Theorem uspgredg2vtxeu 29511

Description: For a vertex incident to an edge there is exactly one other vertex incident to the edge in a simple pseudograph. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 6-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uspgredg2vtxeu	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})

Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑌

Proof of Theorem uspgredg2vtxeu

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgrupgr 29469	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	upgredg2vtx 29432	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})
5	1, 4	syl3an1 1179	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})
6		eqtr2 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → {𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥})
7		vex 3465	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
8		vex 3465	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
9	7, 8	preqr2 4816	. . . . 5 ⊢ ({𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥} → 𝑦 = 𝑥)
10	6, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) ∧ (𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥))
12	11	ralrimivva 3214	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∀𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥))
13		preq2 4703	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → {𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥})
14	13	eqeq2d 2780	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐸 = {𝑌, 𝑦} ↔ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}))
15	14	reu4 3701	. 2 ⊢ (∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦} ↔ (∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ ∀𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥)))
16	5, 12, 15	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  ∃!wreu 3373  {cpr 4594  ‘cfv 6537  Vtxcvtx 29287  Edgcedg 29338  UPGraphcupgr 29371  USPGraphcuspgr 29439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-hash 14367  df-edg 29339  df-upgr 29373  df-uspgr 29441

This theorem is referenced by:  usgredg2vtxeu  29512  uspgredg2vlem  29514  uspgredg2v  29515