Theorem cusgr3cyclex 35306

Description: Every complete simple graph with more than two vertices has a 3-cycle. (Contributed by BTernaryTau, 4-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgr3cyclex.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgr3cyclex	⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))

Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem cusgr3cyclex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 1095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
2	1	bianass 643	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ↔ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
3		cusgrusgr 29476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
4		usgrumgr 29238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
6		3simpc 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
7	6	ancli 548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
8		df-3an 1089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
9	8	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
10		an32 647	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
11	10	anbi1i 625	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
12		anass 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
13	11, 12	sylbb 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
14	13	anasss 466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
15	7, 9, 14	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
16		anandi3 1102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
17	16	anbi1i 625	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
18		an4 657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
19	17, 18	sylbb 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
20		df-3an 1089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
21		cusgr3cyclex.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
22		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
23	21, 22	cusgredgex2 35293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → {𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
24	20, 23	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → {𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
25		df-3an 1089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐))
26	21, 22	cusgredgex2 35293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) → {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
27	25, 26	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) → {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
28	24, 27	anim12d 610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
29	19, 28	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
30		df-3an 1089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
31	21, 22	cusgredgex2 35293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
32	30, 31	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
33	29, 32	anim12d 610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
34	15, 33	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
35		3anan32 1097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
36		prcom 4666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑎, 𝑐} = {𝑐, 𝑎}
37	36	eleq1i 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
38	37	3anbi3i 1160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
39	35, 38	bitr3i 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
40	34, 39	imbitrdi 251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))))
41		pm5.3 572	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))))
42	40, 41	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))))
43	21, 22	umgr3cyclex 30241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎))
44		3simpa 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
45	44	2eximi 1838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
46	43, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
47	46	3expib 1123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
48	5, 42, 47	sylsyld 61	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
49	48	expdimp 452	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
50	2, 49	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
51	50	reximdvva 3183	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
52	51	reximdva 3148	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
53		id 22	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
54	53	rexlimivw 3132	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
55	54	rexlimivw 3132	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
56	55	rexlimivw 3132	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
57	52, 56	syl6 35	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
58	21	fvexi 6843	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
59		hashgt23el 14375	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
60	58, 59	mpan 691	. 2 ⊢ (2 < (♯‘𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
61	57, 60	impel 505	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  ∃wrex 3059  Vcvv 3427  {cpr 4559   class class class wbr 5074  ‘cfv 6487  0cc0 11027   < clt 11168  2c2 12225  3c3 12226  ♯chash 14281  Vtxcvtx 29053  Edgcedg 29104  UMGraphcumgr 29138  USGraphcusgr 29206  ComplUSGraphccusgr 29467  Cyclesccycls 29841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oadd 8398  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-uz 12778  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-hash 14282  df-word 14465  df-concat 14522  df-s1 14548  df-s2 14799  df-s3 14800  df-s4 14801  df-edg 29105  df-uhgr 29115  df-upgr 29139  df-umgr 29140  df-usgr 29208  df-nbgr 29390  df-uvtx 29443  df-cplgr 29468  df-cusgr 29469  df-wlks 29656  df-trls 29747  df-pths 29770  df-cycls 29843

This theorem is referenced by:  cusgracyclt3v  35326