Theorem fib6 34917

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 6. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib6	⊢ (Fibci‘6) = 8

Proof of Theorem fib6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5p1e6 12411	. . 3 ⊢ (5 + 1) = 6
2	1	fveq2i 6881	. 2 ⊢ (Fibci‘(5 + 1)) = (Fibci‘6)
3		5nn 12351	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
4		fibp1 34912	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ℕ → (Fibci‘(5 + 1)) = ((Fibci‘(5 − 1)) + (Fibci‘5)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(5 + 1)) = ((Fibci‘(5 − 1)) + (Fibci‘5))
6		5cn 12353	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11182	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		4cn 12350	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
9		4p1e5 12410	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
10	8, 7, 9	addcomli 11426	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 4) = 5
11	6, 7, 8, 10	subaddrii 11571	. . . . . 6 ⊢ (5 − 1) = 4
12	11	fveq2i 6881	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(5 − 1)) = (Fibci‘4)
13		fib4 34915	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘4) = 3
14	12, 13	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(5 − 1)) = 3
15		fib5 34916	. . . 4 ⊢ (Fibci‘5) = 5
16	14, 15	oveq12i 7425	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(5 − 1)) + (Fibci‘5)) = (3 + 5)
17		3cn 12346	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		5p3e8 12421	. . . 4 ⊢ (5 + 3) = 8
19	6, 17, 18	addcomli 11426	. . 3 ⊢ (3 + 5) = 8
20	5, 16, 19	3eqtri 2787	. 2 ⊢ (Fibci‘(5 + 1)) = 8
21	2, 20	eqtr3i 2785	1 ⊢ (Fibci‘6) = 8

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  1c1 11125   + caddc 11127   − cmin 11465  ℕcn 12257  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  8c8 12325  Fibcicfib 34907

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-word 14579  df-lsw 14628  df-concat 14636  df-s1 14663  df-substr 14709  df-pfx 14741  df-s2 14919  df-sseq 34895  df-fib 34908

This theorem is used by: (None)