MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrnloopvALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrnloopvALT 29219
Description: Alternate proof of usgrnloopv 29218, not using umgrnloopv 29124. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.) (Revised by AV, 17-Oct-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
usgrnloopv.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
usgrnloopvALT ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑊) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀𝑁))

Proof of Theorem usgrnloopvALT
StepHypRef Expression
1 prnzg 4777 . . . . . . . 8 (𝑀𝑊 → {𝑀, 𝑁} ≠ ∅)
21adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → {𝑀, 𝑁} ≠ ∅)
3 neeq1 3002 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((𝐸𝑋) ≠ ∅ ↔ {𝑀, 𝑁} ≠ ∅))
43adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → ((𝐸𝑋) ≠ ∅ ↔ {𝑀, 𝑁} ≠ ∅))
52, 4mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝐸𝑋) ≠ ∅)
6 fvfundmfvn0 6948 . . . . . 6 ((𝐸𝑋) ≠ ∅ → (𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})))
75, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})))
8 usgrnloopv.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
98usgredg2 29210 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (♯‘(𝐸𝑋)) = 2)
10 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (♯‘(𝐸𝑋)) = (♯‘{𝑀, 𝑁}))
1110eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((♯‘(𝐸𝑋)) = 2 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
12 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}
1312hashprdifel 14438 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑁))
1413simp3d 1144 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → 𝑀𝑁)
1511, 14biimtrdi 253 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((♯‘(𝐸𝑋)) = 2 → 𝑀𝑁))
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → ((♯‘(𝐸𝑋)) = 2 → 𝑀𝑁))
179, 16syl5com 31 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → 𝑀𝑁))
1817expcom 413 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ dom 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → 𝑀𝑁)))
1918com23 86 . . . . . 6 (𝑋 ∈ dom 𝐸 → (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑀𝑁)))
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})) → (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑀𝑁)))
217, 20mpcom 38 . . . 4 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑀𝑁))
2221ex 412 . . 3 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑊 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑀𝑁)))
2322com13 88 . 2 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑀𝑊 → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀𝑁)))
2423imp 406 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑊) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  c0 4332  {csn 4625  {cpr 4627  dom cdm 5684  cres 5686  Fun wfun 6554  cfv 6560  2c2 12322  chash 14370  iEdgciedg 29015  USGraphcusgr 29167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-hash 14371  df-umgr 29101  df-usgr 29169
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator