Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  areacirclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem areacirclem2 37695
Description: Endpoint-inclusive continuity of Cartesian ordinate of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
areacirclem2 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
Distinct variable group:   𝑡,𝑅

Proof of Theorem areacirclem2
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqcl 14160 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
21adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
32adantr 480 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
4 renegcl 11569 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ → -𝑅 ∈ ℝ)
5 iccssre 13465 . . . . . . . . . 10 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
64, 5mpancom 688 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
76sselda 3994 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
87resqcld 14161 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
98adantlr 715 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
103, 9resubcld 11688 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
11 elicc2 13448 . . . . . . . . 9 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
124, 11mpancom 688 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
1413ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
15 resqcl 14160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
16153ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
1714, 16subge0d 11850 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ↔ (𝑡↑2) ≤ (𝑅↑2)))
18 absresq 15337 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℝ → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
19183ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
2019breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2) ↔ (𝑡↑2) ≤ (𝑅↑2)))
2117, 20bitr4d 282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ↔ ((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2)))
22 recn 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
2322abscld 15471 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
24233ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
25 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
2622absge0d 15479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑡))
27263ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
28 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
2924, 25, 27, 28le2sqd 14292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2)))
30 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
3130, 25absled 15465 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
3221, 29, 313bitr2d 307 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
3332biimprd 248 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅𝑡𝑡𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
34333expa 1117 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅𝑡𝑡𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
3534exp4b 430 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅𝑡 → (𝑡𝑅 → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
36353impd 1347 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
3713, 36sylbid 240 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
3837imp 406 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
39 elrege0 13490 . . . . 5 (((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
4010, 38, 39sylanbrc 583 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ (0[,)+∞))
41 fvres 6925 . . . 4 (((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ (0[,)+∞) → ((√ ↾ (0[,)+∞))‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
4240, 41syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((√ ↾ (0[,)+∞))‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
4342mpteq2dva 5247 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((√ ↾ (0[,)+∞))‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
44 eqid 2734 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4544cnfldtopon 24818 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
46 ax-resscn 11209 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
476, 46sstrdi 4007 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ)
48 resttopon 23184 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (TopOn‘(-𝑅[,]𝑅)))
4945, 47, 48sylancr 587 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (TopOn‘(-𝑅[,]𝑅)))
5049adantr 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (TopOn‘(-𝑅[,]𝑅)))
5147resmptd 6059 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ↾ (-𝑅[,]𝑅)) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
5245a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
53 recn 11242 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
5453sqcld 14180 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
5552, 52, 54cnmptc 23685 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑅↑2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5644sqcn 24913 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
5756a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5844subcn 24901 . . . . . . . . . 10 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
5958a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6052, 55, 57, 59cnmpt12f 23689 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6145toponunii 22937 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
6261cnrest 23308 . . . . . . . 8 (((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ↾ (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6360, 47, 62syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ↾ (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6451, 63eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6564adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6645a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
67 eqid 2734 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
6867rnmpt 5970 . . . . . . 7 ran (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)𝑢 = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))}
69 simp3 1137 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑢 = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) → 𝑢 = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
70403adant3 1131 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑢 = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ (0[,)+∞))
7169, 70eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑢 = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) → 𝑢 ∈ (0[,)+∞))
7271rexlimdv3a 3156 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (∃𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)𝑢 = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) → 𝑢 ∈ (0[,)+∞)))
7372abssdv 4077 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)𝑢 = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))} ⊆ (0[,)+∞))
7468, 73eqsstrid 4043 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ran (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ⊆ (0[,)+∞))
75 rge0ssre 13492 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7675, 46sstri 4004 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
7776a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
78 cnrest2 23309 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ⊆ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → ((𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))))
7966, 74, 77, 78syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))))
8065, 79mpbid 232 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))))
81 ssid 4017 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
82 cncfss 24938 . . . . . . . 8 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((0[,)+∞)–cn→ℝ) ⊆ ((0[,)+∞)–cn→ℂ))
8346, 81, 82mp2an 692 . . . . . . 7 ((0[,)+∞)–cn→ℝ) ⊆ ((0[,)+∞)–cn→ℂ)
84 resqrtcn 26806 . . . . . . 7 (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)
8583, 84sselii 3991 . . . . . 6 (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ)
86 eqid 2734 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
87 eqid 2734 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
8844, 86, 87cncfcn 24949 . . . . . . 7 (((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((0[,)+∞)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
8976, 81, 88mp2an 692 . . . . . 6 ((0[,)+∞)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))
9085, 89eleqtri 2836 . . . . 5 (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))
9190a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
9250, 80, 91cnmpt11f 23687 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((√ ↾ (0[,)+∞))‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
93 eqid 2734 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅))
9444, 93, 87cncfcn 24949 . . . . 5 (((-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
9547, 81, 94sylancl 586 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
9695adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
9792, 96eleqtrrd 2841 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((√ ↾ (0[,)+∞))‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
9843, 97eqeltrrd 2839 1 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  {cab 2711  wrex 3067  wss 3962   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ran crn 5689  cres 5690  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  +∞cpnf 11289  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490  2c2 12318  [,)cico 13385  [,]cicc 13386  cexp 14098  csqrt 15268  abscabs 15269  t crest 17466  TopOpenctopn 17467  fldccnfld 21381  TopOnctopon 22931   Cn ccn 23247   ×t ctx 23583  cnccncf 24915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-tan 16103  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-cxp 26613
This theorem is referenced by:  areacirclem3  37696  areacirclem4  37697  areacirc  37699
  Copyright terms: Public domain W3C validator