Theorem ccats1alpha 14573

Description: A concatenation of a word with a singleton word is a word over an alphabet 𝑆 iff the symbols of both words belong to the alphabet 𝑆. (Contributed by AV, 27-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ccats1alpha	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem ccats1alpha

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdv 14482	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐴 ∈ Word V)
2		s1cli 14559	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
4		ccatalpha 14547	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)))
5	1, 3, 4	syl2an 602	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)))
6		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
7		s1len 14560	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
8		wrdl1exs1 14567	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1) → ∃𝑤 ∈ 𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
9	6, 7, 8	sylancl 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → ∃𝑤 ∈ 𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
10		elex 3452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑋 ∈ V)
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → 𝑋 ∈ V)
12		elex 3452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑤 ∈ V)
13		s111 14569	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ V) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑋 = 𝑤))
14	11, 12, 13	syl2an 602	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑋 = 𝑤))
15		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → 𝑤 ∈ 𝑆)
16		eleq1 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = 𝑤 → (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ 𝑤 ∈ 𝑆))
17	15, 16	syl5ibrcom 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑋 = 𝑤 → 𝑋 ∈ 𝑆))
18	14, 17	sylbid 241	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ → 𝑋 ∈ 𝑆))
19	18	rexlimdva 3140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → (∃𝑤 ∈ 𝑆 ⟨“𝑋”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ → 𝑋 ∈ 𝑆))
20	9, 19	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
21	20	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆 → 𝑋 ∈ 𝑆))
22		s1cl 14556	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆)
23	21, 22	impbid1 226	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆 ↔ 𝑋 ∈ 𝑆))
24	23	anbi2d 636	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 → ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)))
25	24	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)))
26	5, 25	bitrd 280	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((𝐴 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  Vcvv 3431  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1c1 11030  ♯chash 14283  Word cword 14466   ++ cconcat 14523  ⟨“cs1 14549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550

This theorem is referenced by:  clwwlknonwwlknonb  30194