Theorem slotsinbpsd 28368

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot Itv. Formerly part of ttglem 28803 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsinbpsd	⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotsinbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itvndx 28364	. . . 4 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
2		1re 11174	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12197	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		6nn0 12463	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5		1nn0 12458	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12788	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12687	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;16
8	2, 7	gtneii 11286	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 1
9		basendx 17188	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 2998	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 2995	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12260	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12459	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12787	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12687	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;16
16	12, 15	gtneii 11286	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 2
17		plusgndx 17246	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 2998	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 2995	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12276	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6lt10 12783	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
23	3, 4, 4, 22	declti 12687	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;16
24	21, 23	gtneii 11286	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 6
25		vscandx 17282	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
26	24, 25	neeqtrri 2998	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
27	1, 26	eqnetri 2995	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28		2nn 12259	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
29	5, 28	decnncl 12669	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
30	29	nnrei 12195	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
31		6nn 12275	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
32		2lt6 12365	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 6
33	5, 13, 31, 32	declt 12677	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;16
34	30, 33	gtneii 11286	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ ;12
35		dsndx 17348	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
36	34, 35	neeqtrri 2998	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (dist‘ndx)
37	1, 36	eqnetri 2995	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
38	27, 37	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
39	20, 38	pm3.2i 470	1 ⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2925  ‘cfv 6511  1c1 11069  2c2 12241  6c6 12245  ;cdc 12649  ndxcnx 17163  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220   ·_𝑠 cvsca 17224  distcds 17229  Itvcitv 28360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-vsca 17237  df-ds 17242  df-itv 28362

This theorem is referenced by:  ttgbas  28804  ttgplusg  28805  ttgvsca  28807  ttgds  28808