Theorem uhgr0edg0rgrb 29509

Description: A hypergraph is 0-regular iff it has no edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2018.) (Revised by AV, 24-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0edg0rgrb	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 RegGraph 0 ↔ (Edg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem uhgr0edg0rgrb

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	uhgrvd00 29469	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → (Edg‘𝐺) = ∅))
4	3	com12 32	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → (𝐺 ∈ UHGraph → (Edg‘𝐺) = ∅))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0) → (𝐺 ∈ UHGraph → (Edg‘𝐺) = ∅))
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
7	1, 6	rgrprop 29495	. . 3 ⊢ (𝐺 RegGraph 0 → (0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0))
8	5, 7	syl11 33	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 RegGraph 0 → (Edg‘𝐺) = ∅))
9		uhgr0edg0rgr 29508	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (Edg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 RegGraph 0)
10	9	ex 412	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ → 𝐺 RegGraph 0))
11	8, 10	impbid 212	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 RegGraph 0 ↔ (Edg‘𝐺) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∅c0 4299   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  0cc0 11075  ℕ₀^*cxnn0 12522  Vtxcvtx 28930  Edgcedg 28981  UHGraphcuhgr 28990  VtxDegcvtxdg 29400   RegGraph crgr 29490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-xadd 13080  df-fz 13476  df-hash 14303  df-edg 28982  df-uhgr 28992  df-vtxdg 29401  df-rgr 29492

This theorem is referenced by:  usgr0edg0rusgr  29510