Theorem slotsinbpsd 28467

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot Itv. Formerly part of ttglem 28903 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsinbpsd	⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotsinbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itvndx 28463	. . . 4 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
2		1re 11290	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12304	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		6nn0 12574	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5		1nn0 12569	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12897	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12796	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;16
8	2, 7	gtneii 11402	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 1
9		basendx 17267	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3020	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3017	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12367	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12570	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12896	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12796	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;16
16	12, 15	gtneii 11402	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 2
17		plusgndx 17337	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3020	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3017	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12383	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6lt10 12892	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
23	3, 4, 4, 22	declti 12796	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;16
24	21, 23	gtneii 11402	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 6
25		vscandx 17378	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
26	24, 25	neeqtrri 3020	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
27	1, 26	eqnetri 3017	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28		2nn 12366	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
29	5, 28	decnncl 12778	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
30	29	nnrei 12302	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
31		6nn 12382	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
32		2lt6 12477	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 6
33	5, 13, 31, 32	declt 12786	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;16
34	30, 33	gtneii 11402	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ ;12
35		dsndx 17444	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
36	34, 35	neeqtrri 3020	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (dist‘ndx)
37	1, 36	eqnetri 3017	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
38	27, 37	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
39	20, 38	pm3.2i 470	1 ⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2946  ‘cfv 6573  1c1 11185  2c2 12348  6c6 12352  ;cdc 12758  ndxcnx 17240  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311   ·_𝑠 cvsca 17315  distcds 17320  Itvcitv 28459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-vsca 17328  df-ds 17333  df-itv 28461

This theorem is referenced by:  ttgbas  28905  ttgplusg  28907  ttgvsca  28910  ttgds  28912