MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrnloopvALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrnloopvALT 29001
Description: Alternate proof of usgrnloopv 29000, not using umgrnloopv 28906. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.) (Revised by AV, 17-Oct-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
usgrnloopv.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
usgrnloopvALT ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑊) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀𝑁))

Proof of Theorem usgrnloopvALT
StepHypRef Expression
1 prnzg 4778 . . . . . . . 8 (𝑀𝑊 → {𝑀, 𝑁} ≠ ∅)
21adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → {𝑀, 𝑁} ≠ ∅)
3 neeq1 2998 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((𝐸𝑋) ≠ ∅ ↔ {𝑀, 𝑁} ≠ ∅))
43adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → ((𝐸𝑋) ≠ ∅ ↔ {𝑀, 𝑁} ≠ ∅))
52, 4mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝐸𝑋) ≠ ∅)
6 fvfundmfvn0 6934 . . . . . 6 ((𝐸𝑋) ≠ ∅ → (𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})))
75, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})))
8 usgrnloopv.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
98usgredg2 28992 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (♯‘(𝐸𝑋)) = 2)
10 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (♯‘(𝐸𝑋)) = (♯‘{𝑀, 𝑁}))
1110eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((♯‘(𝐸𝑋)) = 2 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
12 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}
1312hashprdifel 14381 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑁))
1413simp3d 1142 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → 𝑀𝑁)
1511, 14biimtrdi 252 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((♯‘(𝐸𝑋)) = 2 → 𝑀𝑁))
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → ((♯‘(𝐸𝑋)) = 2 → 𝑀𝑁))
179, 16syl5com 31 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → 𝑀𝑁))
1817expcom 413 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ dom 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → 𝑀𝑁)))
1918com23 86 . . . . . 6 (𝑋 ∈ dom 𝐸 → (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑀𝑁)))
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})) → (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑀𝑁)))
217, 20mpcom 38 . . . 4 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑀𝑁))
2221ex 412 . . 3 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑊 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑀𝑁)))
2322com13 88 . 2 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑀𝑊 → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀𝑁)))
2423imp 406 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀𝑊) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  c0 4318  {csn 4624  {cpr 4626  dom cdm 5672  cres 5674  Fun wfun 6536  cfv 6542  2c2 12289  chash 14313  iEdgciedg 28797  USGraphcusgr 28949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-hash 14314  df-umgr 28883  df-usgr 28951
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator