Theorem xrs1cmn 21401

Description: The extended real numbers restricted to ℝ^* ∖ {-∞} form a commutative monoid. They are not a group because 1 + +∞ = 2 + +∞ even though 1 ≠ 2. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrs1mnd.1	⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
xrs1cmn	⊢ 𝑅 ∈ CMnd

Proof of Theorem xrs1cmn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrs1mnd.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
2	1	xrs1mnd 21399	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
3		eldifi 4084	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4		eldifi 4084	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑦 ∈ ℝ*)
5		xaddcom 13159	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑦 +𝑒 𝑥))
6	3, 4, 5	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑦 +𝑒 𝑥))
7	6	rgen2 3177	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})∀𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})(𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑦 +𝑒 𝑥)
8		difss 4089	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
9		xrsbas 17531	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
10	1, 9	ressbas2 17169	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
11	8, 10	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅)
12		xrex 12904	. . . . 5 ⊢ ℝ* ∈ V
13	12	difexi 5276	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
14		xrsadd 21344	. . . . 5 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
15	1, 14	ressplusg 17215	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑅))
16	13, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝑅)
17	11, 16	iscmn 19722	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CMnd ↔ (𝑅 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})∀𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})(𝑥 +𝑒 𝑦) = (𝑦 +𝑒 𝑥)))
18	2, 7, 17	mpbir2an 712	1 ⊢ 𝑅 ∈ CMnd

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3441   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4581  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169   +_𝑒 cxad 13028  Basecbs 17140   ↾_s cress 17161  +_gcplusg 17181  ℝ^*_𝑠cxrs 17425  Mndcmnd 18663  CMndccmn 19713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-xadd 13031  df-fz 13428  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-xrs 17427  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-cmn 19715

This theorem is referenced by:  xrge0cmn  21403  imasdsf1olem  24321  gsumge0cl  46682