MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgmcl 19467
Description: A subgroup is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgmcl.p · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
subrgmcl ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem subrgmcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . . . 5 (𝑅s 𝐴) = (𝑅s 𝐴)
21subrgring 19458 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅s 𝐴) ∈ Ring)
323ad2ant1 1127 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑅s 𝐴) ∈ Ring)
4 simp2 1131 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋𝐴)
51subrgbas 19464 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘(𝑅s 𝐴)))
653ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝐴 = (Base‘(𝑅s 𝐴)))
74, 6eleqtrd 2920 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)))
8 simp3 1132 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌𝐴)
98, 6eleqtrd 2920 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)))
10 eqid 2826 . . . 4 (Base‘(𝑅s 𝐴)) = (Base‘(𝑅s 𝐴))
11 eqid 2826 . . . 4 (.r‘(𝑅s 𝐴)) = (.r‘(𝑅s 𝐴))
1210, 11ringcl 19231 . . 3 (((𝑅s 𝐴) ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴))) → (𝑋(.r‘(𝑅s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)))
133, 7, 9, 12syl3anc 1365 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋(.r‘(𝑅s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)))
14 subrgmcl.p . . . . 5 · = (.r𝑅)
151, 14ressmulr 16615 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → · = (.r‘(𝑅s 𝐴)))
16153ad2ant1 1127 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → · = (.r‘(𝑅s 𝐴)))
1716oveqd 7165 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(.r‘(𝑅s 𝐴))𝑌))
1813, 17, 63eltr4d 2933 1 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6352  (class class class)co 7148  Basecbs 16473  s cress 16474  .rcmulr 16556  Ringcrg 19217  SubRingcsubrg 19451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-subg 18206  df-mgp 19160  df-ring 19219  df-subrg 19453
This theorem is referenced by:  issubrg2  19475  subrgint  19477  abvres  19530  issubassa2  20040  rnasclmulcl  20042  resspsrmul  20116  mplbas2  20170  mpfmulcl  20238  pf1mulcl  20436  cnsubrg  20524  chfacfisfcpmat  21382  clmmcl  23607  cphdivcl  23704  cphabscl  23707  cphsqrtcl2  23708  cphsqrtcl3  23709  plypf1  24720  dvply2g  24792  taylply2  24874  fedgmullem2  30915  cnsrexpcl  39633  cnsrplycl  39635  rngunsnply  39641
  Copyright terms: Public domain W3C validator