Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cusgr3cyclex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgr3cyclex 32286
 Description: Every complete simple graph with more than two vertices has a 3-cycle. (Contributed by BTernaryTau, 4-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgr3cyclex.1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cusgr3cyclex ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem cusgr3cyclex
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anass 1089 . . . . . . 7 ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ↔ (𝑎𝑉 ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)))
21bianass 638 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) ↔ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)))
3 cusgrusgr 27134 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
4 usgrumgr 26897 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
6 3simpc 1144 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑏𝑉𝑐𝑉))
76ancli 549 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)))
8 df-3an 1083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) ↔ ((𝑎𝑏𝑎𝑐) ∧ 𝑏𝑐))
98biimpi 217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) → ((𝑎𝑏𝑎𝑐) ∧ 𝑏𝑐))
10 an32 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ↔ (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)))
1110anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ 𝑏𝑐) ↔ ((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ 𝑏𝑐))
12 anass 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ 𝑏𝑐) ↔ (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ ((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐)))
1311, 12sylbb 220 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ 𝑏𝑐) → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ ((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐)))
1413anasss 467 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐) ∧ 𝑏𝑐)) → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ ((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐)))
157, 9, 14syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ ((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐)))
16 anandi3 1096 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ↔ ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑉𝑐𝑉)))
1716anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ↔ (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑉𝑐𝑉)) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)))
18 an4 652 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑎𝑉𝑐𝑉)) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ↔ (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑎𝑏) ∧ ((𝑎𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑎𝑐)))
1917, 18sylbb 220 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) → (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑎𝑏) ∧ ((𝑎𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑎𝑐)))
20 df-3an 1083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑎𝑏) ↔ ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑎𝑏))
21 cusgr3cyclex.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
22 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
2321, 22cusgredgex2 32272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑎𝑏) → {𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
2420, 23syl5bir 244 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑎𝑏) → {𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
25 df-3an 1083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑉𝑐𝑉𝑎𝑐) ↔ ((𝑎𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑎𝑐))
2621, 22cusgredgex2 32272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑎𝑉𝑐𝑉𝑎𝑐) → {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
2725, 26syl5bir 244 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑎𝑐) → {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
2824, 27anim12d 608 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑎𝑏) ∧ ((𝑎𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑎𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
2919, 28syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
30 df-3an 1083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑉𝑐𝑉𝑏𝑐) ↔ ((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐))
3121, 22cusgredgex2 32272 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑏𝑉𝑐𝑉𝑏𝑐) → {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
3230, 31syl5bir 244 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐) → {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
3329, 32anim12d 608 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐)) ∧ ((𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ 𝑏𝑐)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
3415, 33syl5 34 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
35 3anan32 1091 . . . . . . . . . . 11 (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
36 prcom 4667 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑎, 𝑐} = {𝑐, 𝑎}
3736eleq1i 2908 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
38373anbi3i 1153 . . . . . . . . . . 11 (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
3935, 38bitr3i 278 . . . . . . . . . 10 ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
4034, 39syl6ib 252 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))))
41 pm5.3 573 . . . . . . . . 9 ((((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))))
4240, 41sylib 219 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))))
4321, 22umgr3cyclex 27895 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎))
44 3simpa 1142 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
45442eximi 1829 . . . . . . . . . 10 (∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
4643, 45syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
47463expib 1116 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UMGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
485, 42, 47sylsyld 61 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
4948expdimp 453 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
502, 49sylbir 236 . . . . 5 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) → ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
5150reximdvva 3282 . . . 4 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎𝑉) → (∃𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
5251reximdva 3279 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
53 id 22 . . . . . 6 (∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
5453rexlimivw 3287 . . . . 5 (∃𝑐𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
5554rexlimivw 3287 . . . 4 (∃𝑏𝑉𝑐𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
5655rexlimivw 3287 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
5752, 56syl6 35 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
5821fvexi 6683 . . 3 𝑉 ∈ V
59 hashgt23el 13780 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
6058, 59mpan 686 . 2 (2 < (♯‘𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏𝑐))
6157, 60impel 506 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1081   = wceq 1530  ∃wex 1773   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021  ∃wrex 3144  Vcvv 3500  {cpr 4566   class class class wbr 5063  ‘cfv 6354  0cc0 10531   < clt 10669  2c2 11686  3c3 11687  ♯chash 13685  Vtxcvtx 26714  Edgcedg 26765  UMGraphcumgr 26799  USGraphcusgr 26867  ComplUSGraphccusgr 27125  Cyclesccycls 27499 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-ifp 1057  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-hash 13686  df-word 13857  df-concat 13918  df-s1 13945  df-s2 14205  df-s3 14206  df-s4 14207  df-edg 26766  df-uhgr 26776  df-upgr 26800  df-umgr 26801  df-usgr 26869  df-nbgr 27048  df-uvtx 27101  df-cplgr 27126  df-cusgr 27127  df-wlks 27314  df-trls 27407  df-pths 27430  df-cycls 27501 This theorem is referenced by:  cusgracyclt3v  32306
 Copyright terms: Public domain W3C validator