Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxduhgrfiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxduhgrfiun 26789
 Description: The degree of a vertex in the union of two hypergraphs of finite size on the same vertex set is the sum of the degrees of the vertex in each hypergraph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 21-Jan-2018.) (Revised by AV, 7-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 19-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxduhgrun.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxduhgrun.j 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
vtxduhgrun.vg 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxduhgrun.vh (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
vtxduhgrun.vu (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
vtxduhgrun.d (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom 𝐽) = ∅)
vtxduhgrun.g (𝜑𝐺 ∈ UHGraph)
vtxduhgrun.h (𝜑𝐻 ∈ UHGraph)
vtxduhgrun.n (𝜑𝑁𝑉)
vtxduhgrun.u (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐼𝐽))
vtxduhgrfiun.a (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
vtxduhgrfiun.b (𝜑 → dom 𝐽 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
vtxduhgrfiun (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑈)‘𝑁) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) + ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑁)))

Proof of Theorem vtxduhgrfiun
StepHypRef Expression
1 vtxduhgrun.i . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2 vtxduhgrun.j . 2 𝐽 = (iEdg‘𝐻)
3 vtxduhgrun.vg . 2 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4 vtxduhgrun.vh . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
5 vtxduhgrun.vu . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
6 vtxduhgrun.d . 2 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom 𝐽) = ∅)
7 vtxduhgrun.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ UHGraph)
81uhgrfun 26371 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑 → Fun 𝐼)
10 vtxduhgrun.h . . 3 (𝜑𝐻 ∈ UHGraph)
112uhgrfun 26371 . . 3 (𝐻 ∈ UHGraph → Fun 𝐽)
1210, 11syl 17 . 2 (𝜑 → Fun 𝐽)
13 vtxduhgrun.n . 2 (𝜑𝑁𝑉)
14 vtxduhgrun.u . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐼𝐽))
15 vtxduhgrfiun.a . 2 (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
16 vtxduhgrfiun.b . 2 (𝜑 → dom 𝐽 ∈ Fin)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 13, 14, 15, 16vtxdfiun 26787 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑈)‘𝑁) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) + ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ∪ cun 3796   ∩ cin 3797  ∅c0 4146  dom cdm 5346  Fun wfun 6121  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Fincfn 8228   + caddc 10262  Vtxcvtx 26301  iEdgciedg 26302  UHGraphcuhgr 26361  VtxDegcvtxdg 26770 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-xnn0 11698  df-z 11712  df-uz 11976  df-xadd 12240  df-hash 13418  df-uhgr 26363  df-vtxdg 26771 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator