Theorem usgrexmpldifpr 28515

Description: Lemma for usgrexmpledg 28519: all "edges" are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpldifpr	⊢ (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))

Proof of Theorem usgrexmpldifpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12569	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		1z 12592	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
3	1, 2	pm3.2i 472	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)
4		2z 12594	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
5	2, 4	pm3.2i 472	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
6	3, 5	pm3.2i 472	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
7		ax-1ne0 11179	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
8	7	necomi 2996	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
9		2ne0 12316	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
10	9	necomi 2996	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 2
11	8, 10	pm3.2i 472	. . . . 5 ⊢ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2)
12	11	orci 864	. . . 4 ⊢ ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 2))
13		prneimg 4856	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)) → (((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 2)) → {0, 1} ≠ {1, 2}))
14	6, 12, 13	mp2 9	. . 3 ⊢ {0, 1} ≠ {1, 2}
15	4, 1	pm3.2i 472	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)
16	3, 15	pm3.2i 472	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ))
17		1ne2 12420	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
18	17, 7	pm3.2i 472	. . . . 5 ⊢ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0)
19	18	olci 865	. . . 4 ⊢ ((0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 0) ∨ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0))
20		prneimg 4856	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → (((0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 0) ∨ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0)) → {0, 1} ≠ {2, 0}))
21	16, 19, 20	mp2 9	. . 3 ⊢ {0, 1} ≠ {2, 0}
22		3nn 12291	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
23	1, 22	pm3.2i 472	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)
24	3, 23	pm3.2i 472	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ))
25		1re 11214	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		1lt3 12385	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
27	25, 26	ltneii 11327	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 3
28	7, 27	pm3.2i 472	. . . . 5 ⊢ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)
29	28	olci 865	. . . 4 ⊢ ((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3))
30		prneimg 4856	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)) → (((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)) → {0, 1} ≠ {0, 3}))
31	24, 29, 30	mp2 9	. . 3 ⊢ {0, 1} ≠ {0, 3}
32	14, 21, 31	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ ({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3})
33	5, 15	pm3.2i 472	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ))
34	18	orci 864	. . . 4 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0) ∨ (2 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 0))
35		prneimg 4856	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → (((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0) ∨ (2 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 0)) → {1, 2} ≠ {2, 0}))
36	33, 34, 35	mp2 9	. . 3 ⊢ {1, 2} ≠ {2, 0}
37	5, 23	pm3.2i 472	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ))
38	28	orci 864	. . . 4 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3))
39		prneimg 4856	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)) → (((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)) → {1, 2} ≠ {0, 3}))
40	37, 38, 39	mp2 9	. . 3 ⊢ {1, 2} ≠ {0, 3}
41	15, 23	pm3.2i 472	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ))
42		2re 12286	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
43		2lt3 12384	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 3
44	42, 43	ltneii 11327	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 3
45	9, 44	pm3.2i 472	. . . . 5 ⊢ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)
46	45	orci 864	. . . 4 ⊢ ((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3))
47		prneimg 4856	. . . 4 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)) → (((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3)) → {2, 0} ≠ {0, 3}))
48	41, 46, 47	mp2 9	. . 3 ⊢ {2, 0} ≠ {0, 3}
49	36, 40, 48	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3})
50	32, 49	pm3.2i 472	1 ⊢ (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))

Syntax hints:   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  {cpr 4631  0cc0 11110  1c1 11111  ℕcn 12212  2c2 12267  3c3 12268  ℤcz 12558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-z 12559

This theorem is referenced by:  usgrexmplef  28516  usgrexmpledg  28519