Theorem urpropd 33199

Description: Sufficient condition for ring unities to be equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
urpropd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
urpropd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
urpropd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
urpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑇))
urpropd.2	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
urpropd	⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem urpropd

Dummy variables 𝑒 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		urpropd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑇))
2	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑇))
3		urpropd.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
4	3	anasss 466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
5	4	ralrimivva 3175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
6	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
7		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑒 → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑆)𝑦))
8		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑒 → (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑦))
9	7, 8	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑒 → ((𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) ↔ (𝑒(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑦)))
10		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑝 → (𝑒(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑆)𝑝))
11		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑝 → (𝑒(.r‘𝑇)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑝))
12	10, 11	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑝 → ((𝑒(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑦) ↔ (𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑝)))
13		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑒 ∈ 𝐵)
14		eqidd 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → 𝐵 = 𝐵)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
16	9, 12, 13, 14, 15	rspc2vd 3893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) → (𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑝)))
17	6, 16	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑝))
18	17	eqeq1d 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ↔ (𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝))
19		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑆)𝑦))
20		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑦))
21	19, 20	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → ((𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) ↔ (𝑝(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑦)))
22		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑒 → (𝑝(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑆)𝑒))
23		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑒 → (𝑝(.r‘𝑇)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑒))
24	22, 23	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑒 → ((𝑝(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑦) ↔ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑒)))
25		eqidd 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑝) → 𝐵 = 𝐵)
26	21, 24, 15, 25, 13	rspc2vd 3893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) → (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑒)))
27	6, 26	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑒))
28	27	eqeq1d 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝 ↔ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝))
29	18, 28	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝) ↔ ((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝)))
30	2, 29	raleqbidva 3298	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐵 ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝) ↔ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝)))
31	30	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝)) ↔ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝))))
32	1	eleq2d 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑒 ∈ 𝐵 ↔ 𝑒 ∈ (Base‘𝑇)))
33	32	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝑇) ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝))))
34	31, 33	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝑇) ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝))))
35	34	iotabidv 6465	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝))) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑇) ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝))))
36		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
37		urpropd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
38	36, 37	mgpbas 20063	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
39		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
40	36, 39	mgpplusg 20062	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
41		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
42	38, 40, 41	grpidval 18569	. . 3 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝)))
43		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
44		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
45	43, 44	mgpbas 20063	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘(mulGrp‘𝑇))
46		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑇) = (.r‘𝑇)
47	43, 46	mgpplusg 20062	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑇) = (+g‘(mulGrp‘𝑇))
48		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑇)) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
49	45, 47, 48	grpidval 18569	. . 3 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑇)) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑇) ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝)))
50	35, 42, 49	3eqtr4g 2791	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑇)))
51		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
52	36, 51	ringidval 20101	. 2 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
53		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1r‘𝑇) = (1r‘𝑇)
54	43, 53	ringidval 20101	. 2 ⊢ (1r‘𝑇) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
55	50, 52, 54	3eqtr4g 2791	1 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ℩cio 6435  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343  mulGrpcmgp 20058  1_rcur 20099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgp 20059  df-ur 20100

This theorem is referenced by:  opprqus1r  33457