Theorem vtxduhgrfiun 29418

Description: The degree of a vertex in the union of two hypergraphs of finite size on the same vertex set is the sum of the degrees of the vertex in each hypergraph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 21-Jan-2018.) (Revised by AV, 7-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 19-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxduhgrun.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxduhgrun.j	⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
vtxduhgrun.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxduhgrun.vh	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
vtxduhgrun.vu	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
vtxduhgrun.d	⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom 𝐽) = ∅)
vtxduhgrun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
vtxduhgrun.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UHGraph)
vtxduhgrun.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
vtxduhgrun.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐼 ∪ 𝐽))
vtxduhgrfiun.a	⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
vtxduhgrfiun.b	⊢ (𝜑 → dom 𝐽 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
vtxduhgrfiun	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑈)‘𝑁) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) + ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑁)))

Proof of Theorem vtxduhgrfiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxduhgrun.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		vtxduhgrun.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3		vtxduhgrun.vg	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		vtxduhgrun.vh	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
5		vtxduhgrun.vu	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
6		vtxduhgrun.d	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom 𝐽) = ∅)
7		vtxduhgrun.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
8	1	uhgrfun 28999	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
10		vtxduhgrun.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UHGraph)
11	2	uhgrfun 28999	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ UHGraph → Fun 𝐽)
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐽)
13		vtxduhgrun.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
14		vtxduhgrun.u	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐼 ∪ 𝐽))
15		vtxduhgrfiun.a	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
16		vtxduhgrfiun.b	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐽 ∈ Fin)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 13, 14, 15, 16	vtxdfiun 29416	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑈)‘𝑁) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) + ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3914   ∩ cin 3915  ∅c0 4298  dom cdm 5640  Fun wfun 6507  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Fincfn 8920   + caddc 11077  Vtxcvtx 28929  iEdgciedg 28930  UHGraphcuhgr 28989  VtxDegcvtxdg 29399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-oadd 8440  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-uz 12800  df-xadd 13079  df-hash 14302  df-uhgr 28991  df-vtxdg 29400

This theorem is referenced by: (None)