Theorem xrs1cmn 21344

Description: The extended real numbers restricted to ℝ^* ∖ {-∞} form a commutative monoid. They are not a group because 1 + +∞ = 2 + +∞ even though 1 ≠ 2. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrs1mnd.1	⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
xrs1cmn	⊢ 𝑅 ∈ CMnd

Proof of Theorem xrs1cmn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrs1mnd.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
2	1	xrs1mnd 21342	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
3		eldifi 4125	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4		eldifi 4125	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑦 ∈ ℝ*)
5		xaddcom 13257	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑦 +𝑒 𝑥))
6	3, 4, 5	syl2an 594	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑦 +𝑒 𝑥))
7	6	rgen2 3193	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})∀𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})(𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑦 +𝑒 𝑥)
8		difss 4130	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
9		xrsbas 21316	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
10	1, 9	ressbas2 17223	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
11	8, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅)
12		xrex 13007	. . . . 5 ⊢ ℝ* ∈ V
13	12	difexi 5332	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
14		xrsadd 21317	. . . . 5 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
15	1, 14	ressplusg 17276	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑅))
16	13, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝑅)
17	11, 16	iscmn 19749	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CMnd ↔ (𝑅 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})∀𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})(𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑦 +𝑒 𝑥)))
18	2, 7, 17	mpbir2an 709	1 ⊢ 𝑅 ∈ CMnd

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3057  Vcvv 3471   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  {csn 4630  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  -∞cmnf 11282  ℝ^*cxr 11283   +_𝑒 cxad 13128  Basecbs 17185   ↾_s cress 17214  +_gcplusg 17238  ℝ^*_𝑠cxrs 17487  Mndcmnd 18699  CMndccmn 19740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-xadd 13131  df-fz 13523  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-xrs 17489  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-cmn 19742

This theorem is referenced by:  xrge0cmn  21346  imasdsf1olem  24297  gsumge0cl  45761