Theorem cusgr3cyclex 35123

Description: Every complete simple graph with more than two vertices has a 3-cycle. (Contributed by BTernaryTau, 4-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgr3cyclex.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgr3cyclex	⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))

Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem cusgr3cyclex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
2	1	bianass 642	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ↔ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
3		cusgrusgr 29352	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
4		usgrumgr 29114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
6		3simpc 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
7	6	ancli 548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
8		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
9	8	biimpi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
10		an32 646	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
11	10	anbi1i 624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
12		anass 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
13	11, 12	sylbb 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
14	13	anasss 466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
15	7, 9, 14	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
16		anandi3 1101	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
17	16	anbi1i 624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
18		an4 656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
19	17, 18	sylbb 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
20		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
21		cusgr3cyclex.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
22		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
23	21, 22	cusgredgex2 35110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → {𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
24	20, 23	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → {𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
25		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐))
26	21, 22	cusgredgex2 35110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) → {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
27	25, 26	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) → {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
28	24, 27	anim12d 609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
29	19, 28	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
30		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
31	21, 22	cusgredgex2 35110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
32	30, 31	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
33	29, 32	anim12d 609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
34	15, 33	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
35		3anan32 1096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
36		prcom 4698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑎, 𝑐} = {𝑐, 𝑎}
37	36	eleq1i 2820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
38	37	3anbi3i 1159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
39	35, 38	bitr3i 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
40	34, 39	imbitrdi 251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))))
41		pm5.3 572	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))))
42	40, 41	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))))
43	21, 22	umgr3cyclex 30118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎))
44		3simpa 1148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
45	44	2eximi 1836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
46	43, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
47	46	3expib 1122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
48	5, 42, 47	sylsyld 61	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
49	48	expdimp 452	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
50	2, 49	sylbir 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
51	50	reximdvva 3186	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
52	51	reximdva 3147	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
53		id 22	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
54	53	rexlimivw 3131	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
55	54	rexlimivw 3131	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
56	55	rexlimivw 3131	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
57	52, 56	syl6 35	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
58	21	fvexi 6874	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
59		hashgt23el 14395	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
60	58, 59	mpan 690	. 2 ⊢ (2 < (♯‘𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
61	57, 60	impel 505	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  Vcvv 3450  {cpr 4593   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  0cc0 11074   < clt 11214  2c2 12242  3c3 12243  ♯chash 14301  Vtxcvtx 28929  Edgcedg 28980  UMGraphcumgr 29014  USGraphcusgr 29082  ComplUSGraphccusgr 29343  Cyclesccycls 29721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-oadd 8440  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-uz 12800  df-xneg 13078  df-xadd 13079  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-hash 14302  df-word 14485  df-concat 14542  df-s1 14567  df-s2 14820  df-s3 14821  df-s4 14822  df-edg 28981  df-uhgr 28991  df-upgr 29015  df-umgr 29016  df-usgr 29084  df-nbgr 29266  df-uvtx 29319  df-cplgr 29344  df-cusgr 29345  df-wlks 29533  df-trls 29626  df-pths 29650  df-cycls 29723

This theorem is referenced by:  cusgracyclt3v  35143