Theorem slotsinbpsd 28686

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot Itv. Formerly part of ttglem 29191 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsinbpsd	⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotsinbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itvndx 28682	. . . 4 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
2		1re 11207	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12243	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		6nn0 12524	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5		1nn0 12519	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12855	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12753	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;16
8	2, 7	gtneii 11321	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 1
9		basendx 17277	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3029	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3026	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12314	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12520	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12854	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12753	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;16
16	12, 15	gtneii 11321	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 2
17		plusgndx 17335	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3029	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3026	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 475	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12330	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6lt10 12850	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
23	3, 4, 4, 22	declti 12753	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;16
24	21, 23	gtneii 11321	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 6
25		vscandx 17371	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
26	24, 25	neeqtrri 3029	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
27	1, 26	eqnetri 3026	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28		2nn 12313	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
29	5, 28	decnncl 12734	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
30	29	nnrei 12241	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
31		6nn 12329	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
32		2lt6 12426	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 6
33	5, 13, 31, 32	declt 12743	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;16
34	30, 33	gtneii 11321	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ ;12
35		dsndx 17437	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
36	34, 35	neeqtrri 3029	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (dist‘ndx)
37	1, 36	eqnetri 3026	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
38	27, 37	pm3.2i 475	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
39	20, 38	pm3.2i 475	1 ⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 400   ≠ wne 2956  ‘cfv 6536  1c1 11100  2c2 12294  6c6 12298  ;cdc 12710  ndxcnx 17252  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309   ·_𝑠 cvsca 17313  distcds 17318  Itvcitv 28678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-vsca 17326  df-ds 17331  df-itv 28680

This theorem is referenced by:  ttgbas  29192  ttgplusg  29193  ttgvsca  29195  ttgds  29196