Theorem wrdsymb0 14735

Description: A symbol at a position "outside" of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wrdsymb0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → (𝑊‘𝐼) = ∅))

Proof of Theorem wrdsymb0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrddm 14707	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
2		lencl 14719	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12758	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
4		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℤ)
5		0zd 12745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
6		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
7		nelfzo 13839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝐼 ∉ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∉ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)))
9	8	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)) → 𝐼 ∉ (0..^(♯‘𝑊)))
10		df-nel 3066	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∉ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
11	9, 10	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)) → ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
12		eleq2 2853	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ dom 𝑊 ↔ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
13	12	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊 ↔ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
14	11, 13	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊))
15	14	exp4c 438	. . . 4 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊))))
16	1, 3, 15	sylc 66	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊)))
17	16	imp 412	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊))
18		ndmfv 6948	. 2 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊 → (𝑊‘𝐼) = ∅)
19	17, 18	syl6 36	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → (𝑊‘𝐼) = ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∉ wnel 3065  ∅c0 4281   class class class wbr 5108  dom cdm 5658  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239   < clt 11382   ≤ cle 11383  ℤcz 12733  ..^cfzo 13828  ♯chash 14515  Word cword 14699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700

This theorem is used by:  ccatsymb  14769