| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | rhmghm 20484 | . . 3
⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁)) | 
| 2 |  | subrngsubg 20552 | . . 3
⊢ (𝑋 ∈ (SubRng‘𝑀) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑀)) | 
| 3 |  | ghmima 19255 | . . 3
⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑀)) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑁)) | 
| 4 | 1, 2, 3 | syl2an 596 | . 2
⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubRng‘𝑀)) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑁)) | 
| 5 |  | eqid 2737 | . . . 4
⊢
(mulGrp‘𝑀) =
(mulGrp‘𝑀) | 
| 6 |  | eqid 2737 | . . . 4
⊢
(mulGrp‘𝑁) =
(mulGrp‘𝑁) | 
| 7 | 5, 6 | rhmmhm 20479 | . . 3
⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑀) MndHom (mulGrp‘𝑁))) | 
| 8 |  | simpl 482 | . . . . 5
⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑀) MndHom (mulGrp‘𝑁)) ∧ 𝑋 ∈ (SubRng‘𝑀)) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑀) MndHom (mulGrp‘𝑁))) | 
| 9 |  | eqid 2737 | . . . . . . . . 9
⊢
(Base‘𝑀) =
(Base‘𝑀) | 
| 10 | 5, 9 | mgpbas 20142 | . . . . . . . 8
⊢
(Base‘𝑀) =
(Base‘(mulGrp‘𝑀)) | 
| 11 | 10 | eqcomi 2746 | . . . . . . 7
⊢
(Base‘(mulGrp‘𝑀)) = (Base‘𝑀) | 
| 12 | 11 | subrngss 20548 | . . . . . 6
⊢ (𝑋 ∈ (SubRng‘𝑀) → 𝑋 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑀))) | 
| 13 | 12 | adantl 481 | . . . . 5
⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑀) MndHom (mulGrp‘𝑁)) ∧ 𝑋 ∈ (SubRng‘𝑀)) → 𝑋 ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑀))) | 
| 14 |  | eqidd 2738 | . . . . 5
⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑀) MndHom (mulGrp‘𝑁)) ∧ 𝑋 ∈ (SubRng‘𝑀)) →
(+g‘(mulGrp‘𝑀)) =
(+g‘(mulGrp‘𝑀))) | 
| 15 |  | eqidd 2738 | . . . . 5
⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑀) MndHom (mulGrp‘𝑁)) ∧ 𝑋 ∈ (SubRng‘𝑀)) →
(+g‘(mulGrp‘𝑁)) =
(+g‘(mulGrp‘𝑁))) | 
| 16 |  | eqid 2737 | . . . . . . . . 9
⊢
(.r‘𝑀) = (.r‘𝑀) | 
| 17 | 5, 16 | mgpplusg 20141 | . . . . . . . 8
⊢
(.r‘𝑀) = (+g‘(mulGrp‘𝑀)) | 
| 18 | 17 | eqcomi 2746 | . . . . . . 7
⊢
(+g‘(mulGrp‘𝑀)) = (.r‘𝑀) | 
| 19 | 18 | subrngmcl 20557 | . . . . . 6
⊢ ((𝑋 ∈ (SubRng‘𝑀) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧(+g‘(mulGrp‘𝑀))𝑥) ∈ 𝑋) | 
| 20 | 19 | 3adant1l 1177 | . . . . 5
⊢ (((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑀) MndHom (mulGrp‘𝑁)) ∧ 𝑋 ∈ (SubRng‘𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑧(+g‘(mulGrp‘𝑀))𝑥) ∈ 𝑋) | 
| 21 | 8, 13, 14, 15, 20 | mhmimalem 18837 | . . . 4
⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑀) MndHom (mulGrp‘𝑁)) ∧ 𝑋 ∈ (SubRng‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝑋)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝑋)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑁))𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑋)) | 
| 22 |  | eqid 2737 | . . . . . . . . 9
⊢
(.r‘𝑁) = (.r‘𝑁) | 
| 23 | 6, 22 | mgpplusg 20141 | . . . . . . . 8
⊢
(.r‘𝑁) = (+g‘(mulGrp‘𝑁)) | 
| 24 | 23 | eqcomi 2746 | . . . . . . 7
⊢
(+g‘(mulGrp‘𝑁)) = (.r‘𝑁) | 
| 25 | 24 | oveqi 7444 | . . . . . 6
⊢ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑁))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑁)𝑦) | 
| 26 | 25 | eleq1i 2832 | . . . . 5
⊢ ((𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑁))𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑋) ↔ (𝑥(.r‘𝑁)𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑋)) | 
| 27 | 26 | 2ralbii 3128 | . . . 4
⊢
(∀𝑥 ∈
(𝐹 “ 𝑋)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝑋)(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑁))𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑋) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝑋)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝑋)(𝑥(.r‘𝑁)𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑋)) | 
| 28 | 21, 27 | sylib 218 | . . 3
⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑀) MndHom (mulGrp‘𝑁)) ∧ 𝑋 ∈ (SubRng‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝑋)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝑋)(𝑥(.r‘𝑁)𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑋)) | 
| 29 | 7, 28 | sylan 580 | . 2
⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubRng‘𝑀)) → ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝑋)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝑋)(𝑥(.r‘𝑁)𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑋)) | 
| 30 |  | rhmrcl2 20477 | . . . . 5
⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝑁 ∈ Ring) | 
| 31 |  | ringrng 20282 | . . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Rng) | 
| 32 | 30, 31 | syl 17 | . . . 4
⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝑁 ∈ Rng) | 
| 33 | 32 | adantr 480 | . . 3
⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubRng‘𝑀)) → 𝑁 ∈ Rng) | 
| 34 |  | eqid 2737 | . . . 4
⊢
(Base‘𝑁) =
(Base‘𝑁) | 
| 35 | 34, 22 | issubrng2 20558 | . . 3
⊢ (𝑁 ∈ Rng → ((𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubRng‘𝑁) ↔ ((𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝑋)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝑋)(𝑥(.r‘𝑁)𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑋)))) | 
| 36 | 33, 35 | syl 17 | . 2
⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubRng‘𝑀)) → ((𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubRng‘𝑁) ↔ ((𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubGrp‘𝑁) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐹 “ 𝑋)∀𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝑋)(𝑥(.r‘𝑁)𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑋)))) | 
| 37 | 4, 29, 36 | mpbir2and 713 | 1
⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ 𝑋 ∈ (SubRng‘𝑀)) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ (SubRng‘𝑁)) |