Theorem ncoltgdim2 28961

Description: If there are three non-colinear points, then the dimension is at least two. Converse of tglowdim2l 29052. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
ncoltgdim2.1	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
ncoltgdim2	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Proof of Theorem ncoltgdim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ncoltgdim2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
2		tglngval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		tglngval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglngval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		tglngval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		tglngval.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2) → 𝑋 ∈ 𝑃)
9		tglngval.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2) → 𝑌 ∈ 𝑃)
11		tgcolg.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2) → 𝑍 ∈ 𝑃)
13		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2) → ¬ 𝐺DimTarskiG≥2)
14	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 13	tgdim01ln 28960	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
15	1, 14	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2)
16	15	notnotrd 134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  2c2 12366  Basecbs 17348  TarskiGcstrkg 28822  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28826  Itvcitv 28828  LineGclng 28829

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-trkgc 28843  df-trkgcb 28845  df-trkgld 28847  df-trkg 28848

This theorem is used by:  opptgdim2  29154  symquadmid  29237  trgcopy  29244  trgcopyeulem  29245  ragcgra  29276  cgrg3col4  29305  angmgmaddeu1  29312  prlngex  29362  prlngmid2  29372  symquadprlng  29373  prlngsymquadlem  29374  prlngsymquad  29375  prlngsymquadopp  29376