Theorem tglowdim1i 28347

Description: Lower dimension axiom for one dimension. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglowdim1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglowdim1.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tglowdim1.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglowdim1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglowdim1.1	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
tglowdim1i.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tglowdim1i	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑦)   − (𝑦)

Proof of Theorem tglowdim1i

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglowdim1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglowdim1.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tglowdim1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglowdim1.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglowdim1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
7	6	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
8	1, 2, 3, 5, 7	tglowdim1 28346	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 𝑎 ≠ 𝑏)
9		eqeq2 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑎))
10		simpllr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
11		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑎 ∈ 𝑃)
12	9, 10, 11	rspcdva 3603	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑋 = 𝑎)
13		eqeq2 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑏))
14	13	rspccva 3601	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑋 = 𝑏)
15	14	ad4ant24 752	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑋 = 𝑏)
16	12, 15	eqtr3d 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → 𝑎 = 𝑏)
17		nne 2934	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏)
18	16, 17	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → ¬ 𝑎 ≠ 𝑏)
19	18	nrexdv 3139	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑎 ∈ 𝑃) → ¬ ∃𝑏 ∈ 𝑃 𝑎 ≠ 𝑏)
20	19	nrexdv 3139	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦) → ¬ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ∃𝑏 ∈ 𝑃 𝑎 ≠ 𝑏)
21	8, 20	pm2.65da 815	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
22		rexnal 3090	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 = 𝑦)
23	21, 22	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦)
24		df-ne 2931	. . 3 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑦)
25	24	rexbii 3084	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 ¬ 𝑋 = 𝑦)
26	23, 25	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑋 ≠ 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5143  ‘cfv 6542   ≤ cle 11277  2c2 12295  ♯chash 14319  Basecbs 17177  distcds 17239  TarskiGcstrkg 28273  Itvcitv 28279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-hash 14320

This theorem is referenced by:  colline  28495