Theorem fib6 34737

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 6. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib6	⊢ (Fibci‘6) = 8

Proof of Theorem fib6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5p1e6 12383	. . 3 ⊢ (5 + 1) = 6
2	1	fveq2i 6882	. 2 ⊢ (Fibci‘(5 + 1)) = (Fibci‘6)
3		5nn 12323	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
4		fibp1 34732	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ℕ → (Fibci‘(5 + 1)) = ((Fibci‘(5 − 1)) + (Fibci‘5)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(5 + 1)) = ((Fibci‘(5 − 1)) + (Fibci‘5))
6		5cn 12325	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11154	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		4cn 12322	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
9		4p1e5 12382	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
10	8, 7, 9	addcomli 11398	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 4) = 5
11	6, 7, 8, 10	subaddrii 11543	. . . . . 6 ⊢ (5 − 1) = 4
12	11	fveq2i 6882	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(5 − 1)) = (Fibci‘4)
13		fib4 34735	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘4) = 3
14	12, 13	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(5 − 1)) = 3
15		fib5 34736	. . . 4 ⊢ (Fibci‘5) = 5
16	14, 15	oveq12i 7420	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(5 − 1)) + (Fibci‘5)) = (3 + 5)
17		3cn 12318	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		5p3e8 12393	. . . 4 ⊢ (5 + 3) = 8
19	6, 17, 18	addcomli 11398	. . 3 ⊢ (3 + 5) = 8
20	5, 16, 19	3eqtri 2796	. 2 ⊢ (Fibci‘(5 + 1)) = 8
21	2, 20	eqtr3i 2794	1 ⊢ (Fibci‘6) = 8

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  1c1 11097   + caddc 11099   − cmin 11437  ℕcn 12229  3c3 12292  4c4 12293  5c5 12294  6c6 12295  8c8 12297  Fibcicfib 34727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-word 14547  df-lsw 14596  df-concat 14604  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-s2 14881  df-sseq 34715  df-fib 34728

This theorem is referenced by: (None)