MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccats1alpha Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccats1alpha 13598
Description: A concatenation of a word with a singleton word is a word over an alphabet 𝑆 iff the symbols of both words belong to the alphabet 𝑆. (Contributed by AV, 27-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
ccats1alpha ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑋𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆𝑋𝑆)))

Proof of Theorem ccats1alpha
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdv 13515 . . 3 (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ Word V)
2 s1cli 13584 . . . 4 ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
32a1i 11 . . 3 (𝑋𝑈 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
4 ccatalpha 13574 . . 3 ((𝐴 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)))
51, 3, 4syl2an 575 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑋𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)))
6 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
7 s1len 13585 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
8 wrdl1exs1 13592 . . . . . . . 8 ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1) → ∃𝑤𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
96, 7, 8sylancl 566 . . . . . . 7 ((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ∃𝑤𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
10 elex 3361 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑈𝑋 ∈ V)
1110adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → 𝑋 ∈ V)
12 elex 3361 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝑆𝑤 ∈ V)
13 s111 13594 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ V) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑋 = 𝑤))
1411, 12, 13syl2an 575 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤𝑆) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑋 = 𝑤))
15 simpr 471 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑤𝑆)
16 eleq1 2837 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = 𝑤 → (𝑋𝑆𝑤𝑆))
1715, 16syl5ibrcom 237 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑋 = 𝑤𝑋𝑆))
1814, 17sylbid 230 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤𝑆) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ → 𝑋𝑆))
1918rexlimdva 3178 . . . . . . 7 ((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → (∃𝑤𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ → 𝑋𝑆))
209, 19mpd 15 . . . . . 6 ((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → 𝑋𝑆)
2120ex 397 . . . . 5 (𝑋𝑈 → (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆𝑋𝑆))
22 s1cl 13581 . . . . 5 (𝑋𝑆 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
2321, 22impbid1 215 . . . 4 (𝑋𝑈 → (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆𝑋𝑆))
2423anbi2d 606 . . 3 (𝑋𝑈 → ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆𝑋𝑆)))
2524adantl 467 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑋𝑈) → ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆𝑋𝑆)))
265, 25bitrd 268 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑋𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆𝑋𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wrex 3061  Vcvv 3349  cfv 6031  (class class class)co 6792  1c1 10138  chash 13320  Word cword 13486   ++ cconcat 13488  ⟨“cs1 13489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494  df-concat 13496  df-s1 13497
This theorem is referenced by:  clwwlknonwwlknonb  27278
  Copyright terms: Public domain W3C validator