Theorem 41prothprmlem2 43790

Description: Lemma 2 for 41prothprm 43791. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprmlem2	⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)

Proof of Theorem 41prothprmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ;41
2	1	41prothprmlem1 43789	. . . 4 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20
3	2	oveq2i 7169	. . 3 ⊢ (3↑((𝑃 − 1) / 2)) = (3↑;20)
4	3	oveq1i 7168	. 2 ⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((3↑;20) mod 𝑃)
5		5cn 11728	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
6		4cn 11725	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		5t4e20 12203	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 4) = ;20
8	5, 6, 7	mulcomli 10652	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 5) = ;20
9	8	eqcomi 2832	. . . . . . 7 ⊢ ;20 = (4 · 5)
10	9	oveq2i 7169	. . . . . 6 ⊢ (3↑;20) = (3↑(4 · 5))
11		3cn 11721	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
12		4nn0 11919	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		5nn0 11920	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		expmul 13477	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0) → (3↑(4 · 5)) = ((3↑4)↑5))
15	11, 12, 13, 14	mp3an 1457	. . . . . 6 ⊢ (3↑(4 · 5)) = ((3↑4)↑5)
16	10, 15	eqtri 2846	. . . . 5 ⊢ (3↑;20) = ((3↑4)↑5)
17	16	oveq1i 7168	. . . 4 ⊢ ((3↑;20) mod ;41) = (((3↑4)↑5) mod ;41)
18		3z 12018	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
19		zexpcl 13447	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (3↑4) ∈ ℤ)
20	18, 12, 19	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (3↑4) ∈ ℤ
21		neg1z 12021	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
22	20, 21	pm3.2i 473	. . . . 5 ⊢ ((3↑4) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ)
23		1nn 11651	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
24	12, 23	decnncl 12121	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
25		nnrp 12403	. . . . . . 7 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
27	13, 26	pm3.2i 473	. . . . 5 ⊢ (5 ∈ ℕ0 ∧ ;41 ∈ ℝ+)
28		3exp4mod41 43788	. . . . 5 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)
29		modexp 13602	. . . . 5 ⊢ ((((3↑4) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ (5 ∈ ℕ0 ∧ ;41 ∈ ℝ+) ∧ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)) → (((3↑4)↑5) mod ;41) = ((-1↑5) mod ;41))
30	22, 27, 28, 29	mp3an 1457	. . . 4 ⊢ (((3↑4)↑5) mod ;41) = ((-1↑5) mod ;41)
31		3p2e5 11791	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 2) = 5
32	31	eqcomi 2832	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (3 + 2)
33	32	oveq2i 7169	. . . . . 6 ⊢ (-1↑5) = (-1↑(3 + 2))
34		2z 12017	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
35		m1expaddsub 18628	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (-1↑(3 − 2)) = (-1↑(3 + 2)))
36	18, 34, 35	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑(3 − 2)) = (-1↑(3 + 2))
37	36	eqcomi 2832	. . . . . 6 ⊢ (-1↑(3 + 2)) = (-1↑(3 − 2))
38		2cn 11715	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
39		ax-1cn 10597	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
40		2p1e3 11782	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
41	11, 38, 39, 40	subaddrii 10977	. . . . . . . 8 ⊢ (3 − 2) = 1
42	41	oveq2i 7169	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑(3 − 2)) = (-1↑1)
43		neg1cn 11754	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
44		exp1 13438	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑1) = -1
46	42, 45	eqtri 2846	. . . . . 6 ⊢ (-1↑(3 − 2)) = -1
47	33, 37, 46	3eqtri 2850	. . . . 5 ⊢ (-1↑5) = -1
48	47	oveq1i 7168	. . . 4 ⊢ ((-1↑5) mod ;41) = (-1 mod ;41)
49	17, 30, 48	3eqtri 2850	. . 3 ⊢ ((3↑;20) mod ;41) = (-1 mod ;41)
50	1	oveq2i 7169	. . 3 ⊢ ((3↑;20) mod 𝑃) = ((3↑;20) mod ;41)
51	1	oveq2i 7169	. . 3 ⊢ (-1 mod 𝑃) = (-1 mod ;41)
52	49, 50, 51	3eqtr4i 2856	. 2 ⊢ ((3↑;20) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)
53	4, 52	eqtri 2846	1 ⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   − cmin 10872  -cneg 10873   / cdiv 11299  ℕcn 11640  2c2 11695  3c3 11696  4c4 11697  5c5 11698  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ;cdc 12101  ℝ⁺crp 12392   mod cmo 13240  ↑cexp 13432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433

This theorem is referenced by:  41prothprm  43791