Theorem 41prothprmlem2 48796

Description: Lemma 2 for 41prothprm 48797. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprmlem2	⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)

Proof of Theorem 41prothprmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ;41
2	1	41prothprmlem1 48795	. . . 4 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20
3	2	oveq2i 7431	. . 3 ⊢ (3↑((𝑃 − 1) / 2)) = (3↑;20)
4	3	oveq1i 7430	. 2 ⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((3↑;20) mod 𝑃)
5		5cn 12434	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
6		4cn 12431	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		5t4e20 12924	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 4) = ;20
8	5, 6, 7	mulcomli 11321	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 5) = ;20
9	8	eqcomi 2769	. . . . . . 7 ⊢ ;20 = (4 · 5)
10	9	oveq2i 7431	. . . . . 6 ⊢ (3↑;20) = (3↑(4 · 5))
11		3cn 12427	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
12		4nn0 12628	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		5nn0 12629	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		expmul 14253	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0) → (3↑(4 · 5)) = ((3↑4)↑5))
15	11, 12, 13, 14	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ (3↑(4 · 5)) = ((3↑4)↑5)
16	10, 15	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (3↑;20) = ((3↑4)↑5)
17	16	oveq1i 7430	. . . 4 ⊢ ((3↑;20) mod ;41) = (((3↑4)↑5) mod ;41)
18		3z 12732	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
19		zexpcl 14222	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (3↑4) ∈ ℤ)
20	18, 12, 19	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (3↑4) ∈ ℤ
21		neg1z 12735	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
22	20, 21	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ ((3↑4) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ)
23		1nn 12349	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
24	12, 23	decnncl 12841	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
25		nnrp 13135	. . . . . . 7 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
27	13, 26	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (5 ∈ ℕ0 ∧ ;41 ∈ ℝ+)
28		3exp4mod41 48794	. . . . 5 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = ( -1 mod ;41)
29		modexp 14385	. . . . 5 ⊢ ((((3↑4) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ (5 ∈ ℕ0 ∧ ;41 ∈ ℝ+) ∧ ((3↑4) mod ;41) = ( -1 mod ;41)) → (((3↑4)↑5) mod ;41) = (( -1↑5) mod ;41))
30	22, 27, 28, 29	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (((3↑4)↑5) mod ;41) = (( -1↑5) mod ;41)
31		3p2e5 12496	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 2) = 5
32	31	eqcomi 2769	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (3 + 2)
33	32	oveq2i 7431	. . . . . 6 ⊢ ( -1↑5) = ( -1↑(3 + 2))
34		2z 12731	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
35		m1expaddsub 19717	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ( -1↑(3 − 2)) = ( -1↑(3 + 2)))
36	18, 34, 35	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ( -1↑(3 − 2)) = ( -1↑(3 + 2))
37	36	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ ( -1↑(3 + 2)) = ( -1↑(3 − 2))
38		2cn 12421	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
39		ax-1cn 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
40		2p1e3 12487	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
41	11, 38, 39, 40	subaddrii 11650	. . . . . . . 8 ⊢ (3 − 2) = 1
42	41	oveq2i 7431	. . . . . . 7 ⊢ ( -1↑(3 − 2)) = ( -1↑1)
43		neg1cn 12308	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
44		exp1 14213	. . . . . . . 8 ⊢ ( -1 ∈ ℂ → ( -1↑1) = -1)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( -1↑1) = -1
46	42, 45	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ( -1↑(3 − 2)) = -1
47	33, 37, 46	3eqtri 2787	. . . . 5 ⊢ ( -1↑5) = -1
48	47	oveq1i 7430	. . . 4 ⊢ (( -1↑5) mod ;41) = ( -1 mod ;41)
49	17, 30, 48	3eqtri 2787	. . 3 ⊢ ((3↑;20) mod ;41) = ( -1 mod ;41)
50	1	oveq2i 7431	. . 3 ⊢ ((3↑;20) mod 𝑃) = ((3↑;20) mod ;41)
51	1	oveq2i 7431	. . 3 ⊢ ( -1 mod 𝑃) = ( -1 mod ;41)
52	49, 50, 51	3eqtr4i 2793	. 2 ⊢ ((3↑;20) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)
53	4, 52	eqtri 2783	1 ⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ( -1 mod 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   − cmin 11544   -cneg 11545   / cdiv 11976  ℕcn 12338  2c2 12400  3c3 12401  4c4 12402  5c5 12403  ℕ₀cn0 12609  ℤcz 12696  ;cdc 12817  ℝ⁺crp 13123   mod cmo 14012  ↑cexp 14207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208

This theorem is used by:  41prothprm  48797