Theorem slotsinbpsd 28422

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot Itv. Formerly part of ttglem 28857 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsinbpsd	⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotsinbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itvndx 28418	. . . 4 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
2		1re 11152	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12175	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		6nn0 12441	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5		1nn0 12436	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12766	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12665	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;16
8	2, 7	gtneii 11264	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 1
9		basendx 17165	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 2998	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 2995	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12238	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12437	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12765	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12665	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;16
16	12, 15	gtneii 11264	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 2
17		plusgndx 17223	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 2998	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 2995	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12254	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6lt10 12761	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
23	3, 4, 4, 22	declti 12665	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;16
24	21, 23	gtneii 11264	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 6
25		vscandx 17259	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
26	24, 25	neeqtrri 2998	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
27	1, 26	eqnetri 2995	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28		2nn 12237	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
29	5, 28	decnncl 12647	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
30	29	nnrei 12173	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
31		6nn 12253	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
32		2lt6 12343	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 6
33	5, 13, 31, 32	declt 12655	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;16
34	30, 33	gtneii 11264	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ ;12
35		dsndx 17325	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
36	34, 35	neeqtrri 2998	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (dist‘ndx)
37	1, 36	eqnetri 2995	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
38	27, 37	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
39	20, 38	pm3.2i 470	1 ⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2925  ‘cfv 6499  1c1 11047  2c2 12219  6c6 12223  ;cdc 12627  ndxcnx 17140  Basecbs 17156  +_gcplusg 17197   ·_𝑠 cvsca 17201  distcds 17206  Itvcitv 28414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-4 12229  df-5 12230  df-6 12231  df-7 12232  df-8 12233  df-9 12234  df-n0 12421  df-z 12508  df-dec 12628  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-plusg 17210  df-vsca 17214  df-ds 17219  df-itv 28416

This theorem is referenced by:  ttgbas  28858  ttgplusg  28859  ttgvsca  28861  ttgds  28862