Theorem fib6 35031

Description: Value of the Fibonacci sequence at index 6. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fib6	⊢ (Fibci‘6) = 8

Proof of Theorem fib6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5p1e6 12482	. . 3 ⊢ (5 + 1) = 6
2	1	fveq2i 6886	. 2 ⊢ (Fibci‘(5 + 1)) = (Fibci‘6)
3		5nn 12422	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
4		fibp1 35026	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ℕ → (Fibci‘(5 + 1)) = ((Fibci‘(5 − 1)) + (Fibci‘5)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Fibci‘(5 + 1)) = ((Fibci‘(5 − 1)) + (Fibci‘5))
6		5cn 12424	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11251	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		4cn 12421	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
9		4p1e5 12481	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 1) = 5
10	8, 7, 9	addcomli 11495	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 4) = 5
11	6, 7, 8, 10	subaddrii 11640	. . . . . 6 ⊢ (5 − 1) = 4
12	11	fveq2i 6886	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘(5 − 1)) = (Fibci‘4)
13		fib4 35029	. . . . 5 ⊢ (Fibci‘4) = 3
14	12, 13	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (Fibci‘(5 − 1)) = 3
15		fib5 35030	. . . 4 ⊢ (Fibci‘5) = 5
16	14, 15	oveq12i 7430	. . 3 ⊢ ((Fibci‘(5 − 1)) + (Fibci‘5)) = (3 + 5)
17		3cn 12417	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		5p3e8 12492	. . . 4 ⊢ (5 + 3) = 8
19	6, 17, 18	addcomli 11495	. . 3 ⊢ (3 + 5) = 8
20	5, 16, 19	3eqtri 2788	. 2 ⊢ (Fibci‘(5 + 1)) = 8
21	2, 20	eqtr3i 2786	1 ⊢ (Fibci‘6) = 8

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  1c1 11194   + caddc 11196   − cmin 11534  ℕcn 12328  3c3 12391  4c4 12392  5c5 12393  6c6 12394  8c8 12396  Fibcicfib 35021

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-word 14652  df-lsw 14701  df-concat 14709  df-s1 14736  df-substr 14782  df-pfx 14814  df-s2 14992  df-sseq 35009  df-fib 35022

This theorem is used by: (None)