MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdsymb0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdsymb0 14587
Description: A symbol at a position "outside" of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
wrdsymb0 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → (𝑊𝐼) = ∅))

Proof of Theorem wrdsymb0
StepHypRef Expression
1 wrddm 14559 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
2 lencl 14571 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
32nn0zd 12639 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
4 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℤ)
5 0zd 12625 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
6 simpl 482 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
7 nelfzo 13704 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝐼 ∉ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)))
84, 5, 6, 7syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∉ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)))
98biimpar 477 . . . . . . 7 ((((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)) → 𝐼 ∉ (0..^(♯‘𝑊)))
10 df-nel 3047 . . . . . . 7 (𝐼 ∉ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
119, 10sylib 218 . . . . . 6 ((((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)) → ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
12 eleq2 2830 . . . . . . 7 (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ dom 𝑊𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
1312notbid 318 . . . . . 6 (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊 ↔ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
1411, 13imbitrrid 246 . . . . 5 (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊))
1514exp4c 432 . . . 4 (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊))))
161, 3, 15sylc 65 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊)))
1716imp 406 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊))
18 ndmfv 6941 . 2 𝐼 ∈ dom 𝑊 → (𝑊𝐼) = ∅)
1917, 18syl6 35 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → (𝑊𝐼) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wnel 3046  c0 4333   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155   < clt 11295  cle 11296  cz 12613  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553
This theorem is referenced by:  ccatsymb  14620
  Copyright terms: Public domain W3C validator