Theorem 41prothprmlem2 45070

Description: Lemma 2 for 41prothprm 45071. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
41prothprm.p	⊢ 𝑃 = ;41

Assertion

Ref	Expression
41prothprmlem2	⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)

Proof of Theorem 41prothprmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		41prothprm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ;41
2	1	41prothprmlem1 45069	. . . 4 ⊢ ((𝑃 − 1) / 2) = ;20
3	2	oveq2i 7286	. . 3 ⊢ (3↑((𝑃 − 1) / 2)) = (3↑;20)
4	3	oveq1i 7285	. 2 ⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((3↑;20) mod 𝑃)
5		5cn 12061	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
6		4cn 12058	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		5t4e20 12539	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 4) = ;20
8	5, 6, 7	mulcomli 10984	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · 5) = ;20
9	8	eqcomi 2747	. . . . . . 7 ⊢ ;20 = (4 · 5)
10	9	oveq2i 7286	. . . . . 6 ⊢ (3↑;20) = (3↑(4 · 5))
11		3cn 12054	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
12		4nn0 12252	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		5nn0 12253	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
14		expmul 13828	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0) → (3↑(4 · 5)) = ((3↑4)↑5))
15	11, 12, 13, 14	mp3an 1460	. . . . . 6 ⊢ (3↑(4 · 5)) = ((3↑4)↑5)
16	10, 15	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ (3↑;20) = ((3↑4)↑5)
17	16	oveq1i 7285	. . . 4 ⊢ ((3↑;20) mod ;41) = (((3↑4)↑5) mod ;41)
18		3z 12353	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℤ
19		zexpcl 13797	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (3↑4) ∈ ℤ)
20	18, 12, 19	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ (3↑4) ∈ ℤ
21		neg1z 12356	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
22	20, 21	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ ((3↑4) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ)
23		1nn 11984	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
24	12, 23	decnncl 12457	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
25		nnrp 12741	. . . . . . 7 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
27	13, 26	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (5 ∈ ℕ0 ∧ ;41 ∈ ℝ+)
28		3exp4mod41 45068	. . . . 5 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)
29		modexp 13953	. . . . 5 ⊢ ((((3↑4) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ (5 ∈ ℕ0 ∧ ;41 ∈ ℝ+) ∧ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)) → (((3↑4)↑5) mod ;41) = ((-1↑5) mod ;41))
30	22, 27, 28, 29	mp3an 1460	. . . 4 ⊢ (((3↑4)↑5) mod ;41) = ((-1↑5) mod ;41)
31		3p2e5 12124	. . . . . . . 8 ⊢ (3 + 2) = 5
32	31	eqcomi 2747	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (3 + 2)
33	32	oveq2i 7286	. . . . . 6 ⊢ (-1↑5) = (-1↑(3 + 2))
34		2z 12352	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
35		m1expaddsub 19106	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (-1↑(3 − 2)) = (-1↑(3 + 2)))
36	18, 34, 35	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑(3 − 2)) = (-1↑(3 + 2))
37	36	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ (-1↑(3 + 2)) = (-1↑(3 − 2))
38		2cn 12048	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
39		ax-1cn 10929	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
40		2p1e3 12115	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 1) = 3
41	11, 38, 39, 40	subaddrii 11310	. . . . . . . 8 ⊢ (3 − 2) = 1
42	41	oveq2i 7286	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑(3 − 2)) = (-1↑1)
43		neg1cn 12087	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
44		exp1 13788	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑1) = -1
46	42, 45	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ (-1↑(3 − 2)) = -1
47	33, 37, 46	3eqtri 2770	. . . . 5 ⊢ (-1↑5) = -1
48	47	oveq1i 7285	. . . 4 ⊢ ((-1↑5) mod ;41) = (-1 mod ;41)
49	17, 30, 48	3eqtri 2770	. . 3 ⊢ ((3↑;20) mod ;41) = (-1 mod ;41)
50	1	oveq2i 7286	. . 3 ⊢ ((3↑;20) mod 𝑃) = ((3↑;20) mod ;41)
51	1	oveq2i 7286	. . 3 ⊢ (-1 mod 𝑃) = (-1 mod ;41)
52	49, 50, 51	3eqtr4i 2776	. 2 ⊢ ((3↑;20) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)
53	4, 52	eqtri 2766	1 ⊢ ((3↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ;cdc 12437  ℝ⁺crp 12730   mod cmo 13589  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  41prothprm  45071