MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgredg2vtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgredg2vtx 28825
Description: For a vertex incident to an edge there is another vertex incident to the edge in a pseudograph. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 5-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
upgredg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upgredg2vtx ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸𝐴𝐶) → ∃𝑏𝑉 𝐶 = {𝐴, 𝑏})
Distinct variable groups:   𝐶,𝑏   𝐺,𝑏   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑏)

Proof of Theorem upgredg2vtx
Dummy variables 𝑎 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upgredg.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 upgredg.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2upgredg 28821 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸) → ∃𝑎𝑉𝑐𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑐})
433adant3 1129 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸𝐴𝐶) → ∃𝑎𝑉𝑐𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑐})
5 elpr2elpr 4861 . . . . . . 7 ((𝑎𝑉𝑐𝑉𝐴 ∈ {𝑎, 𝑐}) → ∃𝑏𝑉 {𝑎, 𝑐} = {𝐴, 𝑏})
653expia 1118 . . . . . 6 ((𝑎𝑉𝑐𝑉) → (𝐴 ∈ {𝑎, 𝑐} → ∃𝑏𝑉 {𝑎, 𝑐} = {𝐴, 𝑏}))
7 eleq2 2814 . . . . . . 7 (𝐶 = {𝑎, 𝑐} → (𝐴𝐶𝐴 ∈ {𝑎, 𝑐}))
8 eqeq1 2728 . . . . . . . 8 (𝐶 = {𝑎, 𝑐} → (𝐶 = {𝐴, 𝑏} ↔ {𝑎, 𝑐} = {𝐴, 𝑏}))
98rexbidv 3170 . . . . . . 7 (𝐶 = {𝑎, 𝑐} → (∃𝑏𝑉 𝐶 = {𝐴, 𝑏} ↔ ∃𝑏𝑉 {𝑎, 𝑐} = {𝐴, 𝑏}))
107, 9imbi12d 344 . . . . . 6 (𝐶 = {𝑎, 𝑐} → ((𝐴𝐶 → ∃𝑏𝑉 𝐶 = {𝐴, 𝑏}) ↔ (𝐴 ∈ {𝑎, 𝑐} → ∃𝑏𝑉 {𝑎, 𝑐} = {𝐴, 𝑏})))
116, 10imbitrrid 245 . . . . 5 (𝐶 = {𝑎, 𝑐} → ((𝑎𝑉𝑐𝑉) → (𝐴𝐶 → ∃𝑏𝑉 𝐶 = {𝐴, 𝑏})))
1211com13 88 . . . 4 (𝐴𝐶 → ((𝑎𝑉𝑐𝑉) → (𝐶 = {𝑎, 𝑐} → ∃𝑏𝑉 𝐶 = {𝐴, 𝑏})))
13123ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸𝐴𝐶) → ((𝑎𝑉𝑐𝑉) → (𝐶 = {𝑎, 𝑐} → ∃𝑏𝑉 𝐶 = {𝐴, 𝑏})))
1413rexlimdvv 3202 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸𝐴𝐶) → (∃𝑎𝑉𝑐𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑐} → ∃𝑏𝑉 𝐶 = {𝐴, 𝑏}))
154, 14mpd 15 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸𝐴𝐶) → ∃𝑏𝑉 𝐶 = {𝐴, 𝑏})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3062  {cpr 4622  cfv 6533  Vtxcvtx 28680  Edgcedg 28731  UPGraphcupgr 28764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-dju 9891  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287  df-edg 28732  df-upgr 28766
This theorem is referenced by:  usgredg2vtx  28900  uspgredg2vtxeu  28901
  Copyright terms: Public domain W3C validator