Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  41prothprmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 41prothprmlem2 46276
Description: Lemma 2 for 41prothprm 46277. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
41prothprm.p ๐‘ƒ = 41
Assertion
Ref Expression
41prothprmlem2 ((3โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = (-1 mod ๐‘ƒ)
Proof of Theorem 41prothprmlem2
StepHypRef Expression
1 41prothprm.p . . . . 5 ๐‘ƒ = 41
2141prothprmlem1 46275 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) = 20
32oveq2i 7419 . . 3 (3โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = (3โ†‘20)
43oveq1i 7418 . 2 ((3โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = ((3โ†‘20) mod ๐‘ƒ)
5 5cn 12299 . . . . . . . . 9 5 โˆˆ โ„‚
6 4cn 12296 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„‚
7 5t4e20 12778 . . . . . . . . 9 (5 ยท 4) = 20
85, 6, 7mulcomli 11222 . . . . . . . 8 (4 ยท 5) = 20
98eqcomi 2741 . . . . . . 7 20 = (4 ยท 5)
109oveq2i 7419 . . . . . 6 (3โ†‘20) = (3โ†‘(4 ยท 5))
11 3cn 12292 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„‚
12 4nn0 12490 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„•0
13 5nn0 12491 . . . . . . 7 5 โˆˆ โ„•0
14 expmul 14072 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0 โˆง 5 โˆˆ โ„•0) โ†’ (3โ†‘(4 ยท 5)) = ((3โ†‘4)โ†‘5))
1511, 12, 13, 14mp3an 1461 . . . . . 6 (3โ†‘(4 ยท 5)) = ((3โ†‘4)โ†‘5)
1610, 15eqtri 2760 . . . . 5 (3โ†‘20) = ((3โ†‘4)โ†‘5)
1716oveq1i 7418 . . . 4 ((3โ†‘20) mod 41) = (((3โ†‘4)โ†‘5) mod 41)
18 3z 12594 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„ค
19 zexpcl 14041 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„ค โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (3โ†‘4) โˆˆ โ„ค)
2018, 12, 19mp2an 690 . . . . . 6 (3โ†‘4) โˆˆ โ„ค
21 neg1z 12597 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„ค
2220, 21pm3.2i 471 . . . . 5 ((3โ†‘4) โˆˆ โ„ค โˆง -1 โˆˆ โ„ค)
23 1nn 12222 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•
2412, 23decnncl 12696 . . . . . . 7 41 โˆˆ โ„•
25 nnrp 12984 . . . . . . 7 (41 โˆˆ โ„• โ†’ 41 โˆˆ โ„+)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . 6 41 โˆˆ โ„+
2713, 26pm3.2i 471 . . . . 5 (5 โˆˆ โ„•0 โˆง 41 โˆˆ โ„+)
28 3exp4mod41 46274 . . . . 5 ((3โ†‘4) mod 41) = (-1 mod 41)
29 modexp 14200 . . . . 5 ((((3โ†‘4) โˆˆ โ„ค โˆง -1 โˆˆ โ„ค) โˆง (5 โˆˆ โ„•0 โˆง 41 โˆˆ โ„+) โˆง ((3โ†‘4) mod 41) = (-1 mod 41)) โ†’ (((3โ†‘4)โ†‘5) mod 41) = ((-1โ†‘5) mod 41))
3022, 27, 28, 29mp3an 1461 . . . 4 (((3โ†‘4)โ†‘5) mod 41) = ((-1โ†‘5) mod 41)
31 3p2e5 12362 . . . . . . . 8 (3 + 2) = 5
3231eqcomi 2741 . . . . . . 7 5 = (3 + 2)
3332oveq2i 7419 . . . . . 6 (-1โ†‘5) = (-1โ†‘(3 + 2))
34 2z 12593 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„ค
35 m1expaddsub 19365 . . . . . . . 8 ((3 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘(3 โˆ’ 2)) = (-1โ†‘(3 + 2)))
3618, 34, 35mp2an 690 . . . . . . 7 (-1โ†‘(3 โˆ’ 2)) = (-1โ†‘(3 + 2))
3736eqcomi 2741 . . . . . 6 (-1โ†‘(3 + 2)) = (-1โ†‘(3 โˆ’ 2))
38 2cn 12286 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„‚
39 ax-1cn 11167 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
40 2p1e3 12353 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
4111, 38, 39, 40subaddrii 11548 . . . . . . . 8 (3 โˆ’ 2) = 1
4241oveq2i 7419 . . . . . . 7 (-1โ†‘(3 โˆ’ 2)) = (-1โ†‘1)
43 neg1cn 12325 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ โ„‚
44 exp1 14032 . . . . . . . 8 (-1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1โ†‘1) = -1)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . 7 (-1โ†‘1) = -1
4642, 45eqtri 2760 . . . . . 6 (-1โ†‘(3 โˆ’ 2)) = -1
4733, 37, 463eqtri 2764 . . . . 5 (-1โ†‘5) = -1
4847oveq1i 7418 . . . 4 ((-1โ†‘5) mod 41) = (-1 mod 41)
4917, 30, 483eqtri 2764 . . 3 ((3โ†‘20) mod 41) = (-1 mod 41)
501oveq2i 7419 . . 3 ((3โ†‘20) mod ๐‘ƒ) = ((3โ†‘20) mod 41)
511oveq2i 7419 . . 3 (-1 mod ๐‘ƒ) = (-1 mod 41)
5249, 50, 513eqtr4i 2770 . 2 ((3โ†‘20) mod ๐‘ƒ) = (-1 mod ๐‘ƒ)
534, 52eqtri 2760 1 ((3โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) mod ๐‘ƒ) = (-1 mod ๐‘ƒ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11443  -cneg 11444   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  5c5 12269  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557  cdc 12676  โ„+crp 12973   mod cmo 13833  โ†‘cexp 14026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027
This theorem is referenced by:  41prothprm  46277
  Copyright terms: Public domain W3C validator