Theorem uhgr0edg0rgrb 27043

Description: A hypergraph is 0-regular iff it has no edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2018.) (Revised by AV, 24-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0edg0rgrb	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺RegGraph0 ↔ (Edg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem uhgr0edg0rgrb

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2797	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2797	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	uhgrvd00 27003	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → (Edg‘𝐺) = ∅))
4	3	com12 32	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → (𝐺 ∈ UHGraph → (Edg‘𝐺) = ∅))
5	4	adantl 482	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0) → (𝐺 ∈ UHGraph → (Edg‘𝐺) = ∅))
6		eqid 2797	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
7	1, 6	rgrprop 27029	. . 3 ⊢ (𝐺RegGraph0 → (0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0))
8	5, 7	syl11 33	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺RegGraph0 → (Edg‘𝐺) = ∅))
9		uhgr0edg0rgr 27042	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Edg‘𝐺) = ∅) → 𝐺RegGraph0)
10	9	ex 413	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ → 𝐺RegGraph0))
11	8, 10	impbid 213	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺RegGraph0 ↔ (Edg‘𝐺) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107  ∅c0 4217   class class class wbr 4968  ‘cfv 6232  0cc0 10390  ℕ₀^*cxnn0 11821  Vtxcvtx 26468  Edgcedg 26519  UHGraphcuhgr 26528  VtxDegcvtxdg 26934  RegGraphcrgr 27024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-n0 11752  df-xnn0 11822  df-z 11836  df-uz 12098  df-xadd 12362  df-fz 12747  df-hash 13545  df-edg 26520  df-uhgr 26530  df-vtxdg 26935  df-rgr 27026

This theorem is referenced by:  usgr0edg0rusgr  27044