Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cusgr3cyclex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgr3cyclex 33098
Description: Every complete simple graph with more than two vertices has a 3-cycle. (Contributed by BTernaryTau, 4-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgr3cyclex.1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cusgr3cyclex ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem cusgr3cyclex
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anass 1094 . . . . . . 7 ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ↔ (𝑎𝑉 ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)))
21bianass 639 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) ↔ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)))
3 cusgrusgr 27786 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
4 usgrumgr 27549 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
6 3simpc 1149 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑏𝑉𝑐𝑉))
76ancli 549 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)))
8 df-3an 1088 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) ↔ ((𝑎𝑏𝑎𝑐) ∧ 𝑏𝑐))
98biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) → ((𝑎𝑏𝑎𝑐) ∧ 𝑏𝑐))
10 an32 643 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ↔ (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)))
1110anbi1i 624 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ 𝑏𝑐) ↔ ((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ 𝑏𝑐))
12 anass 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ 𝑏𝑐) ↔ (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ ((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐)))
1311, 12sylbb 218 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ 𝑏𝑐) → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ ((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐)))
1413anasss 467 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐) ∧ 𝑏𝑐)) → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ ((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐)))
157, 9, 14syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ ((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐)))
16 anandi3 1101 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ↔ ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑉𝑐𝑉)))
1716anbi1i 624 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ↔ (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑉𝑐𝑉)) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)))
18 an4 653 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑉𝑐𝑉)) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ↔ (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑎𝑏) ∧ ((𝑎𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑎𝑐)))
1917, 18sylbb 218 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) → (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑎𝑏) ∧ ((𝑎𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑎𝑐)))
20 df-3an 1088 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑎𝑏) ↔ ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑎𝑏))
21 cusgr3cyclex.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
22 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
2321, 22cusgredgex2 33084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑎𝑏) → {𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
2420, 23syl5bir 242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑎𝑏) → {𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
25 df-3an 1088 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑉𝑐𝑉𝑎𝑐) ↔ ((𝑎𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑎𝑐))
2621, 22cusgredgex2 33084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑎𝑉𝑐𝑉𝑎𝑐) → {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
2725, 26syl5bir 242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑎𝑐) → {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
2824, 27anim12d 609 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑎𝑏) ∧ ((𝑎𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑎𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
2919, 28syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
30 df-3an 1088 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑉𝑐𝑉𝑏𝑐) ↔ ((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐))
3121, 22cusgredgex2 33084 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑏𝑉𝑐𝑉𝑏𝑐) → {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
3230, 31syl5bir 242 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐) → {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
3329, 32anim12d 609 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ ((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
3415, 33syl5 34 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
35 3anan32 1096 . . . . . . . . . . 11 (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
36 prcom 4668 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑎, 𝑐} = {𝑐, 𝑎}
3736eleq1i 2829 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
38373anbi3i 1158 . . . . . . . . . . 11 (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
3935, 38bitr3i 276 . . . . . . . . . 10 ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
4034, 39syl6ib 250 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))))
41 pm5.3 573 . . . . . . . . 9 ((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))))
4240, 41sylib 217 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))))
4321, 22umgr3cyclex 28547 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎))
44 3simpa 1147 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
45442eximi 1838 . . . . . . . . . 10 (∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
4643, 45syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
47463expib 1121 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UMGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
485, 42, 47sylsyld 61 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
4948expdimp 453 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
502, 49sylbir 234 . . . . 5 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) → ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
5150reximdvva 3206 . . . 4 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎𝑉) → (∃𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
5251reximdva 3203 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
53 id 22 . . . . . 6 (∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
5453rexlimivw 3211 . . . . 5 (∃𝑐𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
5554rexlimivw 3211 . . . 4 (∃𝑏𝑉𝑐𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
5655rexlimivw 3211 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
5752, 56syl6 35 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
5821fvexi 6788 . . 3 𝑉 ∈ V
59 hashgt23el 14139 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
6058, 59mpan 687 . 2 (2 < (♯‘𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
6157, 60impel 506 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wex 1782  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065  Vcvv 3432  {cpr 4563   class class class wbr 5074  cfv 6433  0cc0 10871   < clt 11009  2c2 12028  3c3 12029  chash 14044  Vtxcvtx 27366  Edgcedg 27417  UMGraphcumgr 27451  USGraphcusgr 27519  ComplUSGraphccusgr 27777  Cyclesccycls 28153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-s4 14563  df-edg 27418  df-uhgr 27428  df-upgr 27452  df-umgr 27453  df-usgr 27521  df-nbgr 27700  df-uvtx 27753  df-cplgr 27778  df-cusgr 27779  df-wlks 27966  df-trls 28060  df-pths 28084  df-cycls 28155
This theorem is referenced by:  cusgracyclt3v  33118
  Copyright terms: Public domain W3C validator