Theorem acycgrsubgr 33966

Description: The subgraph of an acyclic graph is also acyclic. (Contributed by BTernaryTau, 23-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
acycgrsubgr	⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝑆 SubGraph 𝐺) → 𝑆 ∈ AcyclicGraph)

Proof of Theorem acycgrsubgr

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgrcycl 33943	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑓(Cycles‘𝑆)𝑝 → 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝))
2	1	anim1d 611	. . . . 5 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → ((𝑓(Cycles‘𝑆)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
3	2	2eximdv 1922	. . . 4 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝑆)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
4	3	con3d 152	. . 3 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝑆)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
5		subgrv 28389	. . . 4 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V))
6		isacycgr 33953	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
7	5, 6	simpl2im 504	. . 3 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
8	5	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → 𝑆 ∈ V)
9		isacycgr 33953	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝑆)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑆 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝑆)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
11	4, 7, 10	3imtr4d 293	. 2 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝐺 ∈ AcyclicGraph → 𝑆 ∈ AcyclicGraph))
12	11	impcom 408	1 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝑆 SubGraph 𝐺) → 𝑆 ∈ AcyclicGraph)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  Vcvv 3472  ∅c0 4317   class class class wbr 5140  ‘cfv 6531   SubGraph csubgr 28386  Cyclesccycls 28904  AcyclicGraphcacycgr 33950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5277  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-cnex 11147  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-pred 6288  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7838  df-1st 7956  df-2nd 7957  df-frecs 8247  df-wrecs 8278  df-recs 8352  df-rdg 8391  df-1o 8447  df-er 8685  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9915  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-xr 11233  df-ltxr 11234  df-le 11235  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12194  df-n0 12454  df-z 12540  df-uz 12804  df-fz 13466  df-fzo 13609  df-hash 14272  df-word 14446  df-subgr 28387  df-wlks 28718  df-trls 28811  df-pths 28835  df-cycls 28906  df-acycgr 33951

This theorem is referenced by: (None)