Theorem fib6 34491

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 6. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib6	⊢ (Fibci‘6) = 8

Proof of Theorem fib6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5p1e6 12278	. . 3 ⊢ (5 + 1) = 6
2	1	fveq2i 6834	. 2 ⊢ (Fibci‘(5 + 1)) = (Fibci‘6)
3		5nn 12222	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
4		fibp1 34486	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ℕ → (Fibci‘(5 + 1)) = ((Fibci‘(5 − 1)) + (Fibci‘5)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(5 + 1)) = ((Fibci‘(5 − 1)) + (Fibci‘5))
6		5cn 12224	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11075	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		4cn 12221	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
9		4p1e5 12277	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
10	8, 7, 9	addcomli 11316	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 4) = 5
11	6, 7, 8, 10	subaddrii 11461	. . . . . 6 ⊢ (5 − 1) = 4
12	11	fveq2i 6834	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(5 − 1)) = (Fibci‘4)
13		fib4 34489	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘4) = 3
14	12, 13	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(5 − 1)) = 3
15		fib5 34490	. . . 4 ⊢ (Fibci‘5) = 5
16	14, 15	oveq12i 7367	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(5 − 1)) + (Fibci‘5)) = (3 + 5)
17		3cn 12217	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		5p3e8 12288	. . . 4 ⊢ (5 + 3) = 8
19	6, 17, 18	addcomli 11316	. . 3 ⊢ (3 + 5) = 8
20	5, 16, 19	3eqtri 2760	. 2 ⊢ (Fibci‘(5 + 1)) = 8
21	2, 20	eqtr3i 2758	1 ⊢ (Fibci‘6) = 8

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  1c1 11018   + caddc 11020   − cmin 11355  ℕcn 12136  3c3 12192  4c4 12193  5c5 12194  6c6 12195  8c8 12197  Fibcicfib 34481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-n0 12393  df-xnn0 12466  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-hash 14245  df-word 14428  df-lsw 14477  df-concat 14485  df-s1 14511  df-substr 14556  df-pfx 14586  df-s2 14762  df-sseq 34469  df-fib 34482

This theorem is referenced by: (None)