Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  41prothprmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 41prothprmlem2 45884
Description: Lemma 2 for 41prothprm 45885. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
41prothprm.p ๐‘ƒ = 41
Assertion
Ref Expression
41prothprmlem2 ((3โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = (-1 mod ๐‘ƒ)

Proof of Theorem 41prothprmlem2
StepHypRef Expression
1 41prothprm.p . . . . 5 ๐‘ƒ = 41
2141prothprmlem1 45883 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) = 20
32oveq2i 7373 . . 3 (3โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = (3โ†‘20)
43oveq1i 7372 . 2 ((3โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = ((3โ†‘20) mod ๐‘ƒ)
5 5cn 12248 . . . . . . . . 9 5 โˆˆ โ„‚
6 4cn 12245 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„‚
7 5t4e20 12727 . . . . . . . . 9 (5 ยท 4) = 20
85, 6, 7mulcomli 11171 . . . . . . . 8 (4 ยท 5) = 20
98eqcomi 2746 . . . . . . 7 20 = (4 ยท 5)
109oveq2i 7373 . . . . . 6 (3โ†‘20) = (3โ†‘(4 ยท 5))
11 3cn 12241 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„‚
12 4nn0 12439 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„•0
13 5nn0 12440 . . . . . . 7 5 โˆˆ โ„•0
14 expmul 14020 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0 โˆง 5 โˆˆ โ„•0) โ†’ (3โ†‘(4 ยท 5)) = ((3โ†‘4)โ†‘5))
1511, 12, 13, 14mp3an 1462 . . . . . 6 (3โ†‘(4 ยท 5)) = ((3โ†‘4)โ†‘5)
1610, 15eqtri 2765 . . . . 5 (3โ†‘20) = ((3โ†‘4)โ†‘5)
1716oveq1i 7372 . . . 4 ((3โ†‘20) mod 41) = (((3โ†‘4)โ†‘5) mod 41)
18 3z 12543 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„ค
19 zexpcl 13989 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„ค โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (3โ†‘4) โˆˆ โ„ค)
2018, 12, 19mp2an 691 . . . . . 6 (3โ†‘4) โˆˆ โ„ค
21 neg1z 12546 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„ค
2220, 21pm3.2i 472 . . . . 5 ((3โ†‘4) โˆˆ โ„ค โˆง -1 โˆˆ โ„ค)
23 1nn 12171 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•
2412, 23decnncl 12645 . . . . . . 7 41 โˆˆ โ„•
25 nnrp 12933 . . . . . . 7 (41 โˆˆ โ„• โ†’ 41 โˆˆ โ„+)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . 6 41 โˆˆ โ„+
2713, 26pm3.2i 472 . . . . 5 (5 โˆˆ โ„•0 โˆง 41 โˆˆ โ„+)
28 3exp4mod41 45882 . . . . 5 ((3โ†‘4) mod 41) = (-1 mod 41)
29 modexp 14148 . . . . 5 ((((3โ†‘4) โˆˆ โ„ค โˆง -1 โˆˆ โ„ค) โˆง (5 โˆˆ โ„•0 โˆง 41 โˆˆ โ„+) โˆง ((3โ†‘4) mod 41) = (-1 mod 41)) โ†’ (((3โ†‘4)โ†‘5) mod 41) = ((-1โ†‘5) mod 41))
3022, 27, 28, 29mp3an 1462 . . . 4 (((3โ†‘4)โ†‘5) mod 41) = ((-1โ†‘5) mod 41)
31 3p2e5 12311 . . . . . . . 8 (3 + 2) = 5
3231eqcomi 2746 . . . . . . 7 5 = (3 + 2)
3332oveq2i 7373 . . . . . 6 (-1โ†‘5) = (-1โ†‘(3 + 2))
34 2z 12542 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„ค
35 m1expaddsub 19287 . . . . . . . 8 ((3 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘(3 โˆ’ 2)) = (-1โ†‘(3 + 2)))
3618, 34, 35mp2an 691 . . . . . . 7 (-1โ†‘(3 โˆ’ 2)) = (-1โ†‘(3 + 2))
3736eqcomi 2746 . . . . . 6 (-1โ†‘(3 + 2)) = (-1โ†‘(3 โˆ’ 2))
38 2cn 12235 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
39 ax-1cn 11116 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
40 2p1e3 12302 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
4111, 38, 39, 40subaddrii 11497 . . . . . . . 8 (3 โˆ’ 2) = 1
4241oveq2i 7373 . . . . . . 7 (-1โ†‘(3 โˆ’ 2)) = (-1โ†‘1)
43 neg1cn 12274 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ โ„‚
44 exp1 13980 . . . . . . . 8 (-1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1โ†‘1) = -1)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . 7 (-1โ†‘1) = -1
4642, 45eqtri 2765 . . . . . 6 (-1โ†‘(3 โˆ’ 2)) = -1
4733, 37, 463eqtri 2769 . . . . 5 (-1โ†‘5) = -1
4847oveq1i 7372 . . . 4 ((-1โ†‘5) mod 41) = (-1 mod 41)
4917, 30, 483eqtri 2769 . . 3 ((3โ†‘20) mod 41) = (-1 mod 41)
501oveq2i 7373 . . 3 ((3โ†‘20) mod ๐‘ƒ) = ((3โ†‘20) mod 41)
511oveq2i 7373 . . 3 (-1 mod ๐‘ƒ) = (-1 mod 41)
5249, 50, 513eqtr4i 2775 . 2 ((3โ†‘20) mod ๐‘ƒ) = (-1 mod ๐‘ƒ)
534, 52eqtri 2765 1 ((3โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = (-1 mod ๐‘ƒ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  cdc 12625  โ„+crp 12922   mod cmo 13781  โ†‘cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  41prothprm  45885
  Copyright terms: Public domain W3C validator