Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglowdim1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglowdim1i 26394
 Description: Lower dimension axiom for one dimension. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglowdim1.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglowdim1.d = (dist‘𝐺)
tglowdim1.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglowdim1.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglowdim1.1 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
tglowdim1i.1 (𝜑𝑋𝑃)
Assertion
Ref Expression
tglowdim1i (𝜑 → ∃𝑦𝑃 𝑋𝑦)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑦)   (𝑦)

Proof of Theorem tglowdim1i
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglowdim1.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tglowdim1.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 tglowdim1.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglowdim1.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tglowdim1.1 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
76adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
81, 2, 3, 5, 7tglowdim1 26393 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 𝑎𝑏)
9 eqeq2 2770 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → (𝑋 = 𝑦𝑋 = 𝑎))
10 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) → ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦)
11 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) → 𝑎𝑃)
129, 10, 11rspcdva 3543 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) → 𝑋 = 𝑎)
13 eqeq2 2770 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 → (𝑋 = 𝑦𝑋 = 𝑏))
1413rspccva 3540 . . . . . . . . 9 ((∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦𝑏𝑃) → 𝑋 = 𝑏)
1514ad4ant24 753 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) → 𝑋 = 𝑏)
1612, 15eqtr3d 2795 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) → 𝑎 = 𝑏)
17 nne 2955 . . . . . . 7 𝑎𝑏𝑎 = 𝑏)
1816, 17sylibr 237 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) → ¬ 𝑎𝑏)
1918nrexdv 3194 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎𝑃) → ¬ ∃𝑏𝑃 𝑎𝑏)
2019nrexdv 3194 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦) → ¬ ∃𝑎𝑃𝑏𝑃 𝑎𝑏)
218, 20pm2.65da 816 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦)
22 rexnal 3165 . . 3 (∃𝑦𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝑃 𝑋 = 𝑦)
2321, 22sylibr 237 . 2 (𝜑 → ∃𝑦𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦)
24 df-ne 2952 . . 3 (𝑋𝑦 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑦)
2524rexbii 3175 . 2 (∃𝑦𝑃 𝑋𝑦 ↔ ∃𝑦𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦)
2623, 25sylibr 237 1 (𝜑 → ∃𝑦𝑃 𝑋𝑦)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335   ≤ cle 10714  2c2 11729  ♯chash 13740  Basecbs 16541  distcds 16632  TarskiGcstrkg 26323  Itvcitv 26329 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-n0 11935  df-xnn0 12007  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-hash 13741 This theorem is referenced by:  colline  26542
 Copyright terms: Public domain W3C validator