Theorem tglowdim1i 28973

Description: Lower dimension axiom for one dimension. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglowdim1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglowdim1.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tglowdim1.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglowdim1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglowdim1.1	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
tglowdim1i.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tglowdim1i	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑦)   − (𝑦)

Proof of Theorem tglowdim1i

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglowdim1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglowdim1.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tglowdim1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglowdim1.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglowdim1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
8	1, 2, 3, 5, 7	tglowdim1 28972	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 𝑎 ≠ 𝑏)
9		eqeq2 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑎))
10		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
11		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑎 ∈ 𝑃)
12	9, 10, 11	rspcdva 3577	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑋 = 𝑎)
13		eqeq2 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑏))
14	13	rspccva 3575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑋 = 𝑏)
15	14	ad4ant24 767	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑋 = 𝑏)
16	12, 15	eqtr3d 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑎 = 𝑏)
17		nne 2959	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏)
18	16, 17	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑎 ≠ 𝑏)
19	18	nrexdv 3157	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) → ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 𝑎 ≠ 𝑏)
20	19	nrexdv 3157	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) → ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 𝑎 ≠ 𝑏)
21	8, 20	pm2.65da 829	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
22		rexnal 3114	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
23	21, 22	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦)
24		df-ne 2956	. . 3 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑦)
25	24	rexbii 3109	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦)
26	23, 25	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543   ≤ cle 11351  2c2 12404  ♯chash 14481  Basecbs 17396  distcds 17446  TarskiGcstrkg 28898  Itvcitv 28904

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-hash 14482

This theorem is used by:  colline  29127