Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  areacirclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem areacirclem2 35145
 Description: Endpoint-inclusive continuity of Cartesian ordinate of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
areacirclem2 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
Distinct variable group:   𝑡,𝑅

Proof of Theorem areacirclem2
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqcl 13490 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
21adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
32adantr 484 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
4 renegcl 10942 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ → -𝑅 ∈ ℝ)
5 iccssre 12811 . . . . . . . . . 10 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
64, 5mpancom 687 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℝ)
76sselda 3918 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
87resqcld 13611 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
98adantlr 714 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
103, 9resubcld 11061 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ)
11 elicc2 12794 . . . . . . . . 9 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
124, 11mpancom 687 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
1312adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅)))
1413ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
15 resqcl 13490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
16153ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
1714, 16subge0d 11223 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ↔ (𝑡↑2) ≤ (𝑅↑2)))
18 absresq 14658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℝ → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
19183ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
2019breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2) ↔ (𝑡↑2) ≤ (𝑅↑2)))
2117, 20bitr4d 285 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ↔ ((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2)))
22 recn 10620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
2322abscld 14792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
24233ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
25 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
2622absge0d 14800 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑡))
27263ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
28 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
2924, 25, 27, 28le2sqd 13620 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) ≤ (𝑅↑2)))
30 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
3130, 25absled 14786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) ≤ 𝑅 ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
3221, 29, 313bitr2d 310 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ↔ (-𝑅𝑡𝑡𝑅)))
3332biimprd 251 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅𝑡𝑡𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
34333expa 1115 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅𝑡𝑡𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
3534exp4b 434 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅𝑡 → (𝑡𝑅 → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
36353impd 1345 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅𝑡𝑡𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
3713, 36sylbid 243 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
3837imp 410 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
39 elrege0 12836 . . . . 5 (((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
4010, 38, 39sylanbrc 586 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ (0[,)+∞))
41 fvres 6668 . . . 4 (((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ (0[,)+∞) → ((√ ↾ (0[,)+∞))‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
4240, 41syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) → ((√ ↾ (0[,)+∞))‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
4342mpteq2dva 5128 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((√ ↾ (0[,)+∞))‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
44 eqid 2801 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4544cnfldtopon 23392 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
46 ax-resscn 10587 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
476, 46sstrdi 3930 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ → (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ)
48 resttopon 21770 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (TopOn‘(-𝑅[,]𝑅)))
4945, 47, 48sylancr 590 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (TopOn‘(-𝑅[,]𝑅)))
5049adantr 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (TopOn‘(-𝑅[,]𝑅)))
5147resmptd 5879 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ↾ (-𝑅[,]𝑅)) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
5245a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
53 recn 10620 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
5453sqcld 13508 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
5552, 52, 54cnmptc 22271 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑅↑2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5644sqcn 23483 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
5756a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
5844subcn 23475 . . . . . . . . . 10 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
5958a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6052, 55, 57, 59cnmpt12f 22275 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6145toponunii 21525 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
6261cnrest 21894 . . . . . . . 8 (((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ (-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ↾ (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6360, 47, 62syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ↾ (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6451, 63eqeltrrd 2894 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6564adantr 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6645a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
67 eqid 2801 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) = (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
6867rnmpt 5795 . . . . . . 7 ran (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) = {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)𝑢 = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))}
69 simp3 1135 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑢 = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) → 𝑢 = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
70403adant3 1129 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑢 = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) → ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) ∈ (0[,)+∞))
7169, 70eqeltrd 2893 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑢 = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) → 𝑢 ∈ (0[,)+∞))
7271rexlimdv3a 3248 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (∃𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)𝑢 = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)) → 𝑢 ∈ (0[,)+∞)))
7372abssdv 3999 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → {𝑢 ∣ ∃𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅)𝑢 = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))} ⊆ (0[,)+∞))
7468, 73eqsstrid 3966 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ran (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ⊆ (0[,)+∞))
75 rge0ssre 12838 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
7675, 46sstri 3927 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
7776a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
78 cnrest2 21895 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ⊆ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → ((𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))))
7966, 74, 77, 78syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))))
8065, 79mpbid 235 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) − (𝑡↑2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))))
81 ssid 3940 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
82 cncfss 23508 . . . . . . . 8 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((0[,)+∞)–cn→ℝ) ⊆ ((0[,)+∞)–cn→ℂ))
8346, 81, 82mp2an 691 . . . . . . 7 ((0[,)+∞)–cn→ℝ) ⊆ ((0[,)+∞)–cn→ℂ)
84 resqrtcn 25342 . . . . . . 7 (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)
8583, 84sselii 3915 . . . . . 6 (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ)
86 eqid 2801 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
87 eqid 2801 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
8844, 86, 87cncfcn 23519 . . . . . . 7 (((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((0[,)+∞)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
8976, 81, 88mp2an 691 . . . . . 6 ((0[,)+∞)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))
9085, 89eleqtri 2891 . . . . 5 (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))
9190a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
9250, 80, 91cnmpt11f 22273 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((√ ↾ (0[,)+∞))‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
93 eqid 2801 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅))
9444, 93, 87cncfcn 23519 . . . . 5 (((-𝑅[,]𝑅) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
9547, 81, 94sylancl 589 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
9695adantr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
9792, 96eleqtrrd 2896 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((√ ↾ (0[,)+∞))‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
9843, 97eqeltrrd 2894 1 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → (𝑡 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cn→ℂ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {cab 2779  ∃wrex 3110   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ran crn 5524   ↾ cres 5525  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  +∞cpnf 10665   ≤ cle 10669   − cmin 10863  -cneg 10864  2c2 11684  [,)cico 12732  [,]cicc 12733  ↑cexp 13429  √csqrt 14588  abscabs 14589   ↾t crest 16690  TopOpenctopn 16691  ℂfldccnfld 20095  TopOnctopon 21519   Cn ccn 21833   ×t ctx 22169  –cn→ccncf 23485 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-tan 15421  df-pi 15422  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-cmp 21996  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cncf 23487  df-limc 24473  df-dv 24474  df-log 25152  df-cxp 25153 This theorem is referenced by:  areacirclem3  35146  areacirclem4  35147  areacirc  35149
 Copyright terms: Public domain W3C validator