Theorem ttglem 26656

Description: Lemma for ttgbas 26657 and ttgvsca 26660. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttgval.n	⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttglem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ttglem.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ttglem.4	⊢ 𝑁 < ;16

Assertion

Ref	Expression
ttglem	⊢ (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘𝐺)

Proof of Theorem ttglem

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ttgval.n	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
2		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐻) = (-g‘𝐻)
4		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐻) = ( ·𝑠 ‘𝐻)
5		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	ttgval 26655	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩) ∧ (Itv‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})))
7	6	simpld 497	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
8	7	fveq2d 6668	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩)))
9		ttglem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
10		ttglem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
11	9, 10	ndxid 16503	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
12	10	nnrei 11641	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
13		ttglem.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 < ;16
14	12, 13	ltneii 10747	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ ;16
15	9, 10	ndxarg 16502	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
16		itvndx 26220	. . . . . . 7 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
17	15, 16	neeq12i 3082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (Itv‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ ;16)
18	14, 17	mpbir 233	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Itv‘ndx)
19	11, 18	setsnid 16533	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘(𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩))
20		1nn0 11907	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
21		6nn0 11912	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
22		7nn 11723	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ
23		6lt7 11817	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 < 7
24	20, 21, 22, 23	declt 12120	. . . . . . . 8 ⊢ ;16 < ;17
25		6nn 11720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℕ
26	20, 25	decnncl 12112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℕ
27	26	nnrei 11641	. . . . . . . . 9 ⊢ ;16 ∈ ℝ
28	20, 22	decnncl 12112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;17 ∈ ℕ
29	28	nnrei 11641	. . . . . . . . 9 ⊢ ;17 ∈ ℝ
30	12, 27, 29	lttri 10760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 < ;16 ∧ ;16 < ;17) → 𝑁 < ;17)
31	13, 24, 30	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 < ;17
32	12, 31	ltneii 10747	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ ;17
33		lngndx 26221	. . . . . . 7 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
34	15, 33	neeq12i 3082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (LineG‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ ;17)
35	32, 34	mpbir 233	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (LineG‘ndx)
36	11, 35	setsnid 16533	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩)) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
37	19, 36	eqtri 2844	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
38	8, 37	syl6reqr 2875	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘𝐺))
39	9	str0 16529	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
40		fvprc 6657	. . 3 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐻) = ∅)
41		fvprc 6657	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → (toTG‘𝐻) = ∅)
42	1, 41	syl5eq 2868	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → 𝐺 = ∅)
43	42	fveq2d 6668	. . 3 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘∅))
44	39, 40, 43	3eqtr4a 2882	. 2 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘𝐺))
45	38, 44	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ w3o 1082   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139  {crab 3142  Vcvv 3494  ∅c0 4290  ⟨cop 4566   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  0cc0 10531  1c1 10532   < clt 10669  ℕcn 11632  6c6 11690  7c7 11691  ;cdc 12092  [,]cicc 12735  ndxcnx 16474   sSet csts 16475  Slot cslot 16476  Basecbs 16477   ·_𝑠 cvsca 16563  -_gcsg 18099  Itvcitv 26216  LineGclng 26217  toTGcttg 26653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-dec 12093  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-sets 16484  df-itv 26218  df-lng 26219  df-ttg 26654

This theorem is referenced by:  ttgbas  26657  ttgplusg  26658  ttgvsca  26660  ttgds  26661