Theorem 41prothprmlem2 48225

Description: Lemma 2 for 41prothprm 48226. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprmlem2	⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)

Proof of Theorem 41prothprmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ;41
2	1	41prothprmlem1 48224	. . . 4 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20
3	2	oveq2i 7411	. . 3 ⊢ (3↑((𝑃 − 1) / 2)) = (3↑;20)
4	3	oveq1i 7410	. 2 ⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((3↑;20) mod 𝑃)
5		5cn 12320	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
6		4cn 12317	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		5t4e20 12809	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 4) = ;20
8	5, 6, 7	mulcomli 11206	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 5) = ;20
9	8	eqcomi 2774	. . . . . . 7 ⊢ ;20 = (4 · 5)
10	9	oveq2i 7411	. . . . . 6 ⊢ (3↑;20) = (3↑(4 · 5))
11		3cn 12313	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
12		4nn0 12514	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		5nn0 12515	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		expmul 14134	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0) → (3↑(4 · 5)) = ((3↑4)↑5))
15	11, 12, 13, 14	mp3an 1485	. . . . . 6 ⊢ (3↑(4 · 5)) = ((3↑4)↑5)
16	10, 15	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ (3↑;20) = ((3↑4)↑5)
17	16	oveq1i 7410	. . . 4 ⊢ ((3↑;20) mod ;41) = (((3↑4)↑5) mod ;41)
18		3z 12618	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
19		zexpcl 14103	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (3↑4) ∈ ℤ)
20	18, 12, 19	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (3↑4) ∈ ℤ
21		neg1z 12621	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
22	20, 21	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ ((3↑4) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ)
23		1nn 12235	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
24	12, 23	decnncl 12726	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
25		nnrp 13019	. . . . . . 7 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
27	13, 26	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ (5 ∈ ℕ0 ∧ ;41 ∈ ℝ+)
28		3exp4mod41 48223	. . . . 5 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)
29		modexp 14265	. . . . 5 ⊢ ((((3↑4) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ (5 ∈ ℕ0 ∧ ;41 ∈ ℝ+) ∧ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)) → (((3↑4)↑5) mod ;41) = ((-1↑5) mod ;41))
30	22, 27, 28, 29	mp3an 1485	. . . 4 ⊢ (((3↑4)↑5) mod ;41) = ((-1↑5) mod ;41)
31		3p2e5 12382	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 2) = 5
32	31	eqcomi 2774	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (3 + 2)
33	32	oveq2i 7411	. . . . . 6 ⊢ (-1↑5) = (-1↑(3 + 2))
34		2z 12617	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
35		m1expaddsub 19559	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (-1↑(3 − 2)) = (-1↑(3 + 2)))
36	18, 34, 35	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑(3 − 2)) = (-1↑(3 + 2))
37	36	eqcomi 2774	. . . . . 6 ⊢ (-1↑(3 + 2)) = (-1↑(3 − 2))
38		2cn 12307	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
39		ax-1cn 11146	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
40		2p1e3 12373	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
41	11, 38, 39, 40	subaddrii 11535	. . . . . . . 8 ⊢ (3 − 2) = 1
42	41	oveq2i 7411	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑(3 − 2)) = (-1↑1)
43		neg1cn 12194	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
44		exp1 14094	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑1) = -1
46	42, 45	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ (-1↑(3 − 2)) = -1
47	33, 37, 46	3eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ (-1↑5) = -1
48	47	oveq1i 7410	. . . 4 ⊢ ((-1↑5) mod ;41) = (-1 mod ;41)
49	17, 30, 48	3eqtri 2792	. . 3 ⊢ ((3↑;20) mod ;41) = (-1 mod ;41)
50	1	oveq2i 7411	. . 3 ⊢ ((3↑;20) mod 𝑃) = ((3↑;20) mod ;41)
51	1	oveq2i 7411	. . 3 ⊢ (-1 mod 𝑃) = (-1 mod ;41)
52	49, 50, 51	3eqtr4i 2798	. 2 ⊢ ((3↑;20) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)
53	4, 52	eqtri 2788	1 ⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   − cmin 11429  -cneg 11430   / cdiv 11859  ℕcn 12224  2c2 12286  3c3 12287  4c4 12288  5c5 12289  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582  ;cdc 12702  ℝ⁺crp 13007   mod cmo 13893  ↑cexp 14088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089

This theorem is referenced by:  41prothprm  48226