Theorem submnd0OLD 18937

Description: Obsolete version of submnd0 18936 as of 12-Aug-2026. The zero of a submonoid is the same as the zero in the parent monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
submnd0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
submnd0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
submnd0.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
submnd0OLD	⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 0 = (0g‘𝐻))

Proof of Theorem submnd0OLD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. 2 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2		eqid 2761	. 2 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
3		eqid 2761	. 2 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
4		simprr 785	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 0 ∈ 𝑆)
5		submnd0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
6		submnd0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7	5, 6	ressbas2 17396	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
8	7	ad2antrl 741	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
9	4, 8	eleqtrd 2863	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 0 ∈ (Base‘𝐻))
10		fvex 6890	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) ∈ V
11	8, 10	eqeltrdi 2869	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ∈ V)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑆 ∈ V)
13		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
14	5, 13	ressplusg 17442	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
15	12, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
16	15	oveqd 7429	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑥) = ( 0 (+g‘𝐻)𝑥))
17		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 𝐺 ∈ Mnd)
18	5, 6	ressbasss 17397	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) ⊆ 𝐵
19	18	sseli 3927	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20		submnd0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
21	6, 13, 20	mndlid 18924	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
22	17, 19, 21	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
23	16, 22	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → ( 0 (+g‘𝐻)𝑥) = 𝑥)
24	15	oveqd 7429	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = (𝑥(+g‘𝐻) 0 ))
25	6, 13, 20	mndrid 18925	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑥)
26	17, 19, 25	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑥)
27	24, 26	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐻) 0 ) = 𝑥)
28	1, 2, 3, 9, 23, 27	ismgmid2 18829	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 0 = (0g‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  +_gcplusg 17408  0_gc0g 17590  Mndcmnd 18903

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904

This theorem is used by: (None)