Theorem xrs1cmn 21296

Description: The extended real numbers restricted to ℝ^* ∖ {-∞} form a commutative monoid. They are not a group because 1 + +∞ = 2 + +∞ even though 1 ≠ 2. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrs1mnd.1	⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
xrs1cmn	⊢ 𝑅 ∈ CMnd

Proof of Theorem xrs1cmn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrs1mnd.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
2	1	xrs1mnd 21294	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
3		eldifi 4121	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4		eldifi 4121	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑦 ∈ ℝ*)
5		xaddcom 13222	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑦 +𝑒 𝑥))
6	3, 4, 5	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑦 +𝑒 𝑥))
7	6	rgen2 3191	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})∀𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})(𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑦 +𝑒 𝑥)
8		difss 4126	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
9		xrsbas 21268	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
10	1, 9	ressbas2 17189	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
11	8, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅)
12		xrex 12972	. . . . 5 ⊢ ℝ* ∈ V
13	12	difexi 5321	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
14		xrsadd 21269	. . . . 5 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
15	1, 14	ressplusg 17242	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑅))
16	13, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝑅)
17	11, 16	iscmn 19707	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CMnd ↔ (𝑅 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})∀𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})(𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑦 +𝑒 𝑥)))
18	2, 7, 17	mpbir2an 708	1 ⊢ 𝑅 ∈ CMnd

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  Vcvv 3468   ∖ cdif 3940   ⊆ wss 3943  {csn 4623  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  -∞cmnf 11247  ℝ^*cxr 11248   +_𝑒 cxad 13093  Basecbs 17151   ↾_s cress 17180  +_gcplusg 17204  ℝ^*_𝑠cxrs 17453  Mndcmnd 18665  CMndccmn 19698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-xadd 13096  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-xrs 17455  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-cmn 19700

This theorem is referenced by:  xrge0cmn  21298  imasdsf1olem  24230  gsumge0cl  45640