Theorem fib6 34590

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 6. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib6	⊢ (Fibci‘6) = 8

Proof of Theorem fib6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5p1e6 12314	. . 3 ⊢ (5 + 1) = 6
2	1	fveq2i 6830	. 2 ⊢ (Fibci‘(5 + 1)) = (Fibci‘6)
3		5nn 12258	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
4		fibp1 34585	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ℕ → (Fibci‘(5 + 1)) = ((Fibci‘(5 − 1)) + (Fibci‘5)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(5 + 1)) = ((Fibci‘(5 − 1)) + (Fibci‘5))
6		5cn 12260	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11087	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		4cn 12257	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
9		4p1e5 12313	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
10	8, 7, 9	addcomli 11329	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 4) = 5
11	6, 7, 8, 10	subaddrii 11474	. . . . . 6 ⊢ (5 − 1) = 4
12	11	fveq2i 6830	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(5 − 1)) = (Fibci‘4)
13		fib4 34588	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘4) = 3
14	12, 13	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(5 − 1)) = 3
15		fib5 34589	. . . 4 ⊢ (Fibci‘5) = 5
16	14, 15	oveq12i 7368	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(5 − 1)) + (Fibci‘5)) = (3 + 5)
17		3cn 12253	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		5p3e8 12324	. . . 4 ⊢ (5 + 3) = 8
19	6, 17, 18	addcomli 11329	. . 3 ⊢ (3 + 5) = 8
20	5, 16, 19	3eqtri 2766	. 2 ⊢ (Fibci‘(5 + 1)) = 8
21	2, 20	eqtr3i 2764	1 ⊢ (Fibci‘6) = 8

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1c1 11030   + caddc 11032   − cmin 11368  ℕcn 12165  3c3 12228  4c4 12229  5c5 12230  6c6 12231  8c8 12233  Fibcicfib 34580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-word 14467  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-s2 14801  df-sseq 34568  df-fib 34581

This theorem is referenced by: (None)