Theorem usgr0edg0rusgr 27063

Description: A simple graph is 0-regular iff it has no edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2018.) (Revised by AV, 19-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 24-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgr0edg0rusgr	⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺RegUSGraph0 ↔ (Edg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem usgr0edg0rusgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11727	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		isrusgr 27049	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐺RegUSGraph0 ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺RegGraph0)))
3	1, 2	mpan2 678	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺RegUSGraph0 ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺RegGraph0)))
4		ibar 521	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺RegGraph0 ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺RegGraph0)))
5		usgruhgr 26674	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
6		uhgr0edg0rgrb 27062	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺RegGraph0 ↔ (Edg‘𝐺) = ∅))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺RegGraph0 ↔ (Edg‘𝐺) = ∅))
8	3, 4, 7	3bitr2d 299	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺RegUSGraph0 ↔ (Edg‘𝐺) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∅c0 4180   class class class wbr 4930  ‘cfv 6190  0cc0 10337  ℕ₀cn0 11710  Edgcedg 26538  UHGraphcuhgr 26547  USGraphcusgr 26640  RegGraphcrgr 27043  RegUSGraphcrusgr 27044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-2 11506  df-n0 11711  df-xnn0 11783  df-z 11797  df-uz 12062  df-xadd 12328  df-fz 12712  df-hash 13509  df-edg 26539  df-uhgr 26549  df-upgr 26573  df-uspgr 26641  df-usgr 26642  df-vtxdg 26954  df-rgr 27045  df-rusgr 27046

This theorem is referenced by:  rgrusgrprc  27077  rusgr0edg  27482