Theorem urpropd 33618

Description: Sufficient condition for ring unities to be equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
urpropd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
urpropd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
urpropd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
urpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑇))
urpropd.2	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
urpropd	⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥, 𝑦)   𝑊(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem urpropd

Dummy variables 𝑒 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		urpropd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑇))
2	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑇))
3		urpropd.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
4	3	anasss 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
5	4	ralrimivva 3210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
6	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
7		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑒 → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑆)𝑦))
8		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑒 → (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑦))
9	7, 8	eqeq12d 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑒 → ((𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) ↔ (𝑒(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑦)))
10		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑝 → (𝑒(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑆)𝑝))
11		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑝 → (𝑒(.r‘𝑇)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑝))
12	10, 11	eqeq12d 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑝 → ((𝑒(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑦) ↔ (𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑝)))
13		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑒 ∈ 𝐵)
14		eqidd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → 𝐵 = 𝐵)
15		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
16	9, 12, 13, 14, 15	rspc2vd 3902	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) → (𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑝)))
17	6, 16	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑝))
18	17	eqeq1d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ↔ (𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝))
19		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑆)𝑦))
20		oveq1 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑦))
21	19, 20	eqeq12d 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → ((𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) ↔ (𝑝(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑦)))
22		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑒 → (𝑝(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑆)𝑒))
23		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑒 → (𝑝(.r‘𝑇)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑒))
24	22, 23	eqeq12d 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑒 → ((𝑝(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑦) ↔ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑒)))
25		eqidd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑝) → 𝐵 = 𝐵)
26	21, 24, 15, 25, 13	rspc2vd 3902	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) → (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑒)))
27	6, 26	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑒))
28	27	eqeq1d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝 ↔ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝))
29	18, 28	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝) ↔ ((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝)))
30	2, 29	raleqbidva 3331	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐵 ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝) ↔ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝)))
31	30	pm5.32da 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝)) ↔ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝))))
32	1	eleq2d 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑒 ∈ 𝐵 ↔ 𝑒 ∈ (Base‘𝑇)))
33	32	anbi1d 643	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝑇) ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝))))
34	31, 33	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝑇) ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝))))
35	34	iotabidv 6524	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝))) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑇) ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝))))
36		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
37		urpropd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
38	36, 37	mgpbas 20269	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
39		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
40	36, 39	mgpplusg 20268	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
41		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
42	38, 40, 41	grpidval 18748	. . 3 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝)))
43		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
44		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
45	43, 44	mgpbas 20269	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘(mulGrp‘𝑇))
46		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑇) = (.r‘𝑇)
47	43, 46	mgpplusg 20268	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑇) = (+g‘(mulGrp‘𝑇))
48		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑇)) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
49	45, 47, 48	grpidval 18748	. . 3 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑇)) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑇) ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝)))
50	35, 42, 49	3eqtr4g 2825	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑇)))
51		eqid 2765	. . 3 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
52	36, 51	ringidval 20313	. 2 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
53		eqid 2765	. . 3 ⊢ (1r‘𝑇) = (1r‘𝑇)
54	43, 53	ringidval 20313	. 2 ⊢ (1r‘𝑇) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
55	50, 52, 54	3eqtr4g 2825	1 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ℩cio 6494  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17295  ._rcmulr 17337  0_gc0g 17518  mulGrpcmgp 20264  1_rcur 20311

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-plusg 17349  df-0g 17520  df-mgp 20265  df-ur 20312

This theorem is used by:  opprqus1r  33842