Theorem dvhvaddcl 41759

Description: Closure of the vector sum operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 26-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvhvaddcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvhvaddcl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvhvaddcl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvhvaddcl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvhvaddcl.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dvhvaddcl.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
dvhvaddcl.a	⊢ + = (+g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvhvaddcl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐹 + 𝐺) ∈ (𝑇 × 𝐸))

Proof of Theorem dvhvaddcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvhvaddcl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvhvaddcl.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		dvhvaddcl.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4		dvhvaddcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dvhvaddcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
6		dvhvaddcl.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
7		dvhvaddcl.p	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	dvhvadd 41756	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐹 + 𝐺) = ⟨((1st ‘𝐹) ∘ (1st ‘𝐺)), ((2nd ‘𝐹) ⨣ (2nd ‘𝐺))⟩)
9		simpl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		xp1st 8018	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) → (1st ‘𝐹) ∈ 𝑇)
11	10	ad2antrl 740	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (1st ‘𝐹) ∈ 𝑇)
12		xp1st 8018	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸) → (1st ‘𝐺) ∈ 𝑇)
13	12	ad2antll 741	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (1st ‘𝐺) ∈ 𝑇)
14	1, 2	ltrnco 41383	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (1st ‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (1st ‘𝐺) ∈ 𝑇) → ((1st ‘𝐹) ∘ (1st ‘𝐺)) ∈ 𝑇)
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ((1st ‘𝐹) ∘ (1st ‘𝐺)) ∈ 𝑇)
16		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑐) ∘ (𝑏‘𝑐)))) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑐) ∘ (𝑏‘𝑐))))
17	1, 2, 3, 4, 5, 16, 7	dvhfplusr 41748	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ⨣ = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑐) ∘ (𝑏‘𝑐)))))
18	17	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ⨣ = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑐) ∘ (𝑏‘𝑐)))))
19	18	oveqd 7428	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ((2nd ‘𝐹) ⨣ (2nd ‘𝐺)) = ((2nd ‘𝐹)(𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑐) ∘ (𝑏‘𝑐))))(2nd ‘𝐺)))
20		xp2nd 8019	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) → (2nd ‘𝐹) ∈ 𝐸)
21	20	ad2antrl 740	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (2nd ‘𝐹) ∈ 𝐸)
22		xp2nd 8019	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸) → (2nd ‘𝐺) ∈ 𝐸)
23	22	ad2antll 741	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (2nd ‘𝐺) ∈ 𝐸)
24	1, 2, 3, 16	tendoplcl 41445	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (2nd ‘𝐹) ∈ 𝐸 ∧ (2nd ‘𝐺) ∈ 𝐸) → ((2nd ‘𝐹)(𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑐) ∘ (𝑏‘𝑐))))(2nd ‘𝐺)) ∈ 𝐸)
25	9, 21, 23, 24	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ((2nd ‘𝐹)(𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑐) ∘ (𝑏‘𝑐))))(2nd ‘𝐺)) ∈ 𝐸)
26	19, 25	eqeltrd 2869	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ((2nd ‘𝐹) ⨣ (2nd ‘𝐺)) ∈ 𝐸)
27		opelxpi 5699	. . 3 ⊢ ((((1st ‘𝐹) ∘ (1st ‘𝐺)) ∈ 𝑇 ∧ ((2nd ‘𝐹) ⨣ (2nd ‘𝐺)) ∈ 𝐸) → ⟨((1st ‘𝐹) ∘ (1st ‘𝐺)), ((2nd ‘𝐹) ⨣ (2nd ‘𝐺))⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
28	15, 26, 27	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → ⟨((1st ‘𝐹) ∘ (1st ‘𝐺)), ((2nd ‘𝐹) ⨣ (2nd ‘𝐺))⟩ ∈ (𝑇 × 𝐸))
29	8, 28	eqeltrd 2869	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 × 𝐸))) → (𝐹 + 𝐺) ∈ (𝑇 × 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ⟨cop 4600   ↦ cmpt 5196   × cxp 5660   ∘ ccom 5666  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1^st c1st 7984  2^nd c2nd 7985  +_gcplusg 17310  Scalarcsca 17313  HLchlt 40014  LHypclh 40648  LTrncltrn 40765  TEndoctendo 41416  DVecHcdvh 41742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-riotaBAD 39617

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-undef 8269  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-proset 18350  df-poset 18369  df-plt 18384  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-p0 18479  df-p1 18480  df-lat 18488  df-clat 18555  df-oposet 39840  df-ol 39842  df-oml 39843  df-covers 39930  df-ats 39931  df-atl 39962  df-cvlat 39986  df-hlat 40015  df-llines 40162  df-lplanes 40163  df-lvols 40164  df-lines 40165  df-psubsp 40167  df-pmap 40168  df-padd 40460  df-lhyp 40652  df-laut 40653  df-ldil 40768  df-ltrn 40769  df-trl 40823  df-tendo 41419  df-edring 41421  df-dvech 41743

This theorem is referenced by:  dvhvaddass  41761  dvhgrp  41771  dvhlveclem  41772