Theorem slotsinbpsd 28365

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot Itv. Formerly part of ttglem 28801 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsinbpsd	⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotsinbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itvndx 28361	. . . 4 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
2		1re 11255	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12269	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		6nn0 12539	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5		1nn0 12534	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12862	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12761	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;16
8	2, 7	gtneii 11367	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 1
9		basendx 17217	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3004	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3001	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12332	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12535	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12861	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12761	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;16
16	12, 15	gtneii 11367	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 2
17		plusgndx 17287	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3004	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3001	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 469	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12348	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6lt10 12857	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
23	3, 4, 4, 22	declti 12761	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;16
24	21, 23	gtneii 11367	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 6
25		vscandx 17328	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
26	24, 25	neeqtrri 3004	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
27	1, 26	eqnetri 3001	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28		2nn 12331	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
29	5, 28	decnncl 12743	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
30	29	nnrei 12267	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
31		6nn 12347	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
32		2lt6 12442	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 6
33	5, 13, 31, 32	declt 12751	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;16
34	30, 33	gtneii 11367	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ ;12
35		dsndx 17394	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
36	34, 35	neeqtrri 3004	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (dist‘ndx)
37	1, 36	eqnetri 3001	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
38	27, 37	pm3.2i 469	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
39	20, 38	pm3.2i 469	1 ⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 394   ≠ wne 2930  ‘cfv 6546  1c1 11150  2c2 12313  6c6 12317  ;cdc 12723  ndxcnx 17190  Basecbs 17208  +_gcplusg 17261   ·_𝑠 cvsca 17265  distcds 17270  Itvcitv 28357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-plusg 17274  df-vsca 17278  df-ds 17283  df-itv 28359

This theorem is referenced by:  ttgbas  28803  ttgplusg  28805  ttgvsca  28808  ttgds  28810