Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhvaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvhvaddcl 39561
Description: Closure of the vector sum operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 26-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhvaddcl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvhvaddcl.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhvaddcl.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhvaddcl.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhvaddcl.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
dvhvaddcl.p ⨣ = (+gβ€˜π·)
dvhvaddcl.a + = (+gβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dvhvaddcl (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝐹 + 𝐺) ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))

Proof of Theorem dvhvaddcl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvhvaddcl.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvhvaddcl.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dvhvaddcl.e . . 3 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 dvhvaddcl.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 dvhvaddcl.d . . 3 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
6 dvhvaddcl.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
7 dvhvaddcl.p . . 3 ⨣ = (+gβ€˜π·)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dvhvadd 39558 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝐹 + 𝐺) = ⟨((1st β€˜πΉ) ∘ (1st β€˜πΊ)), ((2nd β€˜πΉ) ⨣ (2nd β€˜πΊ))⟩)
9 simpl 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
10 xp1st 7954 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ (1st β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
1110ad2antrl 727 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (1st β€˜πΉ) ∈ 𝑇)
12 xp1st 7954 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ (1st β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
1312ad2antll 728 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (1st β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
141, 2ltrnco 39185 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (1st β€˜πΉ) ∈ 𝑇 ∧ (1st β€˜πΊ) ∈ 𝑇) β†’ ((1st β€˜πΉ) ∘ (1st β€˜πΊ)) ∈ 𝑇)
159, 11, 13, 14syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ((1st β€˜πΉ) ∘ (1st β€˜πΊ)) ∈ 𝑇)
16 eqid 2737 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘)))) = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))
171, 2, 3, 4, 5, 16, 7dvhfplusr 39550 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ⨣ = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘)))))
1817adantr 482 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ⨣ = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘)))))
1918oveqd 7375 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ((2nd β€˜πΉ) ⨣ (2nd β€˜πΊ)) = ((2nd β€˜πΉ)(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))(2nd β€˜πΊ)))
20 xp2nd 7955 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ (2nd β€˜πΉ) ∈ 𝐸)
2120ad2antrl 727 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (2nd β€˜πΉ) ∈ 𝐸)
22 xp2nd 7955 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) β†’ (2nd β€˜πΊ) ∈ 𝐸)
2322ad2antll 728 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (2nd β€˜πΊ) ∈ 𝐸)
241, 2, 3, 16tendoplcl 39247 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (2nd β€˜πΉ) ∈ 𝐸 ∧ (2nd β€˜πΊ) ∈ 𝐸) β†’ ((2nd β€˜πΉ)(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))(2nd β€˜πΊ)) ∈ 𝐸)
259, 21, 23, 24syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ((2nd β€˜πΉ)(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑐 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘) ∘ (π‘β€˜π‘))))(2nd β€˜πΊ)) ∈ 𝐸)
2619, 25eqeltrd 2838 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ((2nd β€˜πΉ) ⨣ (2nd β€˜πΊ)) ∈ 𝐸)
27 opelxpi 5671 . . 3 ((((1st β€˜πΉ) ∘ (1st β€˜πΊ)) ∈ 𝑇 ∧ ((2nd β€˜πΉ) ⨣ (2nd β€˜πΊ)) ∈ 𝐸) β†’ ⟨((1st β€˜πΉ) ∘ (1st β€˜πΊ)), ((2nd β€˜πΉ) ⨣ (2nd β€˜πΊ))⟩ ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
2815, 26, 27syl2anc 585 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ ⟨((1st β€˜πΉ) ∘ (1st β€˜πΊ)), ((2nd β€˜πΉ) ⨣ (2nd β€˜πΊ))⟩ ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
298, 28eqeltrd 2838 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸) ∧ 𝐺 ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝐹 + 𝐺) ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βŸ¨cop 4593   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  1st c1st 7920  2nd c2nd 7921  +gcplusg 17134  Scalarcsca 17137  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  TEndoctendo 39218  DVecHcdvh 39544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625  df-tendo 39221  df-edring 39223  df-dvech 39545
This theorem is referenced by:  dvhvaddass  39563  dvhgrp  39573  dvhlveclem  39574
  Copyright terms: Public domain W3C validator