Theorem slotsinbpsd 28420

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot Itv. Formerly part of ttglem 28855 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsinbpsd	⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotsinbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itvndx 28416	. . . 4 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
2		1re 11235	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12251	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		6nn0 12522	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5		1nn0 12517	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12847	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12746	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;16
8	2, 7	gtneii 11347	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 1
9		basendx 17237	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3005	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3002	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12314	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12518	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12846	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12746	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;16
16	12, 15	gtneii 11347	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 2
17		plusgndx 17297	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3005	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3002	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12330	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6lt10 12842	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
23	3, 4, 4, 22	declti 12746	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;16
24	21, 23	gtneii 11347	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 6
25		vscandx 17333	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
26	24, 25	neeqtrri 3005	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
27	1, 26	eqnetri 3002	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28		2nn 12313	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
29	5, 28	decnncl 12728	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
30	29	nnrei 12249	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
31		6nn 12329	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
32		2lt6 12424	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 6
33	5, 13, 31, 32	declt 12736	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;16
34	30, 33	gtneii 11347	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ ;12
35		dsndx 17399	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
36	34, 35	neeqtrri 3005	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (dist‘ndx)
37	1, 36	eqnetri 3002	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
38	27, 37	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
39	20, 38	pm3.2i 470	1 ⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2932  ‘cfv 6531  1c1 11130  2c2 12295  6c6 12299  ;cdc 12708  ndxcnx 17212  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271   ·_𝑠 cvsca 17275  distcds 17280  Itvcitv 28412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-vsca 17288  df-ds 17293  df-itv 28414

This theorem is referenced by:  ttgbas  28856  ttgplusg  28857  ttgvsca  28859  ttgds  28860