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Theorem cusgr3cyclex 33794
Description: Every complete simple graph with more than two vertices has a 3-cycle. (Contributed by BTernaryTau, 4-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgr3cyclex.1 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
cusgr3cyclex ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem cusgr3cyclex
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anass 1096 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
21bianass 641 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ↔ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
3 cusgrusgr 28416 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
4 usgrumgr 28179 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
6 3simpc 1151 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
76ancli 550 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
8 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐) ↔ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐) ∧ 𝑏 β‰  𝑐))
98biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐) β†’ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐) ∧ 𝑏 β‰  𝑐))
10 an32 645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ↔ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
1110anbi1i 625 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ∧ 𝑏 β‰  𝑐) ↔ ((((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 β‰  𝑐))
12 anass 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 β‰  𝑐) ↔ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 β‰  𝑐)))
1311, 12sylbb 218 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ∧ 𝑏 β‰  𝑐) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 β‰  𝑐)))
1413anasss 468 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐) ∧ 𝑏 β‰  𝑐)) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 β‰  𝑐)))
157, 9, 14syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐)) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 β‰  𝑐)))
16 anandi3 1103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
1716anbi1i 625 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ↔ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)))
18 an4 655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ↔ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž β‰  𝑏) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž β‰  𝑐)))
1917, 18sylbb 218 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž β‰  𝑏) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž β‰  𝑐)))
20 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž β‰  𝑏) ↔ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž β‰  𝑏))
21 cusgr3cyclex.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
22 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
2321, 22cusgredgex2 33780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž β‰  𝑏) β†’ {π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2420, 23biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž β‰  𝑏) β†’ {π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
25 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž β‰  𝑐) ↔ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž β‰  𝑐))
2621, 22cusgredgex2 33780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž β‰  𝑐) β†’ {π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2725, 26biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž β‰  𝑐) β†’ {π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2824, 27anim12d 610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ ((((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž β‰  𝑏) ∧ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
2919, 28syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
30 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 β‰  𝑐) ↔ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 β‰  𝑐))
3121, 22cusgredgex2 33780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 β‰  𝑐) β†’ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
3230, 31biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 β‰  𝑐) β†’ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
3329, 32anim12d 610 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ ((((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 β‰  𝑐)) β†’ (({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
3415, 33syl5 34 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐)) β†’ (({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
35 3anan32 1098 . . . . . . . . . . 11 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ (({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
36 prcom 4697 . . . . . . . . . . . . 13 {π‘Ž, 𝑐} = {𝑐, π‘Ž}
3736eleq1i 2825 . . . . . . . . . . . 12 ({π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
38373anbi3i 1160 . . . . . . . . . . 11 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
3935, 38bitr3i 277 . . . . . . . . . 10 ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {π‘Ž, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4034, 39syl6ib 251 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐)) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
41 pm5.3 574 . . . . . . . . 9 ((((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐)) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ↔ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐)) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
4240, 41sylib 217 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐)) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
4321, 22umgr3cyclex 29176 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3 ∧ (π‘β€˜0) = π‘Ž))
44 3simpa 1149 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3 ∧ (π‘β€˜0) = π‘Ž) β†’ (𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
45442eximi 1839 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3 ∧ (π‘β€˜0) = π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
4643, 45syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
47463expib 1123 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3)))
485, 42, 47sylsyld 61 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (((π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3)))
4948expdimp 454 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3)))
502, 49sylbir 234 . . . . 5 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3)))
5150reximdvva 3199 . . . 4 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3)))
5251reximdva 3162 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3)))
53 id 22 . . . . . 6 (βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
5453rexlimivw 3145 . . . . 5 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
5554rexlimivw 3145 . . . 4 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
5655rexlimivw 3145 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
5752, 56syl6 35 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3)))
5821fvexi 6860 . . 3 𝑉 ∈ V
59 hashgt23el 14333 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ 2 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐))
6058, 59mpan 689 . 2 (2 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑐))
6157, 60impel 507 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447  {cpr 4592   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  0cc0 11059   < clt 11197  2c2 12216  3c3 12217  β™―chash 14239  Vtxcvtx 27996  Edgcedg 28047  UMGraphcumgr 28081  USGraphcusgr 28149  ComplUSGraphccusgr 28407  Cyclesccycls 28782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-concat 14468  df-s1 14493  df-s2 14746  df-s3 14747  df-s4 14748  df-edg 28048  df-uhgr 28058  df-upgr 28082  df-umgr 28083  df-usgr 28151  df-nbgr 28330  df-uvtx 28383  df-cplgr 28408  df-cusgr 28409  df-wlks 28596  df-trls 28689  df-pths 28713  df-cycls 28784
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