MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgredgpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgredgpr 28948
Description: If a proper pair (of vertices) is a subset of an edge in a pseudograph, the pair is the edge. (Contributed by AV, 30-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
upgredg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upgredgpr (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵)) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)

Proof of Theorem upgredgpr
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upgredg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 upgredg.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2upgredg 28943 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏})
433adant3 1130 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏})
5 ssprsseq 4824 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ {𝑎, 𝑏} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝑎, 𝑏}))
65biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ {𝑎, 𝑏} → {𝐴, 𝐵} = {𝑎, 𝑏}))
7 sseq2 4004 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝑎, 𝑏}))
8 eqeq2 2739 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} = 𝐶 ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝑎, 𝑏}))
97, 8imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → (({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} = 𝐶) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ {𝑎, 𝑏} → {𝐴, 𝐵} = {𝑎, 𝑏})))
106, 9imbitrrid 245 . . . . . . . 8 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
1110com23 86 . . . . . . 7 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶))))
1312rexlimivv 3194 . . . . 5 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
1413com12 32 . . . 4 ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
15143ad2ant3 1133 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
164, 15mpd 15 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶))
1716imp 406 1 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵)) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  wrex 3065  wss 3944  {cpr 4626  cfv 6542  Vtxcvtx 28802  Edgcedg 28853  UPGraphcupgr 28886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9918  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-hash 14316  df-edg 28854  df-upgr 28888
This theorem is referenced by:  nbupgr  29150  nbumgrvtx  29152  upgriswlk  29448  upgrwlkupwlk  47174
  Copyright terms: Public domain W3C validator