Theorem cusgr3cyclex 34196

Description: Every complete simple graph with more than two vertices has a 3-cycle. (Contributed by BTernaryTau, 4-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgr3cyclex.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgr3cyclex	⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))

Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem cusgr3cyclex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 1095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
2	1	bianass 640	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ↔ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
3		cusgrusgr 28714	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
4		usgrumgr 28477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
6		3simpc 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
7	6	ancli 549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
8		df-3an 1089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
9	8	biimpi 215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
10		an32 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
11	10	anbi1i 624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
12		anass 469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
13	11, 12	sylbb 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
14	13	anasss 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
15	7, 9, 14	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
16		anandi3 1102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
17	16	anbi1i 624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
18		an4 654	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
19	17, 18	sylbb 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
20		df-3an 1089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
21		cusgr3cyclex.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
22		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
23	21, 22	cusgredgex2 34182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → {𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
24	20, 23	biimtrrid 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → {𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
25		df-3an 1089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐))
26	21, 22	cusgredgex2 34182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) → {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
27	25, 26	biimtrrid 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) → {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
28	24, 27	anim12d 609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
29	19, 28	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
30		df-3an 1089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
31	21, 22	cusgredgex2 34182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
32	30, 31	biimtrrid 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
33	29, 32	anim12d 609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
34	15, 33	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
35		3anan32 1097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
36		prcom 4736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑎, 𝑐} = {𝑐, 𝑎}
37	36	eleq1i 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
38	37	3anbi3i 1159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
39	35, 38	bitr3i 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
40	34, 39	imbitrdi 250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))))
41		pm5.3 573	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))))
42	40, 41	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))))
43	21, 22	umgr3cyclex 29474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎))
44		3simpa 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
45	44	2eximi 1838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
46	43, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
47	46	3expib 1122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
48	5, 42, 47	sylsyld 61	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
49	48	expdimp 453	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
50	2, 49	sylbir 234	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
51	50	reximdvva 3205	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
52	51	reximdva 3168	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
53		id 22	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
54	53	rexlimivw 3151	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
55	54	rexlimivw 3151	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
56	55	rexlimivw 3151	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
57	52, 56	syl6 35	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
58	21	fvexi 6905	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
59		hashgt23el 14386	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
60	58, 59	mpan 688	. 2 ⊢ (2 < (♯‘𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
61	57, 60	impel 506	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  Vcvv 3474  {cpr 4630   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  0cc0 11112   < clt 11250  2c2 12269  3c3 12270  ♯chash 14292  Vtxcvtx 28294  Edgcedg 28345  UMGraphcumgr 28379  USGraphcusgr 28447  ComplUSGraphccusgr 28705  Cyclesccycls 29080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-s2 14801  df-s3 14802  df-s4 14803  df-edg 28346  df-uhgr 28356  df-upgr 28380  df-umgr 28381  df-usgr 28449  df-nbgr 28628  df-uvtx 28681  df-cplgr 28706  df-cusgr 28707  df-wlks 28894  df-trls 28987  df-pths 29011  df-cycls 29082

This theorem is referenced by:  cusgracyclt3v  34216