Theorem slotsinbpsd 28783

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot Itv. Formerly part of ttglem 29333 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsinbpsd	⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotsinbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itvndx 28779	. . . 4 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
2		1re 11235	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12271	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		6nn0 12552	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5		1nn0 12547	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12884	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12782	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;16
8	2, 7	gtneii 11349	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 1
9		basendx 17314	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3030	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3027	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12342	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12548	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12883	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12782	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;16
16	12, 15	gtneii 11349	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 2
17		plusgndx 17372	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3030	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3027	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12358	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6lt10 12879	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
23	3, 4, 4, 22	declti 12782	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;16
24	21, 23	gtneii 11349	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 6
25		vscandx 17408	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
26	24, 25	neeqtrri 3030	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
27	1, 26	eqnetri 3027	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28		2nn 12341	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
29	5, 28	decnncl 12763	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
30	29	nnrei 12269	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
31		6nn 12357	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
32		2lt6 12454	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 6
33	5, 13, 31, 32	declt 12772	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;16
34	30, 33	gtneii 11349	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ ;12
35		dsndx 17474	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
36	34, 35	neeqtrri 3030	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (dist‘ndx)
37	1, 36	eqnetri 3027	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
38	27, 37	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
39	20, 38	pm3.2i 476	1 ⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ≠ wne 2957  ‘cfv 6537  1c1 11128  2c2 12322  6c6 12326  ;cdc 12739  ndxcnx 17289  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346   ·_𝑠 cvsca 17350  distcds 17355  Itvcitv 28775

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-vsca 17363  df-ds 17368  df-itv 28777

This theorem is used by:  ttgbas  29334  ttgplusg  29335  ttgvsca  29337  ttgds  29338