Theorem uspgredg2vtxeu 27114

Description: For a vertex incident to an edge there is exactly one other vertex incident to the edge in a simple pseudograph. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 6-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uspgredg2vtxeu	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})

Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑌

Proof of Theorem uspgredg2vtxeu

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgrupgr 27073	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
2		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	upgredg2vtx 27038	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})
5	1, 4	syl3an1 1160	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})
6		eqtr2 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → {𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥})
7		vex 3413	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
8		vex 3413	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
9	7, 8	preqr2 4740	. . . . 5 ⊢ ({𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥} → 𝑦 = 𝑥)
10	6, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) ∧ (𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥))
12	11	ralrimivva 3120	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∀𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥))
13		preq2 4630	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → {𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥})
14	13	eqeq2d 2769	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐸 = {𝑌, 𝑦} ↔ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}))
15	14	reu4 3647	. 2 ⊢ (∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦} ↔ (∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ ∀𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥)))
16	5, 12, 15	sylanbrc 586	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  ∃!wreu 3072  {cpr 4527  ‘cfv 6339  Vtxcvtx 26893  Edgcedg 26944  UPGraphcupgr 26977  USPGraphcuspgr 27045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-2o 8118  df-oadd 8121  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-dju 9368  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-n0 11940  df-xnn0 12012  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-hash 13746  df-edg 26945  df-upgr 26979  df-uspgr 27047

This theorem is referenced by:  usgredg2vtxeu  27115  uspgredg2vlem  27117  uspgredg2v  27118