Theorem 41prothprmlem2 48647

Description: Lemma 2 for 41prothprm 48648. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprmlem2	⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)

Proof of Theorem 41prothprmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ;41
2	1	41prothprmlem1 48646	. . . 4 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20
3	2	oveq2i 7423	. . 3 ⊢ (3↑((𝑃 − 1) / 2)) = (3↑;20)
4	3	oveq1i 7422	. 2 ⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((3↑;20) mod 𝑃)
5		5cn 12412	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
6		4cn 12409	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		5t4e20 12902	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 4) = ;20
8	5, 6, 7	mulcomli 11299	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 5) = ;20
9	8	eqcomi 2770	. . . . . . 7 ⊢ ;20 = (4 · 5)
10	9	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ (3↑;20) = (3↑(4 · 5))
11		3cn 12405	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
12		4nn0 12606	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		5nn0 12607	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		expmul 14230	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0) → (3↑(4 · 5)) = ((3↑4)↑5))
15	11, 12, 13, 14	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ (3↑(4 · 5)) = ((3↑4)↑5)
16	10, 15	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (3↑;20) = ((3↑4)↑5)
17	16	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ ((3↑;20) mod ;41) = (((3↑4)↑5) mod ;41)
18		3z 12710	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
19		zexpcl 14199	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (3↑4) ∈ ℤ)
20	18, 12, 19	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (3↑4) ∈ ℤ
21		neg1z 12713	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
22	20, 21	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ ((3↑4) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ)
23		1nn 12327	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
24	12, 23	decnncl 12819	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
25		nnrp 13113	. . . . . . 7 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
27	13, 26	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (5 ∈ ℕ0 ∧ ;41 ∈ ℝ+)
28		3exp4mod41 48645	. . . . 5 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)
29		modexp 14362	. . . . 5 ⊢ ((((3↑4) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ (5 ∈ ℕ0 ∧ ;41 ∈ ℝ+) ∧ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)) → (((3↑4)↑5) mod ;41) = ((-1↑5) mod ;41))
30	22, 27, 28, 29	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (((3↑4)↑5) mod ;41) = ((-1↑5) mod ;41)
31		3p2e5 12474	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 2) = 5
32	31	eqcomi 2770	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (3 + 2)
33	32	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ (-1↑5) = (-1↑(3 + 2))
34		2z 12709	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
35		m1expaddsub 19692	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (-1↑(3 − 2)) = (-1↑(3 + 2)))
36	18, 34, 35	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑(3 − 2)) = (-1↑(3 + 2))
37	36	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ (-1↑(3 + 2)) = (-1↑(3 − 2))
38		2cn 12399	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
39		ax-1cn 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
40		2p1e3 12465	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
41	11, 38, 39, 40	subaddrii 11628	. . . . . . . 8 ⊢ (3 − 2) = 1
42	41	oveq2i 7423	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑(3 − 2)) = (-1↑1)
43		neg1cn 12286	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
44		exp1 14190	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑1) = -1
46	42, 45	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ (-1↑(3 − 2)) = -1
47	33, 37, 46	3eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ (-1↑5) = -1
48	47	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ ((-1↑5) mod ;41) = (-1 mod ;41)
49	17, 30, 48	3eqtri 2788	. . 3 ⊢ ((3↑;20) mod ;41) = (-1 mod ;41)
50	1	oveq2i 7423	. . 3 ⊢ ((3↑;20) mod 𝑃) = ((3↑;20) mod ;41)
51	1	oveq2i 7423	. . 3 ⊢ (-1 mod 𝑃) = (-1 mod ;41)
52	49, 50, 51	3eqtr4i 2794	. 2 ⊢ ((3↑;20) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)
53	4, 52	eqtri 2784	1 ⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   − cmin 11522  -cneg 11523   / cdiv 11954  ℕcn 12316  2c2 12378  3c3 12379  4c4 12380  5c5 12381  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ;cdc 12795  ℝ⁺crp 13101   mod cmo 13989  ↑cexp 14184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185

This theorem is used by:  41prothprm  48648