MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglowdim1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglowdim1i 28260
Description: Lower dimension axiom for one dimension. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglowdim1.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tglowdim1.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
tglowdim1.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tglowdim1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
tglowdim1.1 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
tglowdim1i.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
Assertion
Ref Expression
tglowdim1i (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 β‰  𝑦)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑦)   βˆ’ (𝑦)

Proof of Theorem tglowdim1i
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglowdim1.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 tglowdim1.d . . . . 5 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 tglowdim1.i . . . . 5 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 tglowdim1.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tglowdim1.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
76adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
81, 2, 3, 5, 7tglowdim1 28259 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 π‘Ž β‰  𝑏)
9 eqeq2 2738 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘Ž β†’ (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = π‘Ž))
10 simpllr 773 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
11 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ π‘Ž ∈ 𝑃)
129, 10, 11rspcdva 3607 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 = π‘Ž)
13 eqeq2 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 β†’ (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑏))
1413rspccva 3605 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 = 𝑏)
1514ad4ant24 751 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 = 𝑏)
1612, 15eqtr3d 2768 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ π‘Ž = 𝑏)
17 nne 2938 . . . . . . 7 (Β¬ π‘Ž β‰  𝑏 ↔ π‘Ž = 𝑏)
1816, 17sylibr 233 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ Β¬ π‘Ž β‰  𝑏)
1918nrexdv 3143 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) β†’ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 π‘Ž β‰  𝑏)
2019nrexdv 3143 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) β†’ Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 π‘Ž β‰  𝑏)
218, 20pm2.65da 814 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
22 rexnal 3094 . . 3 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 Β¬ 𝑋 = 𝑦 ↔ Β¬ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
2321, 22sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 Β¬ 𝑋 = 𝑦)
24 df-ne 2935 . . 3 (𝑋 β‰  𝑦 ↔ Β¬ 𝑋 = 𝑦)
2524rexbii 3088 . 2 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 β‰  𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 Β¬ 𝑋 = 𝑦)
2623, 25sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 β‰  𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537   ≀ cle 11253  2c2 12271  β™―chash 14295  Basecbs 17153  distcds 17215  TarskiGcstrkg 28186  Itvcitv 28192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296
This theorem is referenced by:  colline  28408
  Copyright terms: Public domain W3C validator