Theorem xrs1cmn 21424

Description: The extended real numbers restricted to ℝ^* ∖ {-∞} form a commutative monoid. They are not a group because 1 + +∞ = 2 + +∞ even though 1 ≠ 2. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrs1mnd.1	⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
xrs1cmn	⊢ 𝑅 ∈ CMnd

Proof of Theorem xrs1cmn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrs1mnd.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
2	1	xrs1mnd 21422	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
3		eldifi 4131	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4		eldifi 4131	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑦 ∈ ℝ*)
5		xaddcom 13282	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑦 +𝑒 𝑥))
6	3, 4, 5	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑦 +𝑒 𝑥))
7	6	rgen2 3199	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})∀𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})(𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑦 +𝑒 𝑥)
8		difss 4136	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
9		xrsbas 21396	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
10	1, 9	ressbas2 17283	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
11	8, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅)
12		xrex 13029	. . . . 5 ⊢ ℝ* ∈ V
13	12	difexi 5330	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
14		xrsadd 21397	. . . . 5 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
15	1, 14	ressplusg 17334	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑅))
16	13, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝑅)
17	11, 16	iscmn 19807	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CMnd ↔ (𝑅 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})∀𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})(𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑦 +𝑒 𝑥)))
18	2, 7, 17	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝑅 ∈ CMnd

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  -∞cmnf 11293  ℝ^*cxr 11294   +_𝑒 cxad 13152  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  +_gcplusg 17297  ℝ^*_𝑠cxrs 17545  Mndcmnd 18747  CMndccmn 19798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-xadd 13155  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-xrs 17547  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-cmn 19800

This theorem is referenced by:  xrge0cmn  21426  imasdsf1olem  24383  gsumge0cl  46386