Theorem wrdsymb0 14252

Description: A symbol at a position "outside" of a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wrdsymb0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → (𝑊‘𝐼) = ∅))

Proof of Theorem wrdsymb0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrddm 14224	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
2		lencl 14236	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12424	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
4		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 𝐼 ∈ ℤ)
5		0zd 12331	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
6		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
7		nelfzo 13392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝐼 ∉ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐼 ∉ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)))
9	8	biimpar 478	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)) → 𝐼 ∉ (0..^(♯‘𝑊)))
10		df-nel 3050	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∉ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
11	9, 10	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)) → ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
12		eleq2 2827	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ dom 𝑊 ↔ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
13	12	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊 ↔ ¬ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
14	11, 13	syl5ibr 245	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼)) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊))
15	14	exp4c 433	. . . 4 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊))))
16	1, 3, 15	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊)))
17	16	imp 407	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → ¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊))
18		ndmfv 6804	. 2 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ dom 𝑊 → (𝑊‘𝐼) = ∅)
19	17, 18	syl6 35	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 0 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐼) → (𝑊‘𝐼) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3049  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℤcz 12319  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218

This theorem is referenced by:  ccatsymb  14287