Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cusgr3cyclex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgr3cyclex 32661
Description: Every complete simple graph with more than two vertices has a 3-cycle. (Contributed by BTernaryTau, 4-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgr3cyclex.1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cusgr3cyclex ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem cusgr3cyclex
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anass 1096 . . . . . . 7 ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ↔ (𝑎𝑉 ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)))
21bianass 642 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) ↔ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)))
3 cusgrusgr 27353 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
4 usgrumgr 27116 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
6 3simpc 1151 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑏𝑉𝑐𝑉))
76ancli 552 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)))
8 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) ↔ ((𝑎𝑏𝑎𝑐) ∧ 𝑏𝑐))
98biimpi 219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) → ((𝑎𝑏𝑎𝑐) ∧ 𝑏𝑐))
10 an32 646 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ↔ (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)))
1110anbi1i 627 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ 𝑏𝑐) ↔ ((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ 𝑏𝑐))
12 anass 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ 𝑏𝑐) ↔ (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ ((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐)))
1311, 12sylbb 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ 𝑏𝑐) → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ ((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐)))
1413anasss 470 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐) ∧ 𝑏𝑐)) → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ ((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐)))
157, 9, 14syl2an 599 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ ((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐)))
16 anandi3 1103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ↔ ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑉𝑐𝑉)))
1716anbi1i 627 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ↔ (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑉𝑐𝑉)) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)))
18 an4 656 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑉𝑐𝑉)) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ↔ (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑎𝑏) ∧ ((𝑎𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑎𝑐)))
1917, 18sylbb 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) → (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑎𝑏) ∧ ((𝑎𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑎𝑐)))
20 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑎𝑏) ↔ ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑎𝑏))
21 cusgr3cyclex.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
22 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
2321, 22cusgredgex2 32647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑎𝑏) → {𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
2420, 23syl5bir 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑎𝑏) → {𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
25 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑉𝑐𝑉𝑎𝑐) ↔ ((𝑎𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑎𝑐))
2621, 22cusgredgex2 32647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑎𝑉𝑐𝑉𝑎𝑐) → {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
2725, 26syl5bir 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑎𝑐) → {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
2824, 27anim12d 612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑎𝑏) ∧ ((𝑎𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑎𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
2919, 28syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
30 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑉𝑐𝑉𝑏𝑐) ↔ ((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐))
3121, 22cusgredgex2 32647 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑏𝑉𝑐𝑉𝑏𝑐) → {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
3230, 31syl5bir 246 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐) → {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
3329, 32anim12d 612 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ ((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
3415, 33syl5 34 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
35 3anan32 1098 . . . . . . . . . . 11 (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
36 prcom 4620 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑎, 𝑐} = {𝑐, 𝑎}
3736eleq1i 2823 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
38373anbi3i 1160 . . . . . . . . . . 11 (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
3935, 38bitr3i 280 . . . . . . . . . 10 ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
4034, 39syl6ib 254 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))))
41 pm5.3 576 . . . . . . . . 9 ((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))))
4240, 41sylib 221 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))))
4321, 22umgr3cyclex 28112 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎))
44 3simpa 1149 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
45442eximi 1842 . . . . . . . . . 10 (∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
4643, 45syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
47463expib 1123 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UMGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
485, 42, 47sylsyld 61 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
4948expdimp 456 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
502, 49sylbir 238 . . . . 5 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) → ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
5150reximdvva 3186 . . . 4 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎𝑉) → (∃𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
5251reximdva 3183 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
53 id 22 . . . . . 6 (∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
5453rexlimivw 3191 . . . . 5 (∃𝑐𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
5554rexlimivw 3191 . . . 4 (∃𝑏𝑉𝑐𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
5655rexlimivw 3191 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
5752, 56syl6 35 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
5821fvexi 6682 . . 3 𝑉 ∈ V
59 hashgt23el 13870 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
6058, 59mpan 690 . 2 (2 < (♯‘𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
6157, 60impel 509 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1786  wcel 2113  wne 2934  wrex 3054  Vcvv 3397  {cpr 4515   class class class wbr 5027  cfv 6333  0cc0 10608   < clt 10746  2c2 11764  3c3 11765  chash 13775  Vtxcvtx 26933  Edgcedg 26984  UMGraphcumgr 27018  USGraphcusgr 27086  ComplUSGraphccusgr 27344  Cyclesccycls 27718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-oadd 8128  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-dju 9396  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-n0 11970  df-xnn0 12042  df-z 12056  df-uz 12318  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-hash 13776  df-word 13949  df-concat 14005  df-s1 14032  df-s2 14292  df-s3 14293  df-s4 14294  df-edg 26985  df-uhgr 26995  df-upgr 27019  df-umgr 27020  df-usgr 27088  df-nbgr 27267  df-uvtx 27320  df-cplgr 27345  df-cusgr 27346  df-wlks 27533  df-trls 27626  df-pths 27649  df-cycls 27720
This theorem is referenced by:  cusgracyclt3v  32681
  Copyright terms: Public domain W3C validator