Theorem ccats1alpha 14653

Description: A concatenation of a word with a singleton word is a word over an alphabet 𝑆 iff the symbols of both words belong to the alphabet 𝑆. (Contributed by AV, 27-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ccats1alpha	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem ccats1alpha

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdv 14562	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐴 ∈ Word V)
2		s1cli 14639	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
4		ccatalpha 14627	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)))
5	1, 3, 4	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)))
6		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
7		s1len 14640	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
8		wrdl1exs1 14647	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1) → ∃𝑤 ∈ 𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
9	6, 7, 8	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ∃𝑤 ∈ 𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
10		elex 3476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ V)
11	10	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → 𝑋 ∈ V)
12		elex 3476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑤 ∈ V)
13		s111 14649	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ V) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑋 = 𝑤))
14	11, 12, 13	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑋 = 𝑤))
15		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ 𝑆)
16		eleq1 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = 𝑤 → (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ 𝑤 ∈ 𝑆))
17	15, 16	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑋 = 𝑤 → 𝑋 ∈ 𝑆))
18	14, 17	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ → 𝑋 ∈ 𝑆))
19	18	rexlimdva 3166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → (∃𝑤 ∈ 𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ → 𝑋 ∈ 𝑆))
20	9, 19	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
21	20	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆 → 𝑋 ∈ 𝑆))
22		s1cl 14636	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
23	21, 22	impbid1 228	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆 ↔ 𝑋 ∈ 𝑆))
24	23	anbi2d 641	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)))
25	24	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)))
26	5, 25	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  Vcvv 3455  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11096  ♯chash 14362  Word cword 14546   ++ cconcat 14603  ⟨“cs1 14629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-concat 14604  df-s1 14630

This theorem is referenced by:  clwwlknonwwlknonb  30457