Theorem usgrexmpledg 26762

Description: The edges {0, 1}, {1, 2}, {2, 0}, {0, 3} of the graph 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩. (Contributed by AV, 12-Jan-2020.) (Revised by AV, 21-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl.v	⊢ 𝑉 = (0...4)
usgrexmpl.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩
usgrexmpl.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpledg	⊢ (Edg‘𝐺) = ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})

Proof of Theorem usgrexmpledg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgval 26552	. 2 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
2		usgrexmpl.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...4)
3		usgrexmpl.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩
4		usgrexmpl.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
5	2, 3, 4	usgrexmpllem 26760	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝐺) = 𝐸)
6	5	simpri 478	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐸
7	6	rneqi 5655	. 2 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐸
8		prex 5193	. . . . . . 7 ⊢ {0, 1} ∈ V
9		prex 5193	. . . . . . 7 ⊢ {1, 2} ∈ V
10	8, 9	pm3.2i 463	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V)
11		prex 5193	. . . . . . 7 ⊢ {2, 0} ∈ V
12		prex 5193	. . . . . . 7 ⊢ {0, 3} ∈ V
13	11, 12	pm3.2i 463	. . . . . 6 ⊢ ({2, 0} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V)
14	10, 13	pm3.2i 463	. . . . 5 ⊢ (({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ ({2, 0} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V))
15		usgrexmpldifpr 26758	. . . . 5 ⊢ (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))
16	14, 15	pm3.2i 463	. . . 4 ⊢ ((({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ ({2, 0} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V)) ∧ (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3})))
17	16, 3	pm3.2i 463	. . 3 ⊢ (((({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ ({2, 0} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V)) ∧ (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))) ∧ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩)
18		s4f1o 14148	. . . 4 ⊢ ((({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ ({2, 0} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V)) → ((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3})) → (𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩ → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))))
19	18	imp31 410	. . 3 ⊢ ((((({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ ({2, 0} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V)) ∧ (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))) ∧ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩) → 𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))
20		dff1o5 6458	. . . 4 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ↔ (𝐸:dom 𝐸–1-1→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ∧ ran 𝐸 = ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})))
21	20	simprbi 489	. . 3 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → ran 𝐸 = ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))
22	17, 19, 21	mp2b 10	. 2 ⊢ ran 𝐸 = ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})
23	1, 7, 22	3eqtri 2808	1 ⊢ (Edg‘𝐺) = ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})

Syntax hints:   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2969  Vcvv 3417   ∪ cun 3829  {cpr 4446  ⟨cop 4450  dom cdm 5411  ran crn 5412  –1-1→wf1 6190  –1-1-onto→wf1o 6192  ‘cfv 6193  (class class class)co 6982  0cc0 10341  1c1 10342  2c2 11501  3c3 11502  4c4 11503  ...cfz 12714  ⟨“cs4 14073  Vtxcvtx 26499  iEdgciedg 26500  Edgcedg 26550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-int 4755  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-1o 7911  df-oadd 7915  df-er 8095  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-fin 8316  df-card 9168  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-nn 11446  df-2 11509  df-3 11510  df-n0 11714  df-z 11800  df-uz 12065  df-fz 12715  df-fzo 12856  df-hash 13512  df-word 13679  df-concat 13740  df-s1 13765  df-s2 14078  df-s3 14079  df-s4 14080  df-vtx 26501  df-iedg 26502  df-edg 26551

This theorem is referenced by: (None)