MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgredgpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgredgpr 26441
Description: If a proper pair (of vertices) is a subset of an edge in a pseudograph, the pair is the edge. (Contributed by AV, 30-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
upgredg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upgredgpr (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵)) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)

Proof of Theorem upgredgpr
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upgredg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 upgredg.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2upgredg 26436 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏})
433adant3 1168 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏})
5 ssprsseq 4574 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ {𝑎, 𝑏} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝑎, 𝑏}))
65biimpd 221 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ {𝑎, 𝑏} → {𝐴, 𝐵} = {𝑎, 𝑏}))
7 sseq2 3852 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝑎, 𝑏}))
8 eqeq2 2836 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} = 𝐶 ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝑎, 𝑏}))
97, 8imbi12d 336 . . . . . . . . 9 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → (({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} = 𝐶) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ {𝑎, 𝑏} → {𝐴, 𝐵} = {𝑎, 𝑏})))
106, 9syl5ibr 238 . . . . . . . 8 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
1110com23 86 . . . . . . 7 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶))))
1312rexlimivv 3246 . . . . 5 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
1413com12 32 . . . 4 ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
15143ad2ant3 1171 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
164, 15mpd 15 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶))
1716imp 397 1 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵)) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999  wrex 3118  wss 3798  {cpr 4399  cfv 6123  Vtxcvtx 26294  Edgcedg 26345  UPGraphcupgr 26378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-xnn0 11691  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-hash 13411  df-edg 26346  df-upgr 26380
This theorem is referenced by:  nbupgr  26641  nbumgrvtx  26643  upgriswlk  26938  upgrwlkupwlk  42568
  Copyright terms: Public domain W3C validator