Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrexmpledg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrexmpledg 27096
 Description: The edges {0, 1}, {1, 2}, {2, 0}, {0, 3} of the graph 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩. (Contributed by AV, 12-Jan-2020.) (Revised by AV, 21-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
usgrexmpl.v 𝑉 = (0...4)
usgrexmpl.e 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩
usgrexmpl.g 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
Assertion
Ref Expression
usgrexmpledg (Edg‘𝐺) = ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})

Proof of Theorem usgrexmpledg
StepHypRef Expression
1 edgval 26886 . 2 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
2 usgrexmpl.v . . . . 5 𝑉 = (0...4)
3 usgrexmpl.e . . . . 5 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩
4 usgrexmpl.g . . . . 5 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
52, 3, 4usgrexmpllem 27094 . . . 4 ((Vtx‘𝐺) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝐺) = 𝐸)
65simpri 489 . . 3 (iEdg‘𝐺) = 𝐸
76rneqi 5777 . 2 ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐸
8 prex 5302 . . . . . . 7 {0, 1} ∈ V
9 prex 5302 . . . . . . 7 {1, 2} ∈ V
108, 9pm3.2i 474 . . . . . 6 ({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V)
11 prex 5302 . . . . . . 7 {2, 0} ∈ V
12 prex 5302 . . . . . . 7 {0, 3} ∈ V
1311, 12pm3.2i 474 . . . . . 6 ({2, 0} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V)
1410, 13pm3.2i 474 . . . . 5 (({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ ({2, 0} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V))
15 usgrexmpldifpr 27092 . . . . 5 (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))
1614, 15pm3.2i 474 . . . 4 ((({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ ({2, 0} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V)) ∧ (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3})))
1716, 3pm3.2i 474 . . 3 (((({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ ({2, 0} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V)) ∧ (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))) ∧ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩)
18 s4f1o 14291 . . . 4 ((({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ ({2, 0} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V)) → ((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3})) → (𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩ → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))))
1918imp31 421 . . 3 ((((({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) ∧ ({2, 0} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V)) ∧ (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 0} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3}) ∧ ({1, 2} ≠ {2, 0} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {2, 0} ≠ {0, 3}))) ∧ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 0} {0, 3}”⟩) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))
20 dff1o5 6608 . . . 4 (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ↔ (𝐸:dom 𝐸1-1→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) ∧ ran 𝐸 = ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})))
2120simprbi 500 . . 3 (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}) → ran 𝐸 = ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}}))
2217, 19, 21mp2b 10 . 2 ran 𝐸 = ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})
231, 7, 223eqtri 2825 1 (Edg‘𝐺) = ({{0, 1}, {1, 2}} ∪ {{2, 0}, {0, 3}})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3442   ∪ cun 3881  {cpr 4530  ⟨cop 4534  dom cdm 5523  ran crn 5524  –1-1→wf1 6329  –1-1-onto→wf1o 6331  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  0cc0 10544  1c1 10545  2c2 11698  3c3 11699  4c4 11700  ...cfz 12905  ⟨“cs4 14216  Vtxcvtx 26833  iEdgciedg 26834  Edgcedg 26884 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-hash 13707  df-word 13878  df-concat 13934  df-s1 13961  df-s2 14221  df-s3 14222  df-s4 14223  df-vtx 26835  df-iedg 26836  df-edg 26885 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator