MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkd 29719
Description: Two words representing a walk in a graph. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
wlkd.f (𝜑𝐹 ∈ Word V)
wlkd.l (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
wlkd.e (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
wlkd.n (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
wlkd.g (𝜑𝐺𝑊)
wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkd.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
wlkd (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼   𝜑,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem wlkd
StepHypRef Expression
1 wlkd.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
2 wlkd.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ Word V)
3 wlkd.l . . 3 (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
4 wlkd.e . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
51, 2, 3, 4wlkdlem3 29717 . 2 (𝜑𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
6 wlkd.a . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
71, 2, 3, 6wlkdlem1 29715 . 2 (𝜑𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
8 wlkd.n . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
91, 2, 3, 4, 8wlkdlem4 29718 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
10 wlkd.g . . 3 (𝜑𝐺𝑊)
11 wlkd.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12 wlkd.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
1311, 12iswlk 29643 . . 3 ((𝐺𝑊𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
1410, 2, 1, 13syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
155, 7, 9, 14mpbir3and 1341 1 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  if-wif 1062  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  Vcvv 3478  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  Walkscwlks 29629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-wlks 29632
This theorem is referenced by:  2wlkd  29966  3wlkd  30199
  Copyright terms: Public domain W3C validator