Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  urpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem urpropd 32649
Description: Sufficient condition for ring unities to be equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
urpropd.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
urpropd.s (𝜑𝑆𝑉)
urpropd.t (𝜑𝑇𝑊)
urpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑇))
urpropd.2 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝑆)𝑦) = (𝑥(.r𝑇)𝑦))
Assertion
Ref Expression
urpropd (𝜑 → (1r𝑆) = (1r𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem urpropd
Dummy variables 𝑒 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 urpropd.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑇))
21adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑇))
3 urpropd.2 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝑆)𝑦) = (𝑥(.r𝑇)𝑦))
43anasss 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝑆)𝑦) = (𝑥(.r𝑇)𝑦))
54ralrimivva 3199 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(.r𝑆)𝑦) = (𝑥(.r𝑇)𝑦))
65ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(.r𝑆)𝑦) = (𝑥(.r𝑇)𝑦))
7 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑒 → (𝑥(.r𝑆)𝑦) = (𝑒(.r𝑆)𝑦))
8 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑒 → (𝑥(.r𝑇)𝑦) = (𝑒(.r𝑇)𝑦))
97, 8eqeq12d 2747 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑒 → ((𝑥(.r𝑆)𝑦) = (𝑥(.r𝑇)𝑦) ↔ (𝑒(.r𝑆)𝑦) = (𝑒(.r𝑇)𝑦)))
10 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑝 → (𝑒(.r𝑆)𝑦) = (𝑒(.r𝑆)𝑝))
11 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑝 → (𝑒(.r𝑇)𝑦) = (𝑒(.r𝑇)𝑝))
1210, 11eqeq12d 2747 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑝 → ((𝑒(.r𝑆)𝑦) = (𝑒(.r𝑇)𝑦) ↔ (𝑒(.r𝑆)𝑝) = (𝑒(.r𝑇)𝑝)))
13 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → 𝑒𝐵)
14 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑝𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → 𝐵 = 𝐵)
15 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → 𝑝𝐵)
169, 12, 13, 14, 15rspc2vd 3944 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(.r𝑆)𝑦) = (𝑥(.r𝑇)𝑦) → (𝑒(.r𝑆)𝑝) = (𝑒(.r𝑇)𝑝)))
176, 16mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (𝑒(.r𝑆)𝑝) = (𝑒(.r𝑇)𝑝))
1817eqeq1d 2733 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → ((𝑒(.r𝑆)𝑝) = 𝑝 ↔ (𝑒(.r𝑇)𝑝) = 𝑝))
19 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑝 → (𝑥(.r𝑆)𝑦) = (𝑝(.r𝑆)𝑦))
20 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑝 → (𝑥(.r𝑇)𝑦) = (𝑝(.r𝑇)𝑦))
2119, 20eqeq12d 2747 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑝 → ((𝑥(.r𝑆)𝑦) = (𝑥(.r𝑇)𝑦) ↔ (𝑝(.r𝑆)𝑦) = (𝑝(.r𝑇)𝑦)))
22 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑒 → (𝑝(.r𝑆)𝑦) = (𝑝(.r𝑆)𝑒))
23 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑒 → (𝑝(.r𝑇)𝑦) = (𝑝(.r𝑇)𝑒))
2422, 23eqeq12d 2747 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑒 → ((𝑝(.r𝑆)𝑦) = (𝑝(.r𝑇)𝑦) ↔ (𝑝(.r𝑆)𝑒) = (𝑝(.r𝑇)𝑒)))
25 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑝𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑝) → 𝐵 = 𝐵)
2621, 24, 15, 25, 13rspc2vd 3944 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(.r𝑆)𝑦) = (𝑥(.r𝑇)𝑦) → (𝑝(.r𝑆)𝑒) = (𝑝(.r𝑇)𝑒)))
276, 26mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (𝑝(.r𝑆)𝑒) = (𝑝(.r𝑇)𝑒))
2827eqeq1d 2733 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → ((𝑝(.r𝑆)𝑒) = 𝑝 ↔ (𝑝(.r𝑇)𝑒) = 𝑝))
2918, 28anbi12d 630 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (((𝑒(.r𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r𝑆)𝑒) = 𝑝) ↔ ((𝑒(.r𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r𝑇)𝑒) = 𝑝)))
302, 29raleqbidva 3326 . . . . . 6 ((𝜑𝑒𝐵) → (∀𝑝𝐵 ((𝑒(.r𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r𝑆)𝑒) = 𝑝) ↔ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r𝑇)𝑒) = 𝑝)))
3130pm5.32da 578 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑒𝐵 ∧ ∀𝑝𝐵 ((𝑒(.r𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r𝑆)𝑒) = 𝑝)) ↔ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r𝑇)𝑒) = 𝑝))))
321eleq2d 2818 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑒𝐵𝑒 ∈ (Base‘𝑇)))
3332anbi1d 629 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑒𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r𝑇)𝑒) = 𝑝)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝑇) ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r𝑇)𝑒) = 𝑝))))
3431, 33bitrd 279 . . . 4 (𝜑 → ((𝑒𝐵 ∧ ∀𝑝𝐵 ((𝑒(.r𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r𝑆)𝑒) = 𝑝)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝑇) ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r𝑇)𝑒) = 𝑝))))
3534iotabidv 6527 . . 3 (𝜑 → (℩𝑒(𝑒𝐵 ∧ ∀𝑝𝐵 ((𝑒(.r𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r𝑆)𝑒) = 𝑝))) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑇) ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r𝑇)𝑒) = 𝑝))))
36 eqid 2731 . . . . 5 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
37 urpropd.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
3836, 37mgpbas 20035 . . . 4 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
39 eqid 2731 . . . . 5 (.r𝑆) = (.r𝑆)
4036, 39mgpplusg 20033 . . . 4 (.r𝑆) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
41 eqid 2731 . . . 4 (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
4238, 40, 41grpidval 18587 . . 3 (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (℩𝑒(𝑒𝐵 ∧ ∀𝑝𝐵 ((𝑒(.r𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r𝑆)𝑒) = 𝑝)))
43 eqid 2731 . . . . 5 (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
44 eqid 2731 . . . . 5 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
4543, 44mgpbas 20035 . . . 4 (Base‘𝑇) = (Base‘(mulGrp‘𝑇))
46 eqid 2731 . . . . 5 (.r𝑇) = (.r𝑇)
4743, 46mgpplusg 20033 . . . 4 (.r𝑇) = (+g‘(mulGrp‘𝑇))
48 eqid 2731 . . . 4 (0g‘(mulGrp‘𝑇)) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
4945, 47, 48grpidval 18587 . . 3 (0g‘(mulGrp‘𝑇)) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑇) ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r𝑇)𝑒) = 𝑝)))
5035, 42, 493eqtr4g 2796 . 2 (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑇)))
51 eqid 2731 . . 3 (1r𝑆) = (1r𝑆)
5236, 51ringidval 20078 . 2 (1r𝑆) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
53 eqid 2731 . . 3 (1r𝑇) = (1r𝑇)
5443, 53ringidval 20078 . 2 (1r𝑇) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
5550, 52, 543eqtr4g 2796 1 (𝜑 → (1r𝑆) = (1r𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  cio 6493  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  .rcmulr 17203  0gc0g 17390  mulGrpcmgp 20029  1rcur 20076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgp 20030  df-ur 20077
This theorem is referenced by:  opprqus1r  32881
  Copyright terms: Public domain W3C validator