MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttgbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttgbas 28634
Description: The base set of a subcomplex Hilbert space augmented with betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgbas.1 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
ttgbas 𝐵 = (Base‘𝐺)

Proof of Theorem ttgbas
StepHypRef Expression
1 ttgbas.1 . 2 𝐵 = (Base‘𝐻)
2 ttgval.n . . 3 𝐺 = (toTG‘𝐻)
3 baseid 17154 . . 3 Base = Slot (Base‘ndx)
4 slotslnbpsd 28197 . . . . 5 (((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))
5 simpll 764 . . . . 5 ((((LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((LineG‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (LineG‘ndx) ≠ (dist‘ndx))) → (LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
64, 5ax-mp 5 . . . 4 (LineG‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
76necomi 2989 . . 3 (Base‘ndx) ≠ (LineG‘ndx)
8 slotsinbpsd 28196 . . . . 5 (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))
9 simpll 764 . . . . 5 ((((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx))) → (Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
108, 9ax-mp 5 . . . 4 (Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
1110necomi 2989 . . 3 (Base‘ndx) ≠ (Itv‘ndx)
122, 3, 7, 11ttglem 28632 . 2 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐺)
131, 12eqtri 2754 1 𝐵 = (Base‘𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1533  wne 2934  cfv 6536  ndxcnx 17133  Basecbs 17151  +gcplusg 17204   ·𝑠 cvsca 17208  distcds 17213  Itvcitv 28188  LineGclng 28189  toTGcttg 28628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-vsca 17221  df-ds 17226  df-itv 28190  df-lng 28191  df-ttg 28629
This theorem is referenced by:  ttgsub  28638
  Copyright terms: Public domain W3C validator