Theorem slotsinbpsd 28449

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot Itv. Formerly part of ttglem 28885 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsinbpsd	⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotsinbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itvndx 28445	. . . 4 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
2		1re 11261	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12277	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		6nn0 12547	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5		1nn0 12542	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12872	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12771	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;16
8	2, 7	gtneii 11373	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 1
9		basendx 17256	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3014	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3011	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12340	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12543	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12871	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12771	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;16
16	12, 15	gtneii 11373	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 2
17		plusgndx 17323	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3014	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3011	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12356	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6lt10 12867	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
23	3, 4, 4, 22	declti 12771	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;16
24	21, 23	gtneii 11373	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 6
25		vscandx 17363	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
26	24, 25	neeqtrri 3014	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
27	1, 26	eqnetri 3011	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28		2nn 12339	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
29	5, 28	decnncl 12753	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
30	29	nnrei 12275	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
31		6nn 12355	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
32		2lt6 12450	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 6
33	5, 13, 31, 32	declt 12761	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;16
34	30, 33	gtneii 11373	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ ;12
35		dsndx 17429	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
36	34, 35	neeqtrri 3014	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (dist‘ndx)
37	1, 36	eqnetri 3011	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
38	27, 37	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
39	20, 38	pm3.2i 470	1 ⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2940  ‘cfv 6561  1c1 11156  2c2 12321  6c6 12325  ;cdc 12733  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297   ·_𝑠 cvsca 17301  distcds 17306  Itvcitv 28441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-vsca 17314  df-ds 17319  df-itv 28443

This theorem is referenced by:  ttgbas  28887  ttgplusg  28889  ttgvsca  28892  ttgds  28894