Theorem slotsinbpsd 27692

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot Itv. Formerly part of ttglem 28128 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsinbpsd	⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotsinbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itvndx 27688	. . . 4 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
2		1re 11214	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12223	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		6nn0 12493	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5		1nn0 12488	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12816	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12715	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;16
8	2, 7	gtneii 11326	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 1
9		basendx 17153	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3015	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3012	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12286	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12489	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12815	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12715	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;16
16	12, 15	gtneii 11326	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 2
17		plusgndx 17223	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3015	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3012	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 472	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12302	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6lt10 12811	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
23	3, 4, 4, 22	declti 12715	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;16
24	21, 23	gtneii 11326	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 6
25		vscandx 17264	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
26	24, 25	neeqtrri 3015	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
27	1, 26	eqnetri 3012	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28		2nn 12285	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
29	5, 28	decnncl 12697	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
30	29	nnrei 12221	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
31		6nn 12301	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
32		2lt6 12396	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 6
33	5, 13, 31, 32	declt 12705	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;16
34	30, 33	gtneii 11326	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ ;12
35		dsndx 17330	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
36	34, 35	neeqtrri 3015	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (dist‘ndx)
37	1, 36	eqnetri 3012	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
38	27, 37	pm3.2i 472	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
39	20, 38	pm3.2i 472	1 ⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 397   ≠ wne 2941  ‘cfv 6544  1c1 11111  2c2 12267  6c6 12271  ;cdc 12677  ndxcnx 17126  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197   ·_𝑠 cvsca 17201  distcds 17206  Itvcitv 27684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-vsca 17214  df-ds 17219  df-itv 27686

This theorem is referenced by:  ttgbas  28130  ttgplusg  28132  ttgvsca  28135  ttgds  28137