MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccats1alpha Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccats1alpha 14654
Description: A concatenation of a word with a singleton word is a word over an alphabet 𝑆 iff the symbols of both words belong to the alphabet 𝑆. (Contributed by AV, 27-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
ccats1alpha ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑋𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆𝑋𝑆)))

Proof of Theorem ccats1alpha
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdv 14564 . . 3 (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ Word V)
2 s1cli 14640 . . . 4 ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
32a1i 11 . . 3 (𝑋𝑈 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
4 ccatalpha 14628 . . 3 ((𝐴 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)))
51, 3, 4syl2an 596 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑋𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)))
6 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
7 s1len 14641 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
8 wrdl1exs1 14648 . . . . . . . 8 ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1) → ∃𝑤𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
96, 7, 8sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ∃𝑤𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
10 elex 3499 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑈𝑋 ∈ V)
1110adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → 𝑋 ∈ V)
12 elex 3499 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝑆𝑤 ∈ V)
13 s111 14650 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ V) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑋 = 𝑤))
1411, 12, 13syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤𝑆) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑋 = 𝑤))
15 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑤𝑆)
16 eleq1 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = 𝑤 → (𝑋𝑆𝑤𝑆))
1715, 16syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑋 = 𝑤𝑋𝑆))
1814, 17sylbid 240 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤𝑆) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ → 𝑋𝑆))
1918rexlimdva 3153 . . . . . . 7 ((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → (∃𝑤𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ → 𝑋𝑆))
209, 19mpd 15 . . . . . 6 ((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → 𝑋𝑆)
2120ex 412 . . . . 5 (𝑋𝑈 → (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆𝑋𝑆))
22 s1cl 14637 . . . . 5 (𝑋𝑆 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
2321, 22impbid1 225 . . . 4 (𝑋𝑈 → (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆𝑋𝑆))
2423anbi2d 630 . . 3 (𝑋𝑈 → ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆𝑋𝑆)))
2524adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑋𝑈) → ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆𝑋𝑆)))
265, 25bitrd 279 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑋𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆𝑋𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  Vcvv 3478  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154  chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631
This theorem is referenced by:  clwwlknonwwlknonb  30135
  Copyright terms: Public domain W3C validator