Theorem urpropd 33311

Description: Sufficient condition for ring unities to be equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
urpropd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
urpropd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
urpropd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑊)
urpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑇))
urpropd.2	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
urpropd	⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem urpropd

Dummy variables 𝑒 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		urpropd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑇))
2	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑇))
3		urpropd.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
4	3	anasss 466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
5	4	ralrimivva 3181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
6	5	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦))
7		oveq1 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑒 → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑆)𝑦))
8		oveq1 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑒 → (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑦))
9	7, 8	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑒 → ((𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) ↔ (𝑒(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑦)))
10		oveq2 7370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑝 → (𝑒(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑆)𝑝))
11		oveq2 7370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑝 → (𝑒(.r‘𝑇)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑝))
12	10, 11	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑝 → ((𝑒(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑦) ↔ (𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑝)))
13		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑒 ∈ 𝐵)
14		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → 𝐵 = 𝐵)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
16	9, 12, 13, 14, 15	rspc2vd 3886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) → (𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑝)))
17	6, 16	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = (𝑒(.r‘𝑇)𝑝))
18	17	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ↔ (𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝))
19		oveq1 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑆)𝑦))
20		oveq1 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑦))
21	19, 20	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → ((𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) ↔ (𝑝(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑦)))
22		oveq2 7370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑒 → (𝑝(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑆)𝑒))
23		oveq2 7370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑒 → (𝑝(.r‘𝑇)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑒))
24	22, 23	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑒 → ((𝑝(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑦) ↔ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑒)))
25		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑝) → 𝐵 = 𝐵)
26	21, 24, 15, 25, 13	rspc2vd 3886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑇)𝑦) → (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑒)))
27	6, 26	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = (𝑝(.r‘𝑇)𝑒))
28	27	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝 ↔ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝))
29	18, 28	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝) ↔ ((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝)))
30	2, 29	raleqbidva 3302	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (∀𝑝 ∈ 𝐵 ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝) ↔ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝)))
31	30	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝)) ↔ (𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝))))
32	1	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑒 ∈ 𝐵 ↔ 𝑒 ∈ (Base‘𝑇)))
33	32	anbi1d 632	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝑇) ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝))))
34	31, 33	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝑇) ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝))))
35	34	iotabidv 6478	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝))) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑇) ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝))))
36		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
37		urpropd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
38	36, 37	mgpbas 20121	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
39		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
40	36, 39	mgpplusg 20120	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
41		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
42	38, 40, 41	grpidval 18624	. . 3 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑝 ∈ 𝐵 ((𝑒(.r‘𝑆)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑆)𝑒) = 𝑝)))
43		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑇) = (mulGrp‘𝑇)
44		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
45	43, 44	mgpbas 20121	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘(mulGrp‘𝑇))
46		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑇) = (.r‘𝑇)
47	43, 46	mgpplusg 20120	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑇) = (+g‘(mulGrp‘𝑇))
48		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑇)) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
49	45, 47, 48	grpidval 18624	. . 3 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑇)) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑇) ∧ ∀𝑝 ∈ (Base‘𝑇)((𝑒(.r‘𝑇)𝑝) = 𝑝 ∧ (𝑝(.r‘𝑇)𝑒) = 𝑝)))
50	35, 42, 49	3eqtr4g 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑇)))
51		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
52	36, 51	ringidval 20159	. 2 ⊢ (1r‘𝑆) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
53		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1r‘𝑇) = (1r‘𝑇)
54	43, 53	ringidval 20159	. 2 ⊢ (1r‘𝑇) = (0g‘(mulGrp‘𝑇))
55	50, 52, 54	3eqtr4g 2797	1 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ℩cio 6448  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  ._rcmulr 17216  0_gc0g 17397  mulGrpcmgp 20116  1_rcur 20157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgp 20117  df-ur 20158

This theorem is referenced by:  opprqus1r  33571