Theorem acycgrsubgr 34762

Description: The subgraph of an acyclic graph is also acyclic. (Contributed by BTernaryTau, 23-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
acycgrsubgr	⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝑆 SubGraph 𝐺) → 𝑆 ∈ AcyclicGraph)

Proof of Theorem acycgrsubgr

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgrcycl 34739	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑓(Cycles‘𝑆)𝑝 → 𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝))
2	1	anim1d 610	. . . . 5 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → ((𝑓(Cycles‘𝑆)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
3	2	2eximdv 1915	. . . 4 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝑆)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
4	3	con3d 152	. . 3 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝑆)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
5		subgrv 29076	. . . 4 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V))
6		isacycgr 34749	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
7	5, 6	simpl2im 503	. . 3 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
8	5	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → 𝑆 ∈ V)
9		isacycgr 34749	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝑆)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝑆 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝑆)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
11	4, 7, 10	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝑆 SubGraph 𝐺 → (𝐺 ∈ AcyclicGraph → 𝑆 ∈ AcyclicGraph))
12	11	impcom 407	1 ⊢ ((𝐺 ∈ AcyclicGraph ∧ 𝑆 SubGraph 𝐺) → 𝑆 ∈ AcyclicGraph)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  Vcvv 3470  ∅c0 4318   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542   SubGraph csubgr 29073  Cyclesccycls 29592  AcyclicGraphcacycgr 34746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-hash 14316  df-word 14491  df-subgr 29074  df-wlks 29406  df-trls 29499  df-pths 29523  df-cycls 29594  df-acycgr 34747

This theorem is referenced by: (None)