Theorem wrdl1exs1 14761

Description: A word of length 1 is a singleton word. (Contributed by AV, 24-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wrdl1exs1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑊 = ⟨“𝑠”⟩)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠   𝑊,𝑠

Proof of Theorem wrdl1exs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1le1 11944	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 1
2		breq2 5107	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (1 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 1 ≤ 1))
3	1, 2	mpbiri 261	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → 1 ≤ (♯‘𝑊))
4		wrdsymb1 14698	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊‘0) ∈ 𝑆)
5	3, 4	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊‘0) ∈ 𝑆)
6		s1eq 14747	. . . 4 ⊢ (𝑠 = (𝑊‘0) → ⟨“𝑠”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
7	6	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 1) ∧ 𝑠 = (𝑊‘0)) → ⟨“𝑠”⟩ = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
8	7	eqeq2d 2772	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 1) ∧ 𝑠 = (𝑊‘0)) → (𝑊 = ⟨“𝑠”⟩ ↔ 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩))
9		eqs1 14760	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
10	5, 8, 9	rspcedvd 3579	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 𝑊 = ⟨“𝑠”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  0cc0 11200  1c1 11201   ≤ cle 11344  ♯chash 14474  Word cword 14658  ⟨“cs1 14742

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-s1 14743

This theorem is used by:  ccats1alpha  14767  uhgrwkspthlem1  30339  wwlksn0  30452  clwwlkn1loopb  30634