Theorem slotsinbpsd 28464

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot Itv. Formerly part of ttglem 28900 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsinbpsd	⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotsinbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itvndx 28460	. . . 4 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
2		1re 11259	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12275	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		6nn0 12545	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5		1nn0 12540	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12870	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12769	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;16
8	2, 7	gtneii 11371	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 1
9		basendx 17254	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3012	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3009	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12338	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12541	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12869	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12769	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;16
16	12, 15	gtneii 11371	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 2
17		plusgndx 17324	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3012	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3009	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12354	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6lt10 12865	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
23	3, 4, 4, 22	declti 12769	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;16
24	21, 23	gtneii 11371	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 6
25		vscandx 17365	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
26	24, 25	neeqtrri 3012	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
27	1, 26	eqnetri 3009	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28		2nn 12337	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
29	5, 28	decnncl 12751	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
30	29	nnrei 12273	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
31		6nn 12353	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
32		2lt6 12448	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 6
33	5, 13, 31, 32	declt 12759	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;16
34	30, 33	gtneii 11371	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ ;12
35		dsndx 17431	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
36	34, 35	neeqtrri 3012	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (dist‘ndx)
37	1, 36	eqnetri 3009	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
38	27, 37	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
39	20, 38	pm3.2i 470	1 ⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2938  ‘cfv 6563  1c1 11154  2c2 12319  6c6 12323  ;cdc 12731  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298   ·_𝑠 cvsca 17302  distcds 17307  Itvcitv 28456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-vsca 17315  df-ds 17320  df-itv 28458

This theorem is referenced by:  ttgbas  28902  ttgplusg  28904  ttgvsca  28907  ttgds  28909