Theorem submnd0OLD 18876

Description: Obsolete version of submnd0 18875 as of 12-Aug-2026. The zero of a submonoid is the same as the zero in the parent monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
submnd0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
submnd0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
submnd0.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
submnd0OLD	⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 0 = (0g‘𝐻))

Proof of Theorem submnd0OLD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. 2 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
3		eqid 2762	. 2 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
4		simprr 785	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 0 ∈ 𝑆)
5		submnd0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
6		submnd0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7	5, 6	ressbas2 17336	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
8	7	ad2antrl 741	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
9	4, 8	eleqtrd 2864	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 0 ∈ (Base‘𝐻))
10		fvex 6895	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) ∈ V
11	8, 10	eqeltrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ∈ V)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑆 ∈ V)
13		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
14	5, 13	ressplusg 17382	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
15	12, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
16	15	oveqd 7434	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑥) = ( 0 (+g‘𝐻)𝑥))
17		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 𝐺 ∈ Mnd)
18	5, 6	ressbasss 17337	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) ⊆ 𝐵
19	18	sseli 3930	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20		submnd0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
21	6, 13, 20	mndlid 18863	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
22	17, 19, 21	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
23	16, 22	eqtr3d 2799	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → ( 0 (+g‘𝐻)𝑥) = 𝑥)
24	15	oveqd 7434	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = (𝑥(+g‘𝐻) 0 ))
25	6, 13, 20	mndrid 18864	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑥)
26	17, 19, 25	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑥)
27	24, 26	eqtr3d 2799	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐻) 0 ) = 𝑥)
28	1, 2, 3, 9, 23, 27	ismgmid2 18768	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 0 = (0g‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  +_gcplusg 17348  0_gc0g 17530  Mndcmnd 18842

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843

This theorem is used by: (None)