MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccats1alpha Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccats1alpha 14657
Description: A concatenation of a word with a singleton word is a word over an alphabet 𝑆 iff the symbols of both words belong to the alphabet 𝑆. (Contributed by AV, 27-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
ccats1alpha ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑋𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆𝑋𝑆)))

Proof of Theorem ccats1alpha
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdv 14567 . . 3 (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ Word V)
2 s1cli 14643 . . . 4 ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
32a1i 11 . . 3 (𝑋𝑈 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
4 ccatalpha 14631 . . 3 ((𝐴 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)))
51, 3, 4syl2an 596 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑋𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)))
6 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
7 s1len 14644 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
8 wrdl1exs1 14651 . . . . . . . 8 ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1) → ∃𝑤𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
96, 7, 8sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ∃𝑤𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
10 elex 3501 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑈𝑋 ∈ V)
1110adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → 𝑋 ∈ V)
12 elex 3501 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝑆𝑤 ∈ V)
13 s111 14653 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ V) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑋 = 𝑤))
1411, 12, 13syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤𝑆) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑋 = 𝑤))
15 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑤𝑆)
16 eleq1 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = 𝑤 → (𝑋𝑆𝑤𝑆))
1715, 16syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑋 = 𝑤𝑋𝑆))
1814, 17sylbid 240 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤𝑆) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ → 𝑋𝑆))
1918rexlimdva 3155 . . . . . . 7 ((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → (∃𝑤𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ → 𝑋𝑆))
209, 19mpd 15 . . . . . 6 ((𝑋𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → 𝑋𝑆)
2120ex 412 . . . . 5 (𝑋𝑈 → (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆𝑋𝑆))
22 s1cl 14640 . . . . 5 (𝑋𝑆 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
2321, 22impbid1 225 . . . 4 (𝑋𝑈 → (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆𝑋𝑆))
2423anbi2d 630 . . 3 (𝑋𝑈 → ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆𝑋𝑆)))
2524adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑋𝑈) → ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆𝑋𝑆)))
265, 25bitrd 279 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑋𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆𝑋𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  Vcvv 3480  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156  chash 14369  Word cword 14552   ++ cconcat 14608  ⟨“cs1 14633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634
This theorem is referenced by:  clwwlknonwwlknonb  30125
  Copyright terms: Public domain W3C validator