Theorem usgrnloopvALT 29788

Description: Alternate proof of usgrnloopv 29787, not using umgrnloopv 29690. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.) (Revised by AV, 17-Oct-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgrnloopvALT	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁))

Proof of Theorem usgrnloopvALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnzg 4735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑊 → {𝑀, 𝑁} ≠ ∅)
2	1	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → {𝑀, 𝑁} ≠ ∅)
3		neeq1 3017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((𝐸‘𝑋) ≠ ∅ ↔ {𝑀, 𝑁} ≠ ∅))
4	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → ((𝐸‘𝑋) ≠ ∅ ↔ {𝑀, 𝑁} ≠ ∅))
5	2, 4	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝐸‘𝑋) ≠ ∅)
6		fvfundmfvn0 6926	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘𝑋) ≠ ∅ → (𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})))
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})))
8		usgrnloopv.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
9	8	usgredg2 29779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2)
10		fveq2 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (♯‘(𝐸‘𝑋)) = (♯‘{𝑀, 𝑁}))
11	10	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
12		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}
13	12	hashprdifel 14546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 𝑁))
14	13	simp3d 1162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → 𝑀 ≠ 𝑁)
15	11, 14	biimtrdi 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2 → 𝑀 ≠ 𝑁))
16	15	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → ((♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2 → 𝑀 ≠ 𝑁))
17	9, 16	syl5com 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → 𝑀 ≠ 𝑁))
18	17	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → 𝑀 ≠ 𝑁)))
19	18	com23 87	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐸 → (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑀 ≠ 𝑁)))
20	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})) → (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑀 ≠ 𝑁)))
21	7, 20	mpcom 39	. . . 4 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑀 ≠ 𝑁))
22	21	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑀 ≠ 𝑁)))
23	22	com13 89	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑀 ∈ 𝑊 → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁)))
24	23	imp 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278  {csn 4584  {cpr 4586  dom cdm 5650   ↾ cres 5652  Fun wfun 6533  ‘cfv 6539  2c2 12401  ♯chash 14478  iEdgciedg 29581  USGraphcusgr 29736

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-hash 14479  df-umgr 29667  df-usgr 29738

This theorem is used by: (None)