Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  areacirclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem areacirclem2 37117
Description: Endpoint-inclusive continuity of Cartesian ordinate of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
areacirclem2 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (βˆšβ€˜((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cnβ†’β„‚))
Distinct variable group:   𝑑,𝑅

Proof of Theorem areacirclem2
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqcl 14112 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (𝑅↑2) ∈ ℝ)
21adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ (𝑅↑2) ∈ ℝ)
32adantr 480 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) β†’ (𝑅↑2) ∈ ℝ)
4 renegcl 11545 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ β†’ -𝑅 ∈ ℝ)
5 iccssre 13430 . . . . . . . . . 10 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (-𝑅[,]𝑅) βŠ† ℝ)
64, 5mpancom 687 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (-𝑅[,]𝑅) βŠ† ℝ)
76sselda 3978 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
87resqcld 14113 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) β†’ (𝑑↑2) ∈ ℝ)
98adantlr 714 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) β†’ (𝑑↑2) ∈ ℝ)
103, 9resubcld 11664 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) β†’ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2)) ∈ ℝ)
11 elicc2 13413 . . . . . . . . 9 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝑅)))
124, 11mpancom 687 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝑅)))
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝑅)))
1413ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑅↑2) ∈ ℝ)
15 resqcl 14112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ ℝ β†’ (𝑑↑2) ∈ ℝ)
16153ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑑↑2) ∈ ℝ)
1714, 16subge0d 11826 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2)) ↔ (𝑑↑2) ≀ (𝑅↑2)))
18 absresq 15273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜π‘‘)↑2) = (𝑑↑2))
19183ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘‘)↑2) = (𝑑↑2))
2019breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜π‘‘)↑2) ≀ (𝑅↑2) ↔ (𝑑↑2) ≀ (𝑅↑2)))
2117, 20bitr4d 282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2)) ↔ ((absβ€˜π‘‘)↑2) ≀ (𝑅↑2)))
22 recn 11220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ ℝ β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
2322abscld 15407 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ ℝ β†’ (absβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
24233ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
25 simp1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2622absge0d 15415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ ℝ β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘‘))
27263ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘‘))
28 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ 𝑅)
2924, 25, 27, 28le2sqd 14243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘‘) ≀ 𝑅 ↔ ((absβ€˜π‘‘)↑2) ≀ (𝑅↑2)))
30 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
3130, 25absled 15401 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘‘) ≀ 𝑅 ↔ (-𝑅 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝑅)))
3221, 29, 313bitr2d 307 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2)) ↔ (-𝑅 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝑅)))
3332biimprd 247 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((-𝑅 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝑅) β†’ 0 ≀ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))))
34333expa 1116 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((-𝑅 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝑅) β†’ 0 ≀ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))))
3534exp4b 430 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ (𝑑 ∈ ℝ β†’ (-𝑅 ≀ 𝑑 β†’ (𝑑 ≀ 𝑅 β†’ 0 ≀ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))))))
36353impd 1346 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ∧ -𝑅 ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝑅) β†’ 0 ≀ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))))
3713, 36sylbid 239 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) β†’ 0 ≀ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))))
3837imp 406 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) β†’ 0 ≀ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2)))
39 elrege0 13455 . . . . 5 (((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))))
4010, 38, 39sylanbrc 582 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) β†’ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2)) ∈ (0[,)+∞))
41 fvres 6910 . . . 4 (((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2)) ∈ (0[,)+∞) β†’ ((√ β†Ύ (0[,)+∞))β€˜((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) = (βˆšβ€˜((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))))
4240, 41syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅)) β†’ ((√ β†Ύ (0[,)+∞))β€˜((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) = (βˆšβ€˜((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))))
4342mpteq2dva 5242 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((√ β†Ύ (0[,)+∞))β€˜((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2)))) = (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (βˆšβ€˜((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2)))))
44 eqid 2727 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4544cnfldtopon 24686 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
46 ax-resscn 11187 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
476, 46sstrdi 3990 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (-𝑅[,]𝑅) βŠ† β„‚)
48 resttopon 23052 . . . . . 6 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (-𝑅[,]𝑅) βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (TopOnβ€˜(-𝑅[,]𝑅)))
4945, 47, 48sylancr 586 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℝ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (TopOnβ€˜(-𝑅[,]𝑅)))
5049adantr 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (TopOnβ€˜(-𝑅[,]𝑅)))
5147resmptd 6038 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) β†Ύ (-𝑅[,]𝑅)) = (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))))
5245a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
53 recn 11220 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℝ β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
5453sqcld 14132 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (𝑅↑2) ∈ β„‚)
5552, 52, 54cnmptc 23553 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑅↑2)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
5644sqcn 24781 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑2)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
5756a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ (𝑑↑2)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
5844subcn 24769 . . . . . . . . . 10 βˆ’ ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
5958a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ β†’ βˆ’ ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
6052, 55, 57, 59cnmpt12f 23557 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ↦ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
6145toponunii 22805 . . . . . . . . 9 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
6261cnrest 23176 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ β„‚ ↦ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ∧ (-𝑅[,]𝑅) βŠ† β„‚) β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) β†Ύ (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
6360, 47, 62syl2anc 583 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ β†’ ((𝑑 ∈ β„‚ ↦ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) β†Ύ (-𝑅[,]𝑅)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
6451, 63eqeltrrd 2829 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ β†’ (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
6564adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
6645a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
67 eqid 2727 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) = (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2)))
6867rnmpt 5951 . . . . . . 7 ran (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) = {𝑒 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (-𝑅[,]𝑅)𝑒 = ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))}
69 simp3 1136 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑒 = ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) β†’ 𝑒 = ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2)))
70403adant3 1130 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑒 = ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) β†’ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2)) ∈ (0[,)+∞))
7169, 70eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) ∧ 𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ∧ 𝑒 = ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) β†’ 𝑒 ∈ (0[,)+∞))
7271rexlimdv3a 3154 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (-𝑅[,]𝑅)𝑒 = ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2)) β†’ 𝑒 ∈ (0[,)+∞)))
7372abssdv 4061 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ {𝑒 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (-𝑅[,]𝑅)𝑒 = ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))} βŠ† (0[,)+∞))
7468, 73eqsstrid 4026 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ ran (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) βŠ† (0[,)+∞))
75 rge0ssre 13457 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
7675, 46sstri 3987 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† β„‚
7776a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ (0[,)+∞) βŠ† β„‚)
78 cnrest2 23177 . . . . . 6 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) βŠ† (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† β„‚) β†’ ((𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞)))))
7966, 74, 77, 78syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ ((𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞)))))
8065, 79mpbid 231 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2))) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞))))
81 ssid 4000 . . . . . . . 8 β„‚ βŠ† β„‚
82 cncfss 24806 . . . . . . . 8 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((0[,)+∞)–cn→ℝ) βŠ† ((0[,)+∞)–cnβ†’β„‚))
8346, 81, 82mp2an 691 . . . . . . 7 ((0[,)+∞)–cn→ℝ) βŠ† ((0[,)+∞)–cnβ†’β„‚)
84 resqrtcn 26671 . . . . . . 7 (√ β†Ύ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)
8583, 84sselii 3975 . . . . . 6 (√ β†Ύ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cnβ†’β„‚)
86 eqid 2727 . . . . . . . 8 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞))
87 eqid 2727 . . . . . . . 8 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
8844, 86, 87cncfcn 24817 . . . . . . 7 (((0[,)+∞) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((0[,)+∞)–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)))
8976, 81, 88mp2an 691 . . . . . 6 ((0[,)+∞)–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚))
9085, 89eleqtri 2826 . . . . 5 (√ β†Ύ (0[,)+∞)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚))
9190a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ (√ β†Ύ (0[,)+∞)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)))
9250, 80, 91cnmpt11f 23555 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((√ β†Ύ (0[,)+∞))β€˜((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2)))) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)))
93 eqid 2727 . . . . . 6 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅))
9444, 93, 87cncfcn 24817 . . . . 5 (((-𝑅[,]𝑅) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((-𝑅[,]𝑅)–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)))
9547, 81, 94sylancl 585 . . . 4 (𝑅 ∈ ℝ β†’ ((-𝑅[,]𝑅)–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)))
9695adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ ((-𝑅[,]𝑅)–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-𝑅[,]𝑅)) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)))
9792, 96eleqtrrd 2831 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ ((√ β†Ύ (0[,)+∞))β€˜((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cnβ†’β„‚))
9843, 97eqeltrrd 2829 1 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅) β†’ (𝑑 ∈ (-𝑅[,]𝑅) ↦ (βˆšβ€˜((𝑅↑2) βˆ’ (𝑑↑2)))) ∈ ((-𝑅[,]𝑅)–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704  βˆƒwrex 3065   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  +∞cpnf 11267   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466  -cneg 11467  2c2 12289  [,)cico 13350  [,]cicc 13351  β†‘cexp 14050  βˆšcsqrt 15204  abscabs 15205   β†Ύt crest 17393  TopOpenctopn 17394  β„‚fldccnfld 21266  TopOnctopon 22799   Cn ccn 23115   Γ—t ctx 23451  β€“cnβ†’ccncf 24783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-tan 16039  df-pi 16040  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477  df-cxp 26478
This theorem is referenced by:  areacirclem3  37118  areacirclem4  37119  areacirc  37121
  Copyright terms: Public domain W3C validator