Theorem upgredg 29040

Description: For each edge in a pseudograph, there are two vertices which are connected by this edge. (Contributed by AV, 4-Nov-2020.) (Proof shortened by AV, 26-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgredg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgredg	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏})

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem upgredg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgredg.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2		edgval 28952	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
4	1, 3	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐸 = ran (iEdg‘𝐺))
5	4	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐶 ∈ 𝐸 ↔ 𝐶 ∈ ran (iEdg‘𝐺)))
6		upgredg.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8	6, 7	upgrf 28989	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
9	8	frnd 6678	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → ran (iEdg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
10	9	sseld 3942	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐶 ∈ ran (iEdg‘𝐺) → 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
11	5, 10	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐶 ∈ 𝐸 → 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}))
12	11	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
13		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐶))
14	13	breq1d 5112	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((♯‘𝑥) ≤ 2 ↔ (♯‘𝐶) ≤ 2))
15	14	elrab 3656	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ (𝐶 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ (♯‘𝐶) ≤ 2))
16		hashle2prv 14419	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → ((♯‘𝐶) ≤ 2 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏}))
17	16	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ (♯‘𝐶) ≤ 2) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏})
18	15, 17	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏})
19	12, 18	syl 17	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3402   ∖ cdif 3908  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559  {csn 4585  {cpr 4587   class class class wbr 5102  dom cdm 5631  ran crn 5632  ‘cfv 6499   ≤ cle 11185  2c2 12217  ♯chash 14271  Vtxcvtx 28899  iEdgciedg 28900  Edgcedg 28950  UPGraphcupgr 28983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-hash 14272  df-edg 28951  df-upgr 28985

This theorem is referenced by:  upgrpredgv  29042  upgredg2vtx  29044  upgredgpr  29045  edglnl  29046  numedglnl  29047  isuspgrimlem  47868