Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  41prothprmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 41prothprmlem2 46586
Description: Lemma 2 for 41prothprm 46587. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
41prothprm.p ๐‘ƒ = 41
Assertion
Ref Expression
41prothprmlem2 ((3โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = (-1 mod ๐‘ƒ)
Proof of Theorem 41prothprmlem2
StepHypRef Expression
1 41prothprm.p . . . . 5 ๐‘ƒ = 41
2141prothprmlem1 46585 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) = 20
32oveq2i 7423 . . 3 (3โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = (3โ†‘20)
43oveq1i 7422 . 2 ((3โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = ((3โ†‘20) mod ๐‘ƒ)
5 5cn 12305 . . . . . . . . 9 5 โˆˆ โ„‚
6 4cn 12302 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„‚
7 5t4e20 12784 . . . . . . . . 9 (5 ยท 4) = 20
85, 6, 7mulcomli 11228 . . . . . . . 8 (4 ยท 5) = 20
98eqcomi 2740 . . . . . . 7 20 = (4 ยท 5)
109oveq2i 7423 . . . . . 6 (3โ†‘20) = (3โ†‘(4 ยท 5))
11 3cn 12298 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„‚
12 4nn0 12496 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„•0
13 5nn0 12497 . . . . . . 7 5 โˆˆ โ„•0
14 expmul 14078 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0 โˆง 5 โˆˆ โ„•0) โ†’ (3โ†‘(4 ยท 5)) = ((3โ†‘4)โ†‘5))
1511, 12, 13, 14mp3an 1460 . . . . . 6 (3โ†‘(4 ยท 5)) = ((3โ†‘4)โ†‘5)
1610, 15eqtri 2759 . . . . 5 (3โ†‘20) = ((3โ†‘4)โ†‘5)
1716oveq1i 7422 . . . 4 ((3โ†‘20) mod 41) = (((3โ†‘4)โ†‘5) mod 41)
18 3z 12600 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„ค
19 zexpcl 14047 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„ค โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (3โ†‘4) โˆˆ โ„ค)
2018, 12, 19mp2an 689 . . . . . 6 (3โ†‘4) โˆˆ โ„ค
21 neg1z 12603 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„ค
2220, 21pm3.2i 470 . . . . 5 ((3โ†‘4) โˆˆ โ„ค โˆง -1 โˆˆ โ„ค)
23 1nn 12228 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•
2412, 23decnncl 12702 . . . . . . 7 41 โˆˆ โ„•
25 nnrp 12990 . . . . . . 7 (41 โˆˆ โ„• โ†’ 41 โˆˆ โ„+)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . 6 41 โˆˆ โ„+
2713, 26pm3.2i 470 . . . . 5 (5 โˆˆ โ„•0 โˆง 41 โˆˆ โ„+)
28 3exp4mod41 46584 . . . . 5 ((3โ†‘4) mod 41) = (-1 mod 41)
29 modexp 14206 . . . . 5 ((((3โ†‘4) โˆˆ โ„ค โˆง -1 โˆˆ โ„ค) โˆง (5 โˆˆ โ„•0 โˆง 41 โˆˆ โ„+) โˆง ((3โ†‘4) mod 41) = (-1 mod 41)) โ†’ (((3โ†‘4)โ†‘5) mod 41) = ((-1โ†‘5) mod 41))
3022, 27, 28, 29mp3an 1460 . . . 4 (((3โ†‘4)โ†‘5) mod 41) = ((-1โ†‘5) mod 41)
31 3p2e5 12368 . . . . . . . 8 (3 + 2) = 5
3231eqcomi 2740 . . . . . . 7 5 = (3 + 2)
3332oveq2i 7423 . . . . . 6 (-1โ†‘5) = (-1โ†‘(3 + 2))
34 2z 12599 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„ค
35 m1expaddsub 19408 . . . . . . . 8 ((3 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘(3 โˆ’ 2)) = (-1โ†‘(3 + 2)))
3618, 34, 35mp2an 689 . . . . . . 7 (-1โ†‘(3 โˆ’ 2)) = (-1โ†‘(3 + 2))
3736eqcomi 2740 . . . . . 6 (-1โ†‘(3 + 2)) = (-1โ†‘(3 โˆ’ 2))
38 2cn 12292 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
39 ax-1cn 11171 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
40 2p1e3 12359 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
4111, 38, 39, 40subaddrii 11554 . . . . . . . 8 (3 โˆ’ 2) = 1
4241oveq2i 7423 . . . . . . 7 (-1โ†‘(3 โˆ’ 2)) = (-1โ†‘1)
43 neg1cn 12331 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ โ„‚
44 exp1 14038 . . . . . . . 8 (-1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1โ†‘1) = -1)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . 7 (-1โ†‘1) = -1
4642, 45eqtri 2759 . . . . . 6 (-1โ†‘(3 โˆ’ 2)) = -1
4733, 37, 463eqtri 2763 . . . . 5 (-1โ†‘5) = -1
4847oveq1i 7422 . . . 4 ((-1โ†‘5) mod 41) = (-1 mod 41)
4917, 30, 483eqtri 2763 . . 3 ((3โ†‘20) mod 41) = (-1 mod 41)
501oveq2i 7423 . . 3 ((3โ†‘20) mod ๐‘ƒ) = ((3โ†‘20) mod 41)
511oveq2i 7423 . . 3 (-1 mod ๐‘ƒ) = (-1 mod 41)
5249, 50, 513eqtr4i 2769 . 2 ((3โ†‘20) mod ๐‘ƒ) = (-1 mod ๐‘ƒ)
534, 52eqtri 2759 1 ((3โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = (-1 mod ๐‘ƒ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   โˆ’ cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  2c2 12272  3c3 12273  4c4 12274  5c5 12275  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  cdc 12682  โ„+crp 12979   mod cmo 13839  โ†‘cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  41prothprm  46587
  Copyright terms: Public domain W3C validator