Theorem wlkd 30199

Description: Two words representing a walk in a graph. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
wlkd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word V)
wlkd.l	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
wlkd.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
wlkd.n	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
wlkd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkd.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
wlkd	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼   𝜑,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem wlkd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
2		wlkd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word V)
3		wlkd.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
4		wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
5	1, 2, 3, 4	wlkdlem3 30197	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
6		wlkd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)
7	1, 2, 3, 6	wlkdlem1 30195	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
8		wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
9	1, 2, 3, 4, 8	wlkdlem4 30198	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
10		wlkd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
11		wlkd.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12		wlkd.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
13	11, 12	iswlk 30125	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
14	10, 2, 1, 13	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
15	5, 7, 9, 14	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209  if-wif 1078   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3898  {csn 4583  {cpr 4585   class class class wbr 5102  dom cdm 5647  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11172  1c1 11173   + caddc 11175  ...cfz 13609  ..^cfzo 13757  ♯chash 14442  Word cword 14626  Vtxcvtx 29508  iEdgciedg 29509  Walkscwlks 30111

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-hash 14443  df-word 14627  df-wlks 30114

This theorem is used by:  2wlkd  30459  3wlkd  30705