Theorem wrdsymb0 14583

Description: A symbol at a position "outside" of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wrdsymb0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → (𝑊‘𝐼) = ∅))

Proof of Theorem wrdsymb0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrddm 14555	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
2		lencl 14567	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12636	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
4		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℤ)
5		0zd 12622	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
6		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
7		nelfzo 13700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝐼 ∉ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∉ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)))
9	8	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)) → 𝐼 ∉ (0..^(♯‘𝑊)))
10		df-nel 3044	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∉ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
11	9, 10	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)) → ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
12		eleq2 2827	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ dom 𝑊 ↔ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
13	12	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊 ↔ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
14	11, 13	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊))
15	14	exp4c 432	. . . 4 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊))))
16	1, 3, 15	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊)))
17	16	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊))
18		ndmfv 6941	. 2 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊 → (𝑊‘𝐼) = ∅)
19	17, 18	syl6 35	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → (𝑊‘𝐼) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ∉ wnel 3043  ∅c0 4338   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152   < clt 11292   ≤ cle 11293  ℤcz 12610  ..^cfzo 13690  ♯chash 14365  Word cword 14548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549

This theorem is referenced by:  ccatsymb  14616