Theorem uspgredg2vtxeu 26523

Description: For a vertex incident to an edge there is exactly one other vertex incident to the edge in a simple pseudograph. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 6-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uspgredg2vtxeu	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})

Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑌

Proof of Theorem uspgredg2vtxeu

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgrupgr 26482	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
2		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	upgredg2vtx 26447	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})
5	1, 4	syl3an1 1206	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})
6		eqtr2 2847	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → {𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥})
7		vex 3417	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
8		vex 3417	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
9	7, 8	preqr2 4598	. . . . 5 ⊢ ({𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥} → 𝑦 = 𝑥)
10	6, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) ∧ (𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥))
12	11	ralrimivva 3180	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∀𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥))
13		preq2 4489	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → {𝑌, 𝑦} = {𝑌, 𝑥})
14	13	eqeq2d 2835	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐸 = {𝑌, 𝑦} ↔ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}))
15	14	reu4 3625	. 2 ⊢ (∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦} ↔ (∃𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ ∀𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)((𝐸 = {𝑌, 𝑦} ∧ 𝐸 = {𝑌, 𝑥}) → 𝑦 = 𝑥)))
16	5, 12, 15	sylanbrc 578	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → ∃!𝑦 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐸 = {𝑌, 𝑦})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  ∃!wreu 3119  {cpr 4401  ‘cfv 6127  Vtxcvtx 26301  Edgcedg 26352  UPGraphcupgr 26385  USPGraphcuspgr 26454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-xnn0 11698  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-hash 13418  df-edg 26353  df-upgr 26387  df-uspgr 26456

This theorem is referenced by:  usgredg2vtxeu  26524  uspgredg2vlem  26526  uspgredg2v  26527