MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slotsinbpsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slotsinbpsd 28449
Description: The slots Base, +g, ·𝑠 and dist are different from the slot Itv. Formerly part of ttglem 28885 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
slotsinbpsd (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotsinbpsd
StepHypRef Expression
1 itvndx 28445 . . . 4 (Itv‘ndx) = 16
2 1re 11261 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
3 1nn 12277 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
4 6nn0 12547 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
5 1nn0 12542 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
6 1lt10 12872 . . . . . . 7 1 < 10
73, 4, 5, 6declti 12771 . . . . . 6 1 < 16
82, 7gtneii 11373 . . . . 5 16 ≠ 1
9 basendx 17256 . . . . 5 (Base‘ndx) = 1
108, 9neeqtrri 3014 . . . 4 16 ≠ (Base‘ndx)
111, 10eqnetri 3011 . . 3 (Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12 2re 12340 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
13 2nn0 12543 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
14 2lt10 12871 . . . . . . 7 2 < 10
153, 4, 13, 14declti 12771 . . . . . 6 2 < 16
1612, 15gtneii 11373 . . . . 5 16 ≠ 2
17 plusgndx 17323 . . . . 5 (+g‘ndx) = 2
1816, 17neeqtrri 3014 . . . 4 16 ≠ (+g‘ndx)
191, 18eqnetri 3011 . . 3 (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
2011, 19pm3.2i 470 . 2 ((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21 6re 12356 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
22 6lt10 12867 . . . . . . 7 6 < 10
233, 4, 4, 22declti 12771 . . . . . 6 6 < 16
2421, 23gtneii 11373 . . . . 5 16 ≠ 6
25 vscandx 17363 . . . . 5 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
2624, 25neeqtrri 3014 . . . 4 16 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
271, 26eqnetri 3011 . . 3 (Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28 2nn 12339 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
295, 28decnncl 12753 . . . . . . 7 12 ∈ ℕ
3029nnrei 12275 . . . . . 6 12 ∈ ℝ
31 6nn 12355 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
32 2lt6 12450 . . . . . . 7 2 < 6
335, 13, 31, 32declt 12761 . . . . . 6 12 < 16
3430, 33gtneii 11373 . . . . 5 16 ≠ 12
35 dsndx 17429 . . . . 5 (dist‘ndx) = 12
3634, 35neeqtrri 3014 . . . 4 16 ≠ (dist‘ndx)
371, 36eqnetri 3011 . . 3 (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
3827, 37pm3.2i 470 . 2 ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
3920, 38pm3.2i 470 1 (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  wne 2940  cfv 6561  1c1 11156  2c2 12321  6c6 12325  cdc 12733  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +gcplusg 17297   ·𝑠 cvsca 17301  distcds 17306  Itvcitv 28441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-vsca 17314  df-ds 17319  df-itv 28443
This theorem is referenced by:  ttgbas  28887  ttgplusg  28889  ttgvsca  28892  ttgds  28894
  Copyright terms: Public domain W3C validator