MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgredgpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgredgpr 26914
Description: If a proper pair (of vertices) is a subset of an edge in a pseudograph, the pair is the edge. (Contributed by AV, 30-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
upgredg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upgredgpr (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵)) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)

Proof of Theorem upgredgpr
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 upgredg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 upgredg.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2upgredg 26909 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏})
433adant3 1129 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏})
5 ssprsseq 4731 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ {𝑎, 𝑏} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝑎, 𝑏}))
65biimpd 232 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ {𝑎, 𝑏} → {𝐴, 𝐵} = {𝑎, 𝑏}))
7 sseq2 3969 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝑎, 𝑏}))
8 eqeq2 2833 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} = 𝐶 ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝑎, 𝑏}))
97, 8imbi12d 348 . . . . . . . . 9 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → (({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} = 𝐶) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ {𝑎, 𝑏} → {𝐴, 𝐵} = {𝑎, 𝑏})))
106, 9syl5ibr 249 . . . . . . . 8 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
1110com23 86 . . . . . . 7 (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
1211a1i 11 . . . . . 6 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶))))
1312rexlimivv 3278 . . . . 5 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
1413com12 32 . . . 4 ({𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
15143ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)))
164, 15mpd 15 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) → ((𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶))
1716imp 410 1 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐶𝐸 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶) ∧ (𝐴𝑈𝐵𝑊𝐴𝐵)) → {𝐴, 𝐵} = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  wrex 3127  wss 3910  {cpr 4542  cfv 6328  Vtxcvtx 26768  Edgcedg 26819  UPGraphcupgr 26852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-n0 11876  df-xnn0 11946  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-hash 13675  df-edg 26820  df-upgr 26854
This theorem is referenced by:  nbupgr  27113  nbumgrvtx  27115  upgriswlk  27409  upgrwlkupwlk  44191
  Copyright terms: Public domain W3C validator