Theorem upgredg2vtx 27038

Description: For a vertex incident to an edge there is another vertex incident to the edge in a pseudograph. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 5-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgredg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgredg2vtx	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝐴, 𝑏})

Distinct variable groups:   𝐶,𝑏   𝐺,𝑏   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑏)

Proof of Theorem upgredg2vtx

Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgredg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		upgredg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	upgredg 27034	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑐})
4	3	3adant3 1129	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑐})
5		elpr2elpr 4759	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ {𝑎, 𝑐}) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 {𝑎, 𝑐} = {𝐴, 𝑏})
6	5	3expia 1118	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ {𝑎, 𝑐} → ∃𝑏 ∈ 𝑉 {𝑎, 𝑐} = {𝐴, 𝑏}))
7		eleq2 2840	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = {𝑎, 𝑐} → (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ {𝑎, 𝑐}))
8		eqeq1 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = {𝑎, 𝑐} → (𝐶 = {𝐴, 𝑏} ↔ {𝑎, 𝑐} = {𝐴, 𝑏}))
9	8	rexbidv 3221	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = {𝑎, 𝑐} → (∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝐴, 𝑏} ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑉 {𝑎, 𝑐} = {𝐴, 𝑏}))
10	7, 9	imbi12d 348	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = {𝑎, 𝑐} → ((𝐴 ∈ 𝐶 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝐴, 𝑏}) ↔ (𝐴 ∈ {𝑎, 𝑐} → ∃𝑏 ∈ 𝑉 {𝑎, 𝑐} = {𝐴, 𝑏})))
11	6, 10	syl5ibr 249	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = {𝑎, 𝑐} → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ 𝐶 → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝐴, 𝑏})))
12	11	com13 88	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝐶 = {𝑎, 𝑐} → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝐴, 𝑏})))
13	12	3ad2ant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝐶 = {𝑎, 𝑐} → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝐴, 𝑏})))
14	13	rexlimdvv 3217	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑐} → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝐴, 𝑏}))
15	4, 14	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝐴, 𝑏})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071  {cpr 4527  ‘cfv 6339  Vtxcvtx 26893  Edgcedg 26944  UPGraphcupgr 26977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-2o 8118  df-oadd 8121  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-dju 9368  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-n0 11940  df-xnn0 12012  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-hash 13746  df-edg 26945  df-upgr 26979

This theorem is referenced by:  usgredg2vtx  27113  uspgredg2vtxeu  27114