Theorem ttglem 26345

Description: Lemma for ttgbas 26346 and ttgvsca 26349. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttgval.n	⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttglem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ttglem.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ttglem.4	⊢ 𝑁 < ;16

Assertion

Ref	Expression
ttglem	⊢ (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘𝐺)

Proof of Theorem ttglem

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ttgval.n	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
2		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐻) = (-g‘𝐻)
4		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐻) = ( ·𝑠 ‘𝐻)
5		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	ttgval 26344	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩) ∧ (Itv‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})))
7	6	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
8	7	fveq2d 6542	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩)))
9		ttglem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
10		ttglem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
11	9, 10	ndxid 16338	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
12	10	nnrei 11495	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
13		ttglem.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 < ;16
14	12, 13	ltneii 10600	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ ;16
15	9, 10	ndxarg 16337	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
16		itvndx 25908	. . . . . . 7 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
17	15, 16	neeq12i 3050	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (Itv‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ ;16)
18	14, 17	mpbir 232	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Itv‘ndx)
19	11, 18	setsnid 16368	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘(𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩))
20		1nn0 11761	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
21		6nn0 11766	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
22		7nn 11577	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ
23		6lt7 11671	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 < 7
24	20, 21, 22, 23	declt 11975	. . . . . . . 8 ⊢ ;16 < ;17
25		6nn 11574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℕ
26	20, 25	decnncl 11967	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℕ
27	26	nnrei 11495	. . . . . . . . 9 ⊢ ;16 ∈ ℝ
28	20, 22	decnncl 11967	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;17 ∈ ℕ
29	28	nnrei 11495	. . . . . . . . 9 ⊢ ;17 ∈ ℝ
30	12, 27, 29	lttri 10613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 < ;16 ∧ ;16 < ;17) → 𝑁 < ;17)
31	13, 24, 30	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 < ;17
32	12, 31	ltneii 10600	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ ;17
33		lngndx 25909	. . . . . . 7 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
34	15, 33	neeq12i 3050	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (LineG‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ ;17)
35	32, 34	mpbir 232	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (LineG‘ndx)
36	11, 35	setsnid 16368	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩)) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
37	19, 36	eqtri 2819	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
38	8, 37	syl6reqr 2850	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘𝐺))
39	9	str0 16364	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
40		fvprc 6531	. . 3 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐻) = ∅)
41		fvprc 6531	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → (toTG‘𝐻) = ∅)
42	1, 41	syl5eq 2843	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → 𝐺 = ∅)
43	42	fveq2d 6542	. . 3 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘∅))
44	39, 40, 43	3eqtr4a 2857	. 2 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘𝐺))
45	38, 44	pm2.61i 183	1 ⊢ (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ w3o 1079   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∃wrex 3106  {crab 3109  Vcvv 3437  ∅c0 4211  ⟨cop 4478   class class class wbr 4962  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016   ∈ cmpo 7018  0cc0 10383  1c1 10384   < clt 10521  ℕcn 11486  6c6 11544  7c7 11545  ;cdc 11947  [,]cicc 12591  ndxcnx 16309   sSet csts 16310  Slot cslot 16311  Basecbs 16312   ·_𝑠 cvsca 16398  -_gcsg 17863  Itvcitv 25904  LineGclng 25905  toTGcttg 26342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-dec 11948  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-sets 16319  df-itv 25906  df-lng 25907  df-ttg 26343

This theorem is referenced by:  ttgbas  26346  ttgplusg  26347  ttgvsca  26349  ttgds  26350