Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  41prothprmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 41prothprmlem2 47605
Description: Lemma 2 for 41prothprm 47606. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
41prothprm.p 𝑃 = 41
Assertion
Ref Expression
41prothprmlem2 ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)

Proof of Theorem 41prothprmlem2
StepHypRef Expression
1 41prothprm.p . . . . 5 𝑃 = 41
2141prothprmlem1 47604 . . . 4 ((𝑃 − 1) / 2) = 20
32oveq2i 7442 . . 3 (3↑((𝑃 − 1) / 2)) = (3↑20)
43oveq1i 7441 . 2 ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((3↑20) mod 𝑃)
5 5cn 12354 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
6 4cn 12351 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
7 5t4e20 12835 . . . . . . . . 9 (5 · 4) = 20
85, 6, 7mulcomli 11270 . . . . . . . 8 (4 · 5) = 20
98eqcomi 2746 . . . . . . 7 20 = (4 · 5)
109oveq2i 7442 . . . . . 6 (3↑20) = (3↑(4 · 5))
11 3cn 12347 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
12 4nn0 12545 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
13 5nn0 12546 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
14 expmul 14148 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0) → (3↑(4 · 5)) = ((3↑4)↑5))
1511, 12, 13, 14mp3an 1463 . . . . . 6 (3↑(4 · 5)) = ((3↑4)↑5)
1610, 15eqtri 2765 . . . . 5 (3↑20) = ((3↑4)↑5)
1716oveq1i 7441 . . . 4 ((3↑20) mod 41) = (((3↑4)↑5) mod 41)
18 3z 12650 . . . . . . 7 3 ∈ ℤ
19 zexpcl 14117 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (3↑4) ∈ ℤ)
2018, 12, 19mp2an 692 . . . . . 6 (3↑4) ∈ ℤ
21 neg1z 12653 . . . . . 6 -1 ∈ ℤ
2220, 21pm3.2i 470 . . . . 5 ((3↑4) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ)
23 1nn 12277 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
2412, 23decnncl 12753 . . . . . . 7 41 ∈ ℕ
25 nnrp 13046 . . . . . . 7 (41 ∈ ℕ → 41 ∈ ℝ+)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . 6 41 ∈ ℝ+
2713, 26pm3.2i 470 . . . . 5 (5 ∈ ℕ041 ∈ ℝ+)
28 3exp4mod41 47603 . . . . 5 ((3↑4) mod 41) = (-1 mod 41)
29 modexp 14277 . . . . 5 ((((3↑4) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ (5 ∈ ℕ041 ∈ ℝ+) ∧ ((3↑4) mod 41) = (-1 mod 41)) → (((3↑4)↑5) mod 41) = ((-1↑5) mod 41))
3022, 27, 28, 29mp3an 1463 . . . 4 (((3↑4)↑5) mod 41) = ((-1↑5) mod 41)
31 3p2e5 12417 . . . . . . . 8 (3 + 2) = 5
3231eqcomi 2746 . . . . . . 7 5 = (3 + 2)
3332oveq2i 7442 . . . . . 6 (-1↑5) = (-1↑(3 + 2))
34 2z 12649 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
35 m1expaddsub 19516 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (-1↑(3 − 2)) = (-1↑(3 + 2)))
3618, 34, 35mp2an 692 . . . . . . 7 (-1↑(3 − 2)) = (-1↑(3 + 2))
3736eqcomi 2746 . . . . . 6 (-1↑(3 + 2)) = (-1↑(3 − 2))
38 2cn 12341 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
39 ax-1cn 11213 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
40 2p1e3 12408 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
4111, 38, 39, 40subaddrii 11598 . . . . . . . 8 (3 − 2) = 1
4241oveq2i 7442 . . . . . . 7 (-1↑(3 − 2)) = (-1↑1)
43 neg1cn 12380 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
44 exp1 14108 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . 7 (-1↑1) = -1
4642, 45eqtri 2765 . . . . . 6 (-1↑(3 − 2)) = -1
4733, 37, 463eqtri 2769 . . . . 5 (-1↑5) = -1
4847oveq1i 7441 . . . 4 ((-1↑5) mod 41) = (-1 mod 41)
4917, 30, 483eqtri 2769 . . 3 ((3↑20) mod 41) = (-1 mod 41)
501oveq2i 7442 . . 3 ((3↑20) mod 𝑃) = ((3↑20) mod 41)
511oveq2i 7442 . . 3 (-1 mod 𝑃) = (-1 mod 41)
5249, 50, 513eqtr4i 2775 . 2 ((3↑20) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)
534, 52eqtri 2765 1 ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  0cn0 12526  cz 12613  cdc 12733  +crp 13034   mod cmo 13909  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103
This theorem is referenced by:  41prothprm  47606
  Copyright terms: Public domain W3C validator