MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkd 28063
Description: Two words representing a walk in a graph. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
wlkd.f (𝜑𝐹 ∈ Word V)
wlkd.l (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
wlkd.e (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
wlkd.n (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
wlkd.g (𝜑𝐺𝑊)
wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkd.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
wlkd (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼   𝜑,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem wlkd
StepHypRef Expression
1 wlkd.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
2 wlkd.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ Word V)
3 wlkd.l . . 3 (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
4 wlkd.e . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
51, 2, 3, 4wlkdlem3 28061 . 2 (𝜑𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
6 wlkd.a . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
71, 2, 3, 6wlkdlem1 28059 . 2 (𝜑𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
8 wlkd.n . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
91, 2, 3, 4, 8wlkdlem4 28062 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
10 wlkd.g . . 3 (𝜑𝐺𝑊)
11 wlkd.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12 wlkd.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
1311, 12iswlk 27987 . . 3 ((𝐺𝑊𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
1410, 2, 1, 13syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))))
155, 7, 9, 14mpbir3and 1341 1 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  if-wif 1060  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3429  wss 3886  {csn 4561  {cpr 4563   class class class wbr 5073  dom cdm 5584  wf 6422  cfv 6426  (class class class)co 7267  0cc0 10881  1c1 10882   + caddc 10884  ...cfz 13249  ..^cfzo 13392  chash 14054  Word cword 14227  Vtxcvtx 27376  iEdgciedg 27377  Walkscwlks 27973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-hash 14055  df-word 14228  df-wlks 27976
This theorem is referenced by:  2wlkd  28309  3wlkd  28542
  Copyright terms: Public domain W3C validator