Theorem cusgr3cyclex 34422

Description: Every complete simple graph with more than two vertices has a 3-cycle. (Contributed by BTernaryTau, 4-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgr3cyclex.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgr3cyclex	⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))

Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem cusgr3cyclex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
2	1	bianass 639	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ↔ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
3		cusgrusgr 28940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
4		usgrumgr 28703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
6		3simpc 1149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
7	6	ancli 548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
8		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
9	8	biimpi 215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
10		an32 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
11	10	anbi1i 623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
12		anass 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
13	11, 12	sylbb 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
14	13	anasss 466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
15	7, 9, 14	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
16		anandi3 1101	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
17	16	anbi1i 623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
18		an4 653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
19	17, 18	sylbb 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
20		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
21		cusgr3cyclex.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
22		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
23	21, 22	cusgredgex2 34408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → {𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
24	20, 23	biimtrrid 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → {𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
25		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐))
26	21, 22	cusgredgex2 34408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) → {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
27	25, 26	biimtrrid 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) → {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
28	24, 27	anim12d 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
29	19, 28	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
30		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
31	21, 22	cusgredgex2 34408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
32	30, 31	biimtrrid 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
33	29, 32	anim12d 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
34	15, 33	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
35		3anan32 1096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
36		prcom 4737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑎, 𝑐} = {𝑐, 𝑎}
37	36	eleq1i 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
38	37	3anbi3i 1158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
39	35, 38	bitr3i 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
40	34, 39	imbitrdi 250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))))
41		pm5.3 572	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))))
42	40, 41	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))))
43	21, 22	umgr3cyclex 29700	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎))
44		3simpa 1147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
45	44	2eximi 1837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
46	43, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
47	46	3expib 1121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
48	5, 42, 47	sylsyld 61	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
49	48	expdimp 452	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
50	2, 49	sylbir 234	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
51	50	reximdvva 3204	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
52	51	reximdva 3167	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
53		id 22	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
54	53	rexlimivw 3150	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
55	54	rexlimivw 3150	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
56	55	rexlimivw 3150	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
57	52, 56	syl6 35	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
58	21	fvexi 6906	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
59		hashgt23el 14389	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
60	58, 59	mpan 687	. 2 ⊢ (2 < (♯‘𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
61	57, 60	impel 505	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069  Vcvv 3473  {cpr 4631   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  0cc0 11113   < clt 11253  2c2 12272  3c3 12273  ♯chash 14295  Vtxcvtx 28520  Edgcedg 28571  UMGraphcumgr 28605  USGraphcusgr 28673  ComplUSGraphccusgr 28931  Cyclesccycls 29306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-s2 14804  df-s3 14805  df-s4 14806  df-edg 28572  df-uhgr 28582  df-upgr 28606  df-umgr 28607  df-usgr 28675  df-nbgr 28854  df-uvtx 28907  df-cplgr 28932  df-cusgr 28933  df-wlks 29120  df-trls 29213  df-pths 29237  df-cycls 29308

This theorem is referenced by:  cusgracyclt3v  34442