Theorem slotsinbpsd 28386

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot Itv. Formerly part of ttglem 28821 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsinbpsd	⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotsinbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itvndx 28382	. . . 4 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
2		1re 11115	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12139	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		6nn0 12405	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5		1nn0 12400	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12730	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12629	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;16
8	2, 7	gtneii 11228	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 1
9		basendx 17129	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 2998	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 2995	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12202	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12401	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12729	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12629	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;16
16	12, 15	gtneii 11228	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 2
17		plusgndx 17187	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 2998	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 2995	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12218	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6lt10 12725	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
23	3, 4, 4, 22	declti 12629	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;16
24	21, 23	gtneii 11228	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 6
25		vscandx 17223	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
26	24, 25	neeqtrri 2998	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
27	1, 26	eqnetri 2995	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28		2nn 12201	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
29	5, 28	decnncl 12611	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
30	29	nnrei 12137	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
31		6nn 12217	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
32		2lt6 12307	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 6
33	5, 13, 31, 32	declt 12619	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;16
34	30, 33	gtneii 11228	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ ;12
35		dsndx 17289	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
36	34, 35	neeqtrri 2998	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (dist‘ndx)
37	1, 36	eqnetri 2995	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
38	27, 37	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
39	20, 38	pm3.2i 470	1 ⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2925  ‘cfv 6482  1c1 11010  2c2 12183  6c6 12187  ;cdc 12591  ndxcnx 17104  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161   ·_𝑠 cvsca 17165  distcds 17170  Itvcitv 28378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-vsca 17178  df-ds 17183  df-itv 28380

This theorem is referenced by:  ttgbas  28822  ttgplusg  28823  ttgvsca  28825  ttgds  28826