MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglowdim1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglowdim1i 27752
Description: Lower dimension axiom for one dimension. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglowdim1.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tglowdim1.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
tglowdim1.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tglowdim1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
tglowdim1.1 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
tglowdim1i.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
Assertion
Ref Expression
tglowdim1i (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 β‰  𝑦)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑦)   βˆ’ (𝑦)

Proof of Theorem tglowdim1i
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglowdim1.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 tglowdim1.d . . . . 5 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 tglowdim1.i . . . . 5 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 tglowdim1.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tglowdim1.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
76adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
81, 2, 3, 5, 7tglowdim1 27751 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 π‘Ž β‰  𝑏)
9 eqeq2 2745 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘Ž β†’ (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = π‘Ž))
10 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
11 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ π‘Ž ∈ 𝑃)
129, 10, 11rspcdva 3614 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 = π‘Ž)
13 eqeq2 2745 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 β†’ (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑏))
1413rspccva 3612 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 = 𝑏)
1514ad4ant24 753 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 = 𝑏)
1612, 15eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ π‘Ž = 𝑏)
17 nne 2945 . . . . . . 7 (Β¬ π‘Ž β‰  𝑏 ↔ π‘Ž = 𝑏)
1816, 17sylibr 233 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ Β¬ π‘Ž β‰  𝑏)
1918nrexdv 3150 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) β†’ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 π‘Ž β‰  𝑏)
2019nrexdv 3150 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) β†’ Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 π‘Ž β‰  𝑏)
218, 20pm2.65da 816 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
22 rexnal 3101 . . 3 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 Β¬ 𝑋 = 𝑦 ↔ Β¬ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
2321, 22sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 Β¬ 𝑋 = 𝑦)
24 df-ne 2942 . . 3 (𝑋 β‰  𝑦 ↔ Β¬ 𝑋 = 𝑦)
2524rexbii 3095 . 2 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 β‰  𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 Β¬ 𝑋 = 𝑦)
2623, 25sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 β‰  𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544   ≀ cle 11249  2c2 12267  β™―chash 14290  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27678  Itvcitv 27684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291
This theorem is referenced by:  colline  27900
  Copyright terms: Public domain W3C validator