Theorem slotsinbpsd 28725

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot Itv. Formerly part of ttglem 29240 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsinbpsd	⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotsinbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itvndx 28721	. . . 4 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
2		1re 11218	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12254	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		6nn0 12535	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5		1nn0 12530	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12866	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12764	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;16
8	2, 7	gtneii 11332	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 1
9		basendx 17288	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3034	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3031	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12325	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12531	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12865	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12764	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;16
16	12, 15	gtneii 11332	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 2
17		plusgndx 17346	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3034	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3031	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12341	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6lt10 12861	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
23	3, 4, 4, 22	declti 12764	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;16
24	21, 23	gtneii 11332	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 6
25		vscandx 17382	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
26	24, 25	neeqtrri 3034	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
27	1, 26	eqnetri 3031	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28		2nn 12324	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
29	5, 28	decnncl 12745	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
30	29	nnrei 12252	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
31		6nn 12340	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
32		2lt6 12437	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 6
33	5, 13, 31, 32	declt 12754	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;16
34	30, 33	gtneii 11332	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ ;12
35		dsndx 17448	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
36	34, 35	neeqtrri 3034	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (dist‘ndx)
37	1, 36	eqnetri 3031	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
38	27, 37	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
39	20, 38	pm3.2i 476	1 ⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ≠ wne 2961  ‘cfv 6540  1c1 11111  2c2 12305  6c6 12309  ;cdc 12721  ndxcnx 17263  Basecbs 17279  +_gcplusg 17320   ·_𝑠 cvsca 17324  distcds 17329  Itvcitv 28717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12515  df-z 12602  df-dec 12722  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-plusg 17333  df-vsca 17337  df-ds 17342  df-itv 28719

This theorem is used by:  ttgbas  29241  ttgplusg  29242  ttgvsca  29244  ttgds  29245