Theorem usgrexmpldifpr 27625

Description: Lemma for usgrexmpledg 27629: all "edges" are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpldifpr	⊢ (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))

Proof of Theorem usgrexmpldifpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12330	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		1z 12350	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
3	1, 2	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)
4		2z 12352	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
5	2, 4	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
6	3, 5	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
7		ax-1ne0 10940	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
8	7	necomi 2998	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
9		2ne0 12077	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
10	9	necomi 2998	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 2
11	8, 10	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2)
12	11	orci 862	. . . 4 ⊢ ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 2))
13		prneimg 4785	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)) → (((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 2)) → {0, 1} ≠ {1, 2}))
14	6, 12, 13	mp2 9	. . 3 ⊢ {0, 1} ≠ {1, 2}
15	4, 1	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)
16	3, 15	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ))
17		1ne2 12181	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
18	17, 7	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0)
19	18	olci 863	. . . 4 ⊢ ((0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 0) ∨ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0))
20		prneimg 4785	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → (((0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 0) ∨ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0)) → {0, 1} ≠ {2, 0}))
21	16, 19, 20	mp2 9	. . 3 ⊢ {0, 1} ≠ {2, 0}
22		3nn 12052	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
23	1, 22	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)
24	3, 23	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ))
25		1re 10975	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		1lt3 12146	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
27	25, 26	ltneii 11088	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 3
28	7, 27	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)
29	28	olci 863	. . . 4 ⊢ ((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3))
30		prneimg 4785	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)) → (((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)) → {0, 1} ≠ {0, 3}))
31	24, 29, 30	mp2 9	. . 3 ⊢ {0, 1} ≠ {0, 3}
32	14, 21, 31	3pm3.2i 1338	. 2 ⊢ ({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3})
33	5, 15	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ))
34	18	orci 862	. . . 4 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0) ∨ (2 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 0))
35		prneimg 4785	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → (((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 0) ∨ (2 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 0)) → {1, 2} ≠ {2, 0}))
36	33, 34, 35	mp2 9	. . 3 ⊢ {1, 2} ≠ {2, 0}
37	5, 23	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ))
38	28	orci 862	. . . 4 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3))
39		prneimg 4785	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)) → (((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)) → {1, 2} ≠ {0, 3}))
40	37, 38, 39	mp2 9	. . 3 ⊢ {1, 2} ≠ {0, 3}
41	15, 23	pm3.2i 471	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ))
42		2re 12047	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
43		2lt3 12145	. . . . . . 7 ⊢ 2 < 3
44	42, 43	ltneii 11088	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 3
45	9, 44	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)
46	45	orci 862	. . . 4 ⊢ ((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3))
47		prneimg 4785	. . . 4 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ)) → (((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3)) → {2, 0} ≠ {0, 3}))
48	41, 46, 47	mp2 9	. . 3 ⊢ {2, 0} ≠ {0, 3}
49	36, 40, 48	3pm3.2i 1338	. 2 ⊢ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3})
50	32, 49	pm3.2i 471	1 ⊢ (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {cpr 4563  0cc0 10871  1c1 10872  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  ℤcz 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-z 12320

This theorem is referenced by:  usgrexmplef  27626  usgrexmpledg  27629