Theorem 41prothprmlem2 47543

Description: Lemma 2 for 41prothprm 47544. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprmlem2	⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)

Proof of Theorem 41prothprmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ;41
2	1	41prothprmlem1 47542	. . . 4 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20
3	2	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (3↑((𝑃 − 1) / 2)) = (3↑;20)
4	3	oveq1i 7441	. 2 ⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((3↑;20) mod 𝑃)
5		5cn 12352	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
6		4cn 12349	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		5t4e20 12833	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 4) = ;20
8	5, 6, 7	mulcomli 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 5) = ;20
9	8	eqcomi 2744	. . . . . . 7 ⊢ ;20 = (4 · 5)
10	9	oveq2i 7442	. . . . . 6 ⊢ (3↑;20) = (3↑(4 · 5))
11		3cn 12345	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
12		4nn0 12543	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		5nn0 12544	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		expmul 14145	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0) → (3↑(4 · 5)) = ((3↑4)↑5))
15	11, 12, 13, 14	mp3an 1460	. . . . . 6 ⊢ (3↑(4 · 5)) = ((3↑4)↑5)
16	10, 15	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ (3↑;20) = ((3↑4)↑5)
17	16	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((3↑;20) mod ;41) = (((3↑4)↑5) mod ;41)
18		3z 12648	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
19		zexpcl 14114	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (3↑4) ∈ ℤ)
20	18, 12, 19	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (3↑4) ∈ ℤ
21		neg1z 12651	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
22	20, 21	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ((3↑4) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ)
23		1nn 12275	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
24	12, 23	decnncl 12751	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
25		nnrp 13044	. . . . . . 7 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
27	13, 26	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (5 ∈ ℕ0 ∧ ;41 ∈ ℝ+)
28		3exp4mod41 47541	. . . . 5 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)
29		modexp 14274	. . . . 5 ⊢ ((((3↑4) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ (5 ∈ ℕ0 ∧ ;41 ∈ ℝ+) ∧ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)) → (((3↑4)↑5) mod ;41) = ((-1↑5) mod ;41))
30	22, 27, 28, 29	mp3an 1460	. . . 4 ⊢ (((3↑4)↑5) mod ;41) = ((-1↑5) mod ;41)
31		3p2e5 12415	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 2) = 5
32	31	eqcomi 2744	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (3 + 2)
33	32	oveq2i 7442	. . . . . 6 ⊢ (-1↑5) = (-1↑(3 + 2))
34		2z 12647	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
35		m1expaddsub 19531	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (-1↑(3 − 2)) = (-1↑(3 + 2)))
36	18, 34, 35	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑(3 − 2)) = (-1↑(3 + 2))
37	36	eqcomi 2744	. . . . . 6 ⊢ (-1↑(3 + 2)) = (-1↑(3 − 2))
38		2cn 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
39		ax-1cn 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
40		2p1e3 12406	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
41	11, 38, 39, 40	subaddrii 11596	. . . . . . . 8 ⊢ (3 − 2) = 1
42	41	oveq2i 7442	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑(3 − 2)) = (-1↑1)
43		neg1cn 12378	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
44		exp1 14105	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑1) = -1
46	42, 45	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ (-1↑(3 − 2)) = -1
47	33, 37, 46	3eqtri 2767	. . . . 5 ⊢ (-1↑5) = -1
48	47	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ ((-1↑5) mod ;41) = (-1 mod ;41)
49	17, 30, 48	3eqtri 2767	. . 3 ⊢ ((3↑;20) mod ;41) = (-1 mod ;41)
50	1	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ ((3↑;20) mod 𝑃) = ((3↑;20) mod ;41)
51	1	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (-1 mod 𝑃) = (-1 mod ;41)
52	49, 50, 51	3eqtr4i 2773	. 2 ⊢ ((3↑;20) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)
53	4, 52	eqtri 2763	1 ⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   − cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  ℕcn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ;cdc 12731  ℝ⁺crp 13032   mod cmo 13906  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  41prothprm  47544