Theorem usgrnloopvALT 29358

Description: Alternate proof of usgrnloopv 29357, not using umgrnloopv 29263. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.) (Revised by AV, 17-Oct-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgrnloopvALT	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁))

Proof of Theorem usgrnloopvALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnzg 4734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑊 → {𝑀, 𝑁} ≠ ∅)
2	1	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → {𝑀, 𝑁} ≠ ∅)
3		neeq1 3018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((𝐸‘𝑋) ≠ ∅ ↔ {𝑀, 𝑁} ≠ ∅))
4	3	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → ((𝐸‘𝑋) ≠ ∅ ↔ {𝑀, 𝑁} ≠ ∅))
5	2, 4	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝐸‘𝑋) ≠ ∅)
6		fvfundmfvn0 6901	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘𝑋) ≠ ∅ → (𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})))
8		usgrnloopv.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
9	8	usgredg2 29349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2)
10		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (♯‘(𝐸‘𝑋)) = (♯‘{𝑀, 𝑁}))
11	10	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
12		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}
13	12	hashprdifel 14404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 𝑁))
14	13	simp3d 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → 𝑀 ≠ 𝑁)
15	11, 14	biimtrdi 255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2 → 𝑀 ≠ 𝑁))
16	15	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → ((♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2 → 𝑀 ≠ 𝑁))
17	9, 16	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → 𝑀 ≠ 𝑁))
18	17	expcom 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → 𝑀 ≠ 𝑁)))
19	18	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐸 → (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑀 ≠ 𝑁)))
20	19	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})) → (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑀 ≠ 𝑁)))
21	7, 20	mpcom 38	. . . 4 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑀 ≠ 𝑁))
22	21	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑀 ≠ 𝑁)))
23	22	com13 88	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑀 ∈ 𝑊 → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁)))
24	23	imp 410	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∅c0 4283  {csn 4579  {cpr 4581  dom cdm 5643   ↾ cres 5645  Fun wfun 6509  ‘cfv 6515  2c2 12265  ♯chash 14336  iEdgciedg 29154  USGraphcusgr 29306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-oadd 8434  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-dju 9852  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-hash 14337  df-umgr 29240  df-usgr 29308

This theorem is referenced by: (None)