Theorem cusgr3cyclex 32661

Description: Every complete simple graph with more than two vertices has a 3-cycle. (Contributed by BTernaryTau, 4-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgr3cyclex.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgr3cyclex	⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))

Distinct variable group:   𝑓,𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem cusgr3cyclex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 1096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
2	1	bianass 642	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ↔ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
3		cusgrusgr 27353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
4		usgrumgr 27116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
6		3simpc 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
7	6	ancli 552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
8		df-3an 1090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
9	8	biimpi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
10		an32 646	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
11	10	anbi1i 627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
12		anass 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
13	11, 12	sylbb 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
14	13	anasss 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
15	7, 9, 14	syl2an 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
16		anandi3 1103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
17	16	anbi1i 627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
18		an4 656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
19	17, 18	sylbb 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)))
20		df-3an 1090	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏))
21		cusgr3cyclex.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
22		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
23	21, 22	cusgredgex2 32647	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → {𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
24	20, 23	syl5bir 246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → {𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
25		df-3an 1090	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐))
26	21, 22	cusgredgex2 32647	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) → {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
27	25, 26	syl5bir 246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐) → {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
28	24, 27	anim12d 612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
29	19, 28	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
30		df-3an 1090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) ↔ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
31	21, 22	cusgredgex2 32647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
32	30, 31	syl5bir 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
33	29, 32	anim12d 612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
34	15, 33	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺))))
35		3anan32 1098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
36		prcom 4620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑎, 𝑐} = {𝑐, 𝑎}
37	36	eleq1i 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))
38	37	3anbi3i 1160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
39	35, 38	bitr3i 280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑎, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
40	34, 39	syl6ib 254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))))
41		pm5.3 576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))))
42	40, 41	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))))
43	21, 22	umgr3cyclex 28112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎))
44		3simpa 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
45	44	2eximi 1842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑎) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
46	43, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
47	46	3expib 1123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
48	5, 42, 47	sylsyld 61	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
49	48	expdimp 456	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
50	2, 49	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
51	50	reximdvva 3186	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
52	51	reximdva 3183	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
53		id 22	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
54	53	rexlimivw 3191	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
55	54	rexlimivw 3191	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
56	55	rexlimivw 3191	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))
57	52, 56	syl6 35	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3)))
58	21	fvexi 6682	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
59		hashgt23el 13870	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
60	58, 59	mpan 690	. 2 ⊢ (2 < (♯‘𝑉) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))
61	57, 60	impel 509	1 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 2 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  ∃wex 1786   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934  ∃wrex 3054  Vcvv 3397  {cpr 4515   class class class wbr 5027  ‘cfv 6333  0cc0 10608   < clt 10746  2c2 11764  3c3 11765  ♯chash 13775  Vtxcvtx 26933  Edgcedg 26984  UMGraphcumgr 27018  USGraphcusgr 27086  ComplUSGraphccusgr 27344  Cyclesccycls 27718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-oadd 8128  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-dju 9396  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-n0 11970  df-xnn0 12042  df-z 12056  df-uz 12318  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-hash 13776  df-word 13949  df-concat 14005  df-s1 14032  df-s2 14292  df-s3 14293  df-s4 14294  df-edg 26985  df-uhgr 26995  df-upgr 27019  df-umgr 27020  df-usgr 27088  df-nbgr 27267  df-uvtx 27320  df-cplgr 27345  df-cusgr 27346  df-wlks 27533  df-trls 27626  df-pths 27649  df-cycls 27720

This theorem is referenced by:  cusgracyclt3v  32681