Theorem slotsinbpsd 28525

Description: The slots Base, +_g, ·_𝑠 and dist are different from the slot Itv. Formerly part of ttglem 28960 and proofs using it. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsinbpsd	⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Proof of Theorem slotsinbpsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itvndx 28521	. . . 4 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
2		1re 11144	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		1nn 12168	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		6nn0 12434	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
5		1nn0 12429	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1lt10 12758	. . . . . . 7 ⊢ 1 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12657	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;16
8	2, 7	gtneii 11257	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 1
9		basendx 17157	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10	8, 9	neeqtrri 3006	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (Base‘ndx)
11	1, 10	eqnetri 3003	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
12		2re 12231	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		2nn0 12430	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14		2lt10 12757	. . . . . . 7 ⊢ 2 < ;10
15	3, 4, 13, 14	declti 12657	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;16
16	12, 15	gtneii 11257	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 2
17		plusgndx 17215	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
18	16, 17	neeqtrri 3006	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (+g‘ndx)
19	1, 18	eqnetri 3003	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
20	11, 19	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx))
21		6re 12247	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
22		6lt10 12753	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;10
23	3, 4, 4, 22	declti 12657	. . . . . 6 ⊢ 6 < ;16
24	21, 23	gtneii 11257	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ 6
25		vscandx 17251	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
26	24, 25	neeqtrri 3006	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
27	1, 26	eqnetri 3003	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
28		2nn 12230	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
29	5, 28	decnncl 12639	. . . . . . 7 ⊢ ;12 ∈ ℕ
30	29	nnrei 12166	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℝ
31		6nn 12246	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
32		2lt6 12336	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 6
33	5, 13, 31, 32	declt 12647	. . . . . 6 ⊢ ;12 < ;16
34	30, 33	gtneii 11257	. . . . 5 ⊢ ;16 ≠ ;12
35		dsndx 17317	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
36	34, 35	neeqtrri 3006	. . . 4 ⊢ ;16 ≠ (dist‘ndx)
37	1, 36	eqnetri 3003	. . 3 ⊢ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
38	27, 37	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
39	20, 38	pm3.2i 470	1 ⊢ (((Itv‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (+g‘ndx)) ∧ ((Itv‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (Itv‘ndx) ≠ (dist‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2933  ‘cfv 6500  1c1 11039  2c2 12212  6c6 12216  ;cdc 12619  ndxcnx 17132  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189   ·_𝑠 cvsca 17193  distcds 17198  Itvcitv 28517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-vsca 17206  df-ds 17211  df-itv 28519

This theorem is referenced by:  ttgbas  28961  ttgplusg  28962  ttgvsca  28964  ttgds  28965