Theorem submnd0OLD 18852

Description: Obsolete version of submnd0 18851 as of 12-Aug-2026. The zero of a submonoid is the same as the zero in the parent monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
submnd0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
submnd0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
submnd0.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
submnd0OLD	⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 0 = (0g‘𝐻))

Proof of Theorem submnd0OLD

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. 2 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2		eqid 2766	. 2 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
3		eqid 2766	. 2 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
4		simprr 785	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 0 ∈ 𝑆)
5		submnd0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
6		submnd0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7	5, 6	ressbas2 17323	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
8	7	ad2antrl 741	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
9	4, 8	eleqtrd 2868	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 0 ∈ (Base‘𝐻))
10		fvex 6901	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) ∈ V
11	8, 10	eqeltrdi 2874	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ∈ V)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → 𝑆 ∈ V)
13		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
14	5, 13	ressplusg 17369	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
15	12, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
16	15	oveqd 7440	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑥) = ( 0 (+g‘𝐻)𝑥))
17		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 𝐺 ∈ Mnd)
18	5, 6	ressbasss 17324	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) ⊆ 𝐵
19	18	sseli 3936	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20		submnd0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
21	6, 13, 20	mndlid 18841	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
22	17, 19, 21	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → ( 0 (+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
23	16, 22	eqtr3d 2803	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → ( 0 (+g‘𝐻)𝑥) = 𝑥)
24	15	oveqd 7440	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = (𝑥(+g‘𝐻) 0 ))
25	6, 13, 20	mndrid 18842	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑥)
26	17, 19, 25	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑥)
27	24, 26	eqtr3d 2803	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐻) 0 ) = 𝑥)
28	1, 2, 3, 9, 23, 27	ismgmid2 18752	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → 0 = (0g‘𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  +_gcplusg 17335  0_gc0g 17517  Mndcmnd 18821

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822

This theorem is used by: (None)