MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglowdim1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglowdim1i 27443
Description: Lower dimension axiom for one dimension. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglowdim1.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tglowdim1.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
tglowdim1.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tglowdim1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
tglowdim1.1 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
tglowdim1i.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
Assertion
Ref Expression
tglowdim1i (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 β‰  𝑦)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑦)   βˆ’ (𝑦)

Proof of Theorem tglowdim1i
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglowdim1.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 tglowdim1.d . . . . 5 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 tglowdim1.i . . . . 5 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 tglowdim1.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tglowdim1.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
76adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
81, 2, 3, 5, 7tglowdim1 27442 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 π‘Ž β‰  𝑏)
9 eqeq2 2748 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘Ž β†’ (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = π‘Ž))
10 simpllr 774 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
11 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ π‘Ž ∈ 𝑃)
129, 10, 11rspcdva 3582 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 = π‘Ž)
13 eqeq2 2748 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑏 β†’ (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑏))
1413rspccva 3580 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 = 𝑏)
1514ad4ant24 752 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ 𝑋 = 𝑏)
1612, 15eqtr3d 2778 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ π‘Ž = 𝑏)
17 nne 2947 . . . . . . 7 (Β¬ π‘Ž β‰  𝑏 ↔ π‘Ž = 𝑏)
1816, 17sylibr 233 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ Β¬ π‘Ž β‰  𝑏)
1918nrexdv 3146 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ π‘Ž ∈ 𝑃) β†’ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 π‘Ž β‰  𝑏)
2019nrexdv 3146 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) β†’ Β¬ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑃 βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 π‘Ž β‰  𝑏)
218, 20pm2.65da 815 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
22 rexnal 3103 . . 3 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 Β¬ 𝑋 = 𝑦 ↔ Β¬ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
2321, 22sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 Β¬ 𝑋 = 𝑦)
24 df-ne 2944 . . 3 (𝑋 β‰  𝑦 ↔ Β¬ 𝑋 = 𝑦)
2524rexbii 3097 . 2 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 β‰  𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 Β¬ 𝑋 = 𝑦)
2623, 25sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑋 β‰  𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2943  βˆ€wral 3064  βˆƒwrex 3073   class class class wbr 5105  β€˜cfv 6496   ≀ cle 11190  2c2 12208  β™―chash 14230  Basecbs 17083  distcds 17142  TarskiGcstrkg 27369  Itvcitv 27375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231
This theorem is referenced by:  colline  27591
  Copyright terms: Public domain W3C validator