MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkd 28932
Description: Two words representing a walk in a graph. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkd.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Word V)
wlkd.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Word V)
wlkd.l (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) = ((β™―β€˜πΉ) + 1))
wlkd.e (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
wlkd.n (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
wlkd.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ π‘Š)
wlkd.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
wlkd.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
wlkd.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
wlkd (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   𝑃,π‘˜   π‘˜,𝐼   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝑉
Allowed substitution hint:   π‘Š(π‘˜)

Proof of Theorem wlkd
StepHypRef Expression
1 wlkd.p . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Word V)
2 wlkd.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Word V)
3 wlkd.l . . 3 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) = ((β™―β€˜πΉ) + 1))
4 wlkd.e . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
51, 2, 3, 4wlkdlem3 28930 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
6 wlkd.a . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ 𝑉)
71, 2, 3, 6wlkdlem1 28928 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰)
8 wlkd.n . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(π‘ƒβ€˜π‘˜) β‰  (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
91, 2, 3, 4, 8wlkdlem4 28931 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
10 wlkd.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ π‘Š)
11 wlkd.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
12 wlkd.i . . . 4 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
1311, 12iswlk 28856 . . 3 ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ 𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V) β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
1410, 2, 1, 13syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
155, 7, 9, 14mpbir3and 1342 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205  if-wif 1061   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  β™―chash 14286  Word cword 14460  Vtxcvtx 28245  iEdgciedg 28246  Walkscwlks 28842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-wlks 28845
This theorem is referenced by:  2wlkd  29179  3wlkd  29412
  Copyright terms: Public domain W3C validator