, 27, 28, 29	mp3an 1491	. . . 4 ⊢ (((3↑4)↑5) mod ;41) = (( -1↑5) mod ;41)
31		3p2e5 12520	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 2) = 5
32	31	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (3 + 2)
33	32	oveq2i 7454	. . . . . 6 ⊢ ( -1↑5) = ( -1↑(3 + 2))
34		2z 12755	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
35		m1expaddsub 19742	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ( -1↑(3 − 2)) = ( -1↑(3 + 2)))
36	18, 34, 35	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ( -1↑(3 − 2)) = ( -1↑(3 + 2))
37	36	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ ( -1↑(3 + 2)) = ( -1↑(3 − 2))
38		2cn 12445	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
39		ax-1cn 11285	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
40		2p1e3 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
41	11, 38, 39, 40	subaddrii 11674	. . . . . . . 8 ⊢ (3 − 2) = 1
42	41	oveq2i 7454	. . . . . . 7 ⊢ ( -1↑(3 − 2)) = ( -1↑1)
43		neg1cn 12332	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
44		exp1 14237	. . . . . . . 8 ⊢ ( -1 ∈ ℂ → ( -1↑1) = -1)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( -1↑1) = -1
46	42, 45	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ( -1↑(3 − 2)) = -1
47	33, 37, 46	3eqtri 2790	. . . . 5 ⊢ ( -1↑5) = -1
48	47	oveq1i 7453	. . . 4 ⊢ (( -1↑5) mod ;41) = ( -1 mod ;41)
49	17, 30, 48	3eqtri 2790	. . 3 ⊢ ((3↑;20) mod ;41) = ( -1 mod ;41)
50	1	oveq2i 7454	. . 3 ⊢ ((3↑;20) mod 𝑃) = ((3↑;20) mod ;41)
51	1	oveq2i 7454	. . 3 ⊢ ( -1 mod 𝑃) = ( -1 mod ;41)
52	49, 50, 51	3eqtr4i 2796	. 2 ⊢ ((3↑;20) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)
53	4, 52	eqtri 2786	1 ⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   − cmin 11568   -cneg 11569   / cdiv 12000  ℕcn 12362  2c2 12424  3c3 12425  4c4 12426  5c5 12427  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ;cdc 12841  ℝ⁺crp 13147   mod cmo 14036  ↑cexp 14231

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232

This theorem is used by:  41prothprm  48909