Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoprmfac2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fmtnoprmfac2lem1 46220
Description: Lemma for fmtnoprmfac2 46221. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoprmfac2lem1 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
Proof of Theorem fmtnoprmfac2lem1
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12864 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 eldifi 4125 . . 3 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
3 id 22 . . 3 (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
4 fmtnoprmfac1 46219 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
51, 2, 3, 4syl3an 1160 . 2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
6 2z 12590 . . . . . 6 2 ∈ β„€
7 simp2 1137 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
8 lgsvalmod 26808 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃))
98eqcomd 2738 . . . . . 6 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
106, 7, 9sylancr 587 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
1110ad2antrr 724 . . . 4 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
12 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
14 2nn 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„•
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„•)
16 eluzge2nn0 12867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
17 peano2nn0 12508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
1915, 18nnexpcld 14204 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•)
2019nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
2213, 21mulcomd 11231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 𝑛))
23 8cn 12305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ β„‚
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 8 ∈ β„‚)
25 0re 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
26 8pos 12320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 8
2725, 26gtneii 11322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 β‰  0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 8 β‰  0)
2921, 24, 28divcan2d 11988 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (8 Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) = (2↑(𝑁 + 1)))
3029eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = (8 Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)))
3130oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 𝑛) = ((8 Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) Β· 𝑛))
3223a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 8 ∈ β„‚)
3327a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 8 β‰  0)
3420, 32, 33divcld 11986 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„‚)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„‚)
3624, 35, 13mulassd 11233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((8 Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) Β· 𝑛) = (8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)))
3722, 31, 363eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) = (8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)))
3837oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1))
3938eqeq2d 2743 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ 𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1)))
40 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) β†’ (𝑃 mod 8) = (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8))
4140adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1)) β†’ (𝑃 mod 8) = (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8))
42 3m1e2 12336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (3 βˆ’ 1) = 2
43 eluzle 12831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ≀ 𝑁)
4442, 43eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (3 βˆ’ 1) ≀ 𝑁)
45 3re 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 ∈ ℝ
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 3 ∈ ℝ)
47 1red 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 ∈ ℝ)
48 eluzelre 12829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4946, 47, 48lesubaddd 11807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((3 βˆ’ 1) ≀ 𝑁 ↔ 3 ≀ (𝑁 + 1)))
5044, 49mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 3 ≀ (𝑁 + 1))
51 3nn0 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ β„•0
52 nn0sub 12518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((3 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„•0) β†’ (3 ≀ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) βˆ’ 3) ∈ β„•0))
5351, 18, 52sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (3 ≀ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) βˆ’ 3) ∈ β„•0))
5450, 53mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 3) ∈ β„•0)
5515, 54nnexpcld 14204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) ∈ β„•)
5655nnzd 12581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) ∈ β„€)
57 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) β†’ (8 Β· π‘˜) = (8 Β· (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))))
5857eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) β†’ ((8 Β· π‘˜) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ (8 Β· (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))) = (2↑(𝑁 + 1))))
5958adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘˜ = (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))) β†’ ((8 Β· π‘˜) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ (8 Β· (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))) = (2↑(𝑁 + 1))))
60 cu2 14160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2↑3) = 8
6160eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8 = (2↑3)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 8 = (2↑3))
63 2cnne0 12418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0))
65 eluzelz 12828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
6665peano2zd 12665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
67 3z 12591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ β„€
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 3 ∈ β„€)
69 expsub 14072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ 3 ∈ β„€)) β†’ (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3)))
7064, 66, 68, 69syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3)))
7162, 70oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (8 Β· (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))) = ((2↑3) Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3))))
72 nnexpcl 14036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ β„• ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ (2↑3) ∈ β„•)
7314, 51, 72mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2↑3) ∈ β„•
7473nncni 12218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2↑3) ∈ β„‚
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑3) ∈ β„‚)
76 2cn 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ β„‚
77 2ne0 12312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 β‰  0
78 expne0i 14056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0 ∧ 3 ∈ β„€) β†’ (2↑3) β‰  0)
7976, 77, 67, 78mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2↑3) β‰  0
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑3) β‰  0)
8120, 75, 80divcan2d 11988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑3) Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3))) = (2↑(𝑁 + 1)))
8271, 81eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (8 Β· (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))) = (2↑(𝑁 + 1)))
8356, 59, 82rspcedvd 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (8 Β· π‘˜) = (2↑(𝑁 + 1)))
84 8nn 12303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8 ∈ β„•
85 2nn0 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ β„•0
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„•0)
8786, 18nn0expcld 14205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•0)
8887nn0zd 12580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„€)
89 zdiv 12628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((8 ∈ β„• ∧ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (8 Β· π‘˜) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„€))
9084, 88, 89sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (8 Β· π‘˜) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„€))
9183, 90mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„€)
9291adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„€)
93 nnz 12575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„€)
9493adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
9592, 94zmulcld 12668 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛) ∈ β„€)
9684nnzi 12582 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ β„€
97 2re 12282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
98 8re 12304 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℝ
99 2lt8 12405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 < 8
10097, 98, 99ltleii 11333 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≀ 8
101 eluz2 12824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (2 ∈ β„€ ∧ 8 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 8))
1026, 96, 100, 101mpbir3an 1341 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
103 mulp1mod1 13873 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛) ∈ β„€ ∧ 8 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8) = 1)
10495, 102, 103sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8) = 1)
105 1nn 12219 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„•
106 prid1g 4763 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ β„• β†’ 1 ∈ {1, 7})
107105, 106mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ {1, 7})
108104, 107eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8) ∈ {1, 7})
109108adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1)) β†’ (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8) ∈ {1, 7})
11041, 109eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1)) β†’ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
111110ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) β†’ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
11239, 111sylbid 239 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) β†’ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1131123ad2antl1 1185 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) β†’ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
114113imp 407 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
115 2lgs 26899 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ β„™ β†’ ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1162, 115syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1171163ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
118117ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
119114, 118mpbird 256 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ (2 /L 𝑃) = 1)
120119oveq1d 7420 . . . 4 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
121 prmuz2 16629 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
122 eluzelre 12829 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
123 eluz2gt1 12900 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < 𝑃)
124122, 123jca 512 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
125121, 124syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
126 1mod 13864 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
1272, 125, 1263syl 18 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
1281273ad2ant2 1134 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
129128ad2antrr 724 . . . 4 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
13011, 120, 1293eqtrd 2776 . . 3 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
131130rexlimdva2 3157 . 2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1))
1325, 131mpd 15 1 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3944  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  3c3 12264  7c7 12268  8c8 12269  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818   mod cmo 13830  β†‘cexp 14023   βˆ₯ cdvds 16193  β„™cprime 16604   /L clgs 26786  FermatNocfmtno 46181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-prod 15846  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-odz 16694  df-phi 16695  df-pc 16766  df-lgs 26787  df-fmtno 46182
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac2  46221
  Copyright terms: Public domain W3C validator