MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slotsinbpsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slotsinbpsd 28200
Description: The slots Base, +g, ·𝑠 and dist are different from the slot Itv. Formerly part of ttglem 28636 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
slotsinbpsd (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotsinbpsd
StepHypRef Expression
1 itvndx 28196 . . . 4 (Itv‘ndx) = 16
2 1re 11218 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
3 1nn 12227 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
4 6nn0 12497 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
5 1nn0 12492 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
6 1lt10 12820 . . . . . . 7 1 < 10
73, 4, 5, 6declti 12719 . . . . . 6 1 < 16
82, 7gtneii 11330 . . . . 5 16 ≠ 1
9 basendx 17162 . . . . 5 (Base‘ndx) = 1
108, 9neeqtrri 3008 . . . 4 16 ≠ (Base‘ndx)
111, 10eqnetri 3005 . . 3 (Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12 2re 12290 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
13 2nn0 12493 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
14 2lt10 12819 . . . . . . 7 2 < 10
153, 4, 13, 14declti 12719 . . . . . 6 2 < 16
1612, 15gtneii 11330 . . . . 5 16 ≠ 2
17 plusgndx 17232 . . . . 5 (+g‘ndx) = 2
1816, 17neeqtrri 3008 . . . 4 16 ≠ (+g‘ndx)
191, 18eqnetri 3005 . . 3 (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
2011, 19pm3.2i 470 . 2 ((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21 6re 12306 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
22 6lt10 12815 . . . . . . 7 6 < 10
233, 4, 4, 22declti 12719 . . . . . 6 6 < 16
2421, 23gtneii 11330 . . . . 5 16 ≠ 6
25 vscandx 17273 . . . . 5 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
2624, 25neeqtrri 3008 . . . 4 16 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
271, 26eqnetri 3005 . . 3 (Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28 2nn 12289 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
295, 28decnncl 12701 . . . . . . 7 12 ∈ ℕ
3029nnrei 12225 . . . . . 6 12 ∈ ℝ
31 6nn 12305 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
32 2lt6 12400 . . . . . . 7 2 < 6
335, 13, 31, 32declt 12709 . . . . . 6 12 < 16
3430, 33gtneii 11330 . . . . 5 16 ≠ 12
35 dsndx 17339 . . . . 5 (dist‘ndx) = 12
3634, 35neeqtrri 3008 . . . 4 16 ≠ (dist‘ndx)
371, 36eqnetri 3005 . . 3 (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
3827, 37pm3.2i 470 . 2 ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
3920, 38pm3.2i 470 1 (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  wne 2934  cfv 6537  1c1 11113  2c2 12271  6c6 12275  cdc 12681  ndxcnx 17135  Basecbs 17153  +gcplusg 17206   ·𝑠 cvsca 17210  distcds 17215  Itvcitv 28192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-vsca 17223  df-ds 17228  df-itv 28194
This theorem is referenced by:  ttgbas  28638  ttgplusg  28640  ttgvsca  28643  ttgds  28645
  Copyright terms: Public domain W3C validator