Theorem ccats1alpha 14577

Description: A concatenation of a word with a singleton word is a word over an alphabet 𝑆 iff the symbols of both words belong to the alphabet 𝑆. (Contributed by AV, 27-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ccats1alpha	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem ccats1alpha

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdv 14486	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐴 ∈ Word V)
2		s1cli 14563	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
4		ccatalpha 14551	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)))
5	1, 3, 4	syl2an 603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)))
6		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
7		s1len 14564	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
8		wrdl1exs1 14571	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1) → ∃𝑤 ∈ 𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
9	6, 7, 8	sylancl 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ∃𝑤 ∈ 𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
10		elex 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ V)
11	10	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → 𝑋 ∈ V)
12		elex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑤 ∈ V)
13		s111 14573	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ V) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑋 = 𝑤))
14	11, 12, 13	syl2an 603	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑋 = 𝑤))
15		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ 𝑆)
16		eleq1 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = 𝑤 → (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ 𝑤 ∈ 𝑆))
17	15, 16	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑋 = 𝑤 → 𝑋 ∈ 𝑆))
18	14, 17	sylbid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ → 𝑋 ∈ 𝑆))
19	18	rexlimdva 3142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → (∃𝑤 ∈ 𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ → 𝑋 ∈ 𝑆))
20	9, 19	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
21	20	ex 414	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆 → 𝑋 ∈ 𝑆))
22		s1cl 14560	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
23	21, 22	impbid1 227	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆 ↔ 𝑋 ∈ 𝑆))
24	23	anbi2d 637	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)))
25	24	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)))
26	5, 25	bitrd 281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065  Vcvv 3433  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  1c1 11035  ♯chash 14287  Word cword 14470   ++ cconcat 14527  ⟨“cs1 14553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-hash 14288  df-word 14471  df-concat 14528  df-s1 14554

This theorem is referenced by:  clwwlknonwwlknonb  30196