Theorem ccats1alpha 14324

Description: A concatenation of a word with a singleton word is a word over an alphabet 𝑆 iff the symbols of both words belong to the alphabet 𝑆. (Contributed by AV, 27-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ccats1alpha	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem ccats1alpha

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdv 14232	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐴 ∈ Word V)
2		s1cli 14310	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
4		ccatalpha 14298	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)))
5	1, 3, 4	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)))
6		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
7		s1len 14311	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
8		wrdl1exs1 14318	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1) → ∃𝑤 ∈ 𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
9	6, 7, 8	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ∃𝑤 ∈ 𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
10		elex 3450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ V)
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → 𝑋 ∈ V)
12		elex 3450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑤 ∈ V)
13		s111 14320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ V) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑋 = 𝑤))
14	11, 12, 13	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑋 = 𝑤))
15		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ 𝑆)
16		eleq1 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = 𝑤 → (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ 𝑤 ∈ 𝑆))
17	15, 16	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑋 = 𝑤 → 𝑋 ∈ 𝑆))
18	14, 17	sylbid 239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ → 𝑋 ∈ 𝑆))
19	18	rexlimdva 3213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → (∃𝑤 ∈ 𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ → 𝑋 ∈ 𝑆))
20	9, 19	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
21	20	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆 → 𝑋 ∈ 𝑆))
22		s1cl 14307	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
23	21, 22	impbid1 224	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆 ↔ 𝑋 ∈ 𝑆))
24	23	anbi2d 629	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)))
25	24	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)))
26	5, 25	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  Vcvv 3432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872  ♯chash 14044  Word cword 14217   ++ cconcat 14273  ⟨“cs1 14300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301

This theorem is referenced by:  clwwlknonwwlknonb  28470