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Theorem cusgr3cyclex 34122
Description: Every complete simple graph with more than two vertices has a 3-cycle. (Contributed by BTernaryTau, 4-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgr3cyclex.1 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
cusgr3cyclex ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem cusgr3cyclex
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anass 1095 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
21bianass 640 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ↔ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
3 cusgrusgr 28673 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
4 usgrumgr 28436 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
6 3simpc 1150 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
76ancli 549 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
8 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐) ↔ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐) ∧ 𝑏 β‰  𝑐))
98biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐) β†’ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐) ∧ 𝑏 β‰  𝑐))
10 an32 644 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ↔ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
1110anbi1i 624 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ∧ 𝑏 β‰  𝑐) ↔ ((((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 β‰  𝑐))
12 anass 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 β‰  𝑐) ↔ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 β‰  𝑐)))
1311, 12sylbb 218 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ∧ 𝑏 β‰  𝑐) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 β‰  𝑐)))
1413anasss 467 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐) ∧ 𝑏 β‰  𝑐)) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 β‰  𝑐)))
157, 9, 14syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐)) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 β‰  𝑐)))
16 anandi3 1102 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
1716anbi1i 624 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ↔ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)))
18 an4 654 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ↔ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž β‰  𝑏) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž β‰  𝑐)))
1917, 18sylbb 218 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž β‰  𝑏) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž β‰  𝑐)))
20 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž β‰  𝑏) ↔ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž β‰  𝑏))
21 cusgr3cyclex.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
22 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
2321, 22cusgredgex2 34108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž β‰  𝑏) β†’ {π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2420, 23biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž β‰  𝑏) β†’ {π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
25 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž β‰  𝑐) ↔ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž β‰  𝑐))
2621, 22cusgredgex2 34108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž β‰  𝑐) β†’ {π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2725, 26biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž β‰  𝑐) β†’ {π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2824, 27anim12d 609 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ ((((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž β‰  𝑏) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
2919, 28syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
30 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 β‰  𝑐) ↔ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 β‰  𝑐))
3121, 22cusgredgex2 34108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 β‰  𝑐) β†’ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
3230, 31biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 β‰  𝑐) β†’ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
3329, 32anim12d 609 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ ((((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 β‰  𝑐)) β†’ (({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
3415, 33syl5 34 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐)) β†’ (({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
35 3anan32 1097 . . . . . . . . . . 11 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ (({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
36 prcom 4736 . . . . . . . . . . . . 13 {π‘Ž, 𝑐} = {𝑐, π‘Ž}
3736eleq1i 2824 . . . . . . . . . . . 12 ({π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
38373anbi3i 1159 . . . . . . . . . . 11 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
3935, 38bitr3i 276 . . . . . . . . . 10 ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4034, 39imbitrdi 250 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐)) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
41 pm5.3 573 . . . . . . . . 9 ((((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐)) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ↔ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐)) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
4240, 41sylib 217 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐)) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
4321, 22umgr3cyclex 29433 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3 ∧ (π‘β€˜0) = π‘Ž))
44 3simpa 1148 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3 ∧ (π‘β€˜0) = π‘Ž) β†’ (𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
45442eximi 1838 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3 ∧ (π‘β€˜0) = π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
4643, 45syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
47463expib 1122 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3)))
485, 42, 47sylsyld 61 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3)))
4948expdimp 453 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3)))
502, 49sylbir 234 . . . . 5 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3)))
5150reximdvva 3205 . . . 4 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3)))
5251reximdva 3168 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3)))
53 id 22 . . . . . 6 (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
5453rexlimivw 3151 . . . . 5 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
5554rexlimivw 3151 . . . 4 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
5655rexlimivw 3151 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
5752, 56syl6 35 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3)))
5821fvexi 6905 . . 3 𝑉 ∈ V
59 hashgt23el 14383 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ 2 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐))
6058, 59mpan 688 . 2 (2 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐))
6157, 60impel 506 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474  {cpr 4630   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  0cc0 11109   < clt 11247  2c2 12266  3c3 12267  β™―chash 14289  Vtxcvtx 28253  Edgcedg 28304  UMGraphcumgr 28338  USGraphcusgr 28406  ComplUSGraphccusgr 28664  Cyclesccycls 29039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-concat 14520  df-s1 14545  df-s2 14798  df-s3 14799  df-s4 14800  df-edg 28305  df-uhgr 28315  df-upgr 28339  df-umgr 28340  df-usgr 28408  df-nbgr 28587  df-uvtx 28640  df-cplgr 28665  df-cusgr 28666  df-wlks 28853  df-trls 28946  df-pths 28970  df-cycls 29041
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