Theorem urpropd 32309

Description: Sufficient condition for ring unities to be equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
urpropd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
urpropd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
urpropd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
urpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑇))
urpropd.2	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
urpropd	⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem urpropd

Dummy variables 𝑒 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		urpropd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑇))
2	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑇))
3		urpropd.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
4	3	anasss 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
5	4	ralrimivva 3200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
6	5	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
7		oveq1 7401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑒 → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑆)𝑦))
8		oveq1 7401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑒 → (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑦))
9	7, 8	eqeq12d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑒 → ((𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) ↔ (𝑒(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑦)))
10		oveq2 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑝 → (𝑒(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑆)𝑝))
11		oveq2 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑝 → (𝑒(.r‘𝑇)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑝))
12	10, 11	eqeq12d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑝 → ((𝑒(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑦) ↔ (𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑝)))
13		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑒 ∈ 𝐵)
14		eqidd 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → 𝐵 = 𝐵)
15		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
16	9, 12, 13, 14, 15	rspc2vd 3941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) → (𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑝)))
17	6, 16	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑝))
18	17	eqeq1d 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ↔ (𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝))
19		oveq1 7401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑆)𝑦))
20		oveq1 7401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑦))
21	19, 20	eqeq12d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → ((𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) ↔ (𝑝(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑦)))
22		oveq2 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑒 → (𝑝(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑆)𝑒))
23		oveq2 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑒 → (𝑝(.r‘𝑇)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑒))
24	22, 23	eqeq12d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑒 → ((𝑝(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑦) ↔ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑒)))
25		eqidd 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑝) → 𝐵 = 𝐵)
26	21, 24, 15, 25, 13	rspc2vd 3941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) → (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑒)))
27	6, 26	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑒))
28	27	eqeq1d 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝 ↔ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝))
29	18, 28	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝) ↔ ((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝)))
30	2, 29	raleqbidva 3327	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐵 ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝) ↔ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝)))
31	30	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝)) ↔ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝))))
32	1	eleq2d 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑒 ∈ 𝐵 ↔ 𝑒 ∈ (Base‘𝑇)))
33	32	anbi1d 630	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝑇) ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝))))
34	31, 33	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝑇) ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝))))
35	34	iotabidv 6517	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝))) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑇) ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝))))
36		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
37		urpropd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
38	36, 37	mgpbas 19954	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
39		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
40	36, 39	mgpplusg 19952	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
41		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
42	38, 40, 41	grpidval 18564	. . 3 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝)))
43		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
44		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
45	43, 44	mgpbas 19954	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘(mulGrp‘𝑇))
46		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑇) = (.r‘𝑇)
47	43, 46	mgpplusg 19952	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑇) = (+g‘(mulGrp‘𝑇))
48		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑇)) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
49	45, 47, 48	grpidval 18564	. . 3 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑇)) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑇) ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝)))
50	35, 42, 49	3eqtr4g 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑇)))
51		eqid 2732	. . 3 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
52	36, 51	ringidval 19967	. 2 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
53		eqid 2732	. . 3 ⊢ (1r‘𝑇) = (1r‘𝑇)
54	43, 53	ringidval 19967	. 2 ⊢ (1r‘𝑇) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
55	50, 52, 54	3eqtr4g 2797	1 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ℩cio 6483  ‘cfv 6533  (class class class)co 7394  Basecbs 17128  ._rcmulr 17182  0_gc0g 17369  mulGrpcmgp 19948  1_rcur 19965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-plusg 17194  df-0g 17371  df-mgp 19949  df-ur 19966

This theorem is referenced by:  opprqus1r  32516