MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrexmpldifpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrexmpldifpr 29290
Description: Lemma for usgrexmpledg 29294: all "edges" are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgrexmpldifpr (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))

Proof of Theorem usgrexmpldifpr
StepHypRef Expression
1 0z 12622 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
2 1z 12645 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
31, 2pm3.2i 470 . . . . 5 (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)
4 2z 12647 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
52, 4pm3.2i 470 . . . . 5 (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
63, 5pm3.2i 470 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
7 ax-1ne0 11222 . . . . . . 7 1 ≠ 0
87necomi 2993 . . . . . 6 0 ≠ 1
9 2ne0 12368 . . . . . . 7 2 ≠ 0
109necomi 2993 . . . . . 6 0 ≠ 2
118, 10pm3.2i 470 . . . . 5 (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2)
1211orci 865 . . . 4 ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 2))
13 prneimg 4859 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)) → (((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 2)) → {0, 1} ≠ {1, 2}))
146, 12, 13mp2 9 . . 3 {0, 1} ≠ {1, 2}
154, 1pm3.2i 470 . . . . 5 (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)
163, 15pm3.2i 470 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ))
17 1ne2 12472 . . . . . 6 1 ≠ 2
1817, 7pm3.2i 470 . . . . 5 (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0)
1918olci 866 . . . 4 ((0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 0) ∨ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0))
20 prneimg 4859 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → (((0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 0) ∨ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0)) → {0, 1} ≠ {2, 0}))
2116, 19, 20mp2 9 . . 3 {0, 1} ≠ {2, 0}
22 3nn 12343 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
231, 22pm3.2i 470 . . . . 5 (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)
243, 23pm3.2i 470 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ))
25 1re 11259 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
26 1lt3 12437 . . . . . . 7 1 < 3
2725, 26ltneii 11372 . . . . . 6 1 ≠ 3
287, 27pm3.2i 470 . . . . 5 (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)
2928olci 866 . . . 4 ((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3))
30 prneimg 4859 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)) → (((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)) → {0, 1} ≠ {0, 3}))
3124, 29, 30mp2 9 . . 3 {0, 1} ≠ {0, 3}
3214, 21, 313pm3.2i 1338 . 2 ({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3})
335, 15pm3.2i 470 . . . 4 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ))
3418orci 865 . . . 4 ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0) ∨ (2 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 0))
35 prneimg 4859 . . . 4 (((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → (((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0) ∨ (2 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 0)) → {1, 2} ≠ {2, 0}))
3633, 34, 35mp2 9 . . 3 {1, 2} ≠ {2, 0}
375, 23pm3.2i 470 . . . 4 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ))
3828orci 865 . . . 4 ((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3))
39 prneimg 4859 . . . 4 (((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)) → (((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)) → {1, 2} ≠ {0, 3}))
4037, 38, 39mp2 9 . . 3 {1, 2} ≠ {0, 3}
4115, 23pm3.2i 470 . . . 4 ((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ))
42 2re 12338 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
43 2lt3 12436 . . . . . . 7 2 < 3
4442, 43ltneii 11372 . . . . . 6 2 ≠ 3
459, 44pm3.2i 470 . . . . 5 (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)
4645orci 865 . . . 4 ((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3))
47 prneimg 4859 . . . 4 (((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)) → (((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3)) → {2, 0} ≠ {0, 3}))
4841, 46, 47mp2 9 . . 3 {2, 0} ≠ {0, 3}
4936, 40, 483pm3.2i 1338 . 2 ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3})
5032, 49pm3.2i 470 1 (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  wo 847  w3a 1086  wcel 2106  wne 2938  {cpr 4633  0cc0 11153  1c1 11154  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  cz 12611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-z 12612
This theorem is referenced by:  usgrexmplef  29291  usgrexmpledg  29294
  Copyright terms: Public domain W3C validator