Theorem ncoltgdim2 29055

Description: If there are three non-colinear points, then the dimension is at least two. Converse of tglowdim2l 29146. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgcolg.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
ncoltgdim2.1	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
ncoltgdim2	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Proof of Theorem ncoltgdim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ncoltgdim2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
2		tglngval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		tglngval.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglngval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		tglngval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		tglngval.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2) → 𝑋 ∈ 𝑃)
9		tglngval.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2) → 𝑌 ∈ 𝑃)
11		tgcolg.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2) → 𝑍 ∈ 𝑃)
13		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2) → ¬ 𝐺DimTarskiG≥2)
14	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 13	tgdim01ln 29054	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∨ 𝑋 = 𝑌))
15	1, 14	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ¬ 𝐺DimTarskiG≥2)
16	15	notnotrd 134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  2c2 12421  Basecbs 17413  TarskiGcstrkg 28916  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28920  Itvcitv 28922  LineGclng 28923

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-trkgc 28937  df-trkgcb 28939  df-trkgld 28941  df-trkg 28942

This theorem is used by:  opptgdim2  29248  symquadmid  29331  trgcopy  29338  trgcopyeulem  29339  ragcgra  29370  cgrg3col4  29399  angmgmaddeu1  29406  prlngex  29456  prlngmid2  29466  symquadprlng  29467  prlngsymquadlem  29468  prlngsymquad  29469  prlngsymquadopp  29470  inagcgrabtwn  33078  tgmircgrg  33092  tgmircgra  33093  tgextamirn  33094  tgextalem1inag  33097  tgextale  33098  tgextamirnhl  33099  tgextahp  33100  tgextancgra  33101