Theorem tglowdim1i 28587

Description: Lower dimension axiom for one dimension. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglowdim1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglowdim1.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tglowdim1.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglowdim1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglowdim1.1	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
tglowdim1i.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tglowdim1i	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑦)   − (𝑦)

Proof of Theorem tglowdim1i

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglowdim1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglowdim1.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tglowdim1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglowdim1.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglowdim1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
8	1, 2, 3, 5, 7	tglowdim1 28586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 𝑎 ≠ 𝑏)
9		eqeq2 2751	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑎))
10		simpllr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
11		simplr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑎 ∈ 𝑃)
12	9, 10, 11	rspcdva 3561	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑋 = 𝑎)
13		eqeq2 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑏))
14	13	rspccva 3559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑋 = 𝑏)
15	14	ad4ant24 760	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑋 = 𝑏)
16	12, 15	eqtr3d 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑎 = 𝑏)
17		nne 2938	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏)
18	16, 17	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑎 ≠ 𝑏)
19	18	nrexdv 3134	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) → ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 𝑎 ≠ 𝑏)
20	19	nrexdv 3134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) → ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 𝑎 ≠ 𝑏)
21	8, 20	pm2.65da 822	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
22		rexnal 3091	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
23	21, 22	sylibr 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦)
24		df-ne 2935	. . 3 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑦)
25	24	rexbii 3086	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦)
26	23, 25	sylibr 235	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485   ≤ cle 11171  2c2 12227  ♯chash 14283  Basecbs 17170  distcds 17220  TarskiGcstrkg 28513  Itvcitv 28519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284

This theorem is referenced by:  colline  28735