Theorem ccats1alpha 14767

Description: A concatenation of a word with a singleton word is a word over an alphabet 𝑆 iff the symbols of both words belong to the alphabet 𝑆. (Contributed by AV, 27-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ccats1alpha	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem ccats1alpha

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdv 14674	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐴 ∈ Word V)
2		s1cli 14752	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
4		ccatalpha 14740	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)))
5	1, 3, 4	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)))
6		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
7		s1len 14753	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
8		wrdl1exs1 14761	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1) → ∃𝑤 ∈ 𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
9	6, 7, 8	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ∃𝑤 ∈ 𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
10		elex 3472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ V)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → 𝑋 ∈ V)
12		elex 3472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑤 ∈ V)
13		s111 14763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ V) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑋 = 𝑤))
14	11, 12, 13	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑋 = 𝑤))
15		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ 𝑆)
16		eleq1 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = 𝑤 → (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ 𝑤 ∈ 𝑆))
17	15, 16	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑋 = 𝑤 → 𝑋 ∈ 𝑆))
18	14, 17	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ → 𝑋 ∈ 𝑆))
19	18	rexlimdva 3164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → (∃𝑤 ∈ 𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ → 𝑋 ∈ 𝑆))
20	9, 19	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
21	20	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆 → 𝑋 ∈ 𝑆))
22		s1cl 14749	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
23	21, 22	impbid1 228	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆 ↔ 𝑋 ∈ 𝑆))
24	23	anbi2d 642	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)))
25	24	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)))
26	5, 25	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  Vcvv 3451  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11201  ♯chash 14474  Word cword 14658   ++ cconcat 14715  ⟨“cs1 14742

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743

This theorem is used by:  clwwlknonwwlknonb  30697