Theorem tglowdim1i 26766

Description: Lower dimension axiom for one dimension. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglowdim1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglowdim1.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tglowdim1.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglowdim1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglowdim1.1	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
tglowdim1i.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tglowdim1i	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑦)   − (𝑦)

Proof of Theorem tglowdim1i

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglowdim1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglowdim1.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tglowdim1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglowdim1.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglowdim1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
8	1, 2, 3, 5, 7	tglowdim1 26765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 𝑎 ≠ 𝑏)
9		eqeq2 2750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑎))
10		simpllr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
11		simplr 765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑎 ∈ 𝑃)
12	9, 10, 11	rspcdva 3554	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑋 = 𝑎)
13		eqeq2 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑏))
14	13	rspccva 3551	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑋 = 𝑏)
15	14	ad4ant24 750	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑋 = 𝑏)
16	12, 15	eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑎 = 𝑏)
17		nne 2946	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏)
18	16, 17	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑎 ≠ 𝑏)
19	18	nrexdv 3197	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) → ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 𝑎 ≠ 𝑏)
20	19	nrexdv 3197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) → ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 𝑎 ≠ 𝑏)
21	8, 20	pm2.65da 813	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
22		rexnal 3165	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
23	21, 22	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦)
24		df-ne 2943	. . 3 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑦)
25	24	rexbii 3177	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦)
26	23, 25	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418   ≤ cle 10941  2c2 11958  ♯chash 13972  Basecbs 16840  distcds 16897  TarskiGcstrkg 26693  Itvcitv 26699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973

This theorem is referenced by:  colline  26914