Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnoprmfac2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnoprmfac2lem1 43563
Description: Lemma for fmtnoprmfac2 43564. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoprmfac2lem1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)

Proof of Theorem fmtnoprmfac2lem1
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12276 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 eldifi 4106 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
3 id 22 . . 3 (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))
4 fmtnoprmfac1 43562 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
51, 2, 3, 4syl3an 1154 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
6 2z 12006 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
7 simp2 1131 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
8 lgsvalmod 25809 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
98eqcomd 2831 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
106, 7, 9sylancr 587 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
1110ad2antrr 722 . . . 4 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
12 nncn 11638 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
14 2nn 11702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ)
16 eluzge2nn0 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
17 peano2nn0 11929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1915, 18nnexpcld 13599 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
2019nncnd 11646 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
2213, 21mulcomd 10654 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((2↑(𝑁 + 1)) · 𝑛))
23 8cn 11726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 8 ∈ ℂ)
25 0re 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
26 8pos 11741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 8
2725, 26gtneii 10744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ≠ 0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 8 ≠ 0)
2921, 24, 28divcan2d 11410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (8 · ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) = (2↑(𝑁 + 1)))
3029eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) = (8 · ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)))
3130oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 𝑛) = ((8 · ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) · 𝑛))
3223a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 8 ∈ ℂ)
3327a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 8 ≠ 0)
3420, 32, 33divcld 11408 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℂ)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℂ)
3624, 35, 13mulassd 10656 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((8 · ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) · 𝑛) = (8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)))
3722, 31, 363eqtrd 2864 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) = (8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)))
3837oveq1d 7166 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1))
3938eqeq2d 2836 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ 𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1)))
40 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) → (𝑃 mod 8) = (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8))
4140adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1)) → (𝑃 mod 8) = (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8))
42 3m1e2 11757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (3 − 1) = 2
43 eluzle 12248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
4442, 43eqbrtrid 5097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (3 − 1) ≤ 𝑁)
45 3re 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 ∈ ℝ
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 3 ∈ ℝ)
47 1red 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
48 eluzelre 12246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
4946, 47, 48lesubaddd 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((3 − 1) ≤ 𝑁 ↔ 3 ≤ (𝑁 + 1)))
5044, 49mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 3 ≤ (𝑁 + 1))
51 3nn0 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ ℕ0
52 nn0sub 11939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (3 ≤ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 3) ∈ ℕ0))
5351, 18, 52sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (3 ≤ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 3) ∈ ℕ0))
5450, 53mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 + 1) − 3) ∈ ℕ0)
5515, 54nnexpcld 13599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 + 1) − 3)) ∈ ℕ)
5655nnzd 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 + 1) − 3)) ∈ ℤ)
57 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = (2↑((𝑁 + 1) − 3)) → (8 · 𝑘) = (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))))
5857eqeq1d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = (2↑((𝑁 + 1) − 3)) → ((8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))) = (2↑(𝑁 + 1))))
5958adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑘 = (2↑((𝑁 + 1) − 3))) → ((8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))) = (2↑(𝑁 + 1))))
60 cu2 13556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2↑3) = 8
6160eqcomi 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8 = (2↑3)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 8 = (2↑3))
63 2cnne0 11839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
65 eluzelz 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
6665peano2zd 12082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
67 3z 12007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ ℤ
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 3 ∈ ℤ)
69 expsub 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)) → (2↑((𝑁 + 1) − 3)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3)))
7064, 66, 68, 69syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 + 1) − 3)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3)))
7162, 70oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))) = ((2↑3) · ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3))))
72 nnexpcl 13435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ ℕ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑3) ∈ ℕ)
7314, 51, 72mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2↑3) ∈ ℕ
7473nncni 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2↑3) ∈ ℂ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑3) ∈ ℂ)
76 2cn 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℂ
77 2ne0 11733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ≠ 0
78 expne0i 13454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 3 ∈ ℤ) → (2↑3) ≠ 0)
7976, 77, 67, 78mp3an 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2↑3) ≠ 0
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑3) ≠ 0)
8120, 75, 80divcan2d 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑3) · ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3))) = (2↑(𝑁 + 1)))
8271, 81eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))) = (2↑(𝑁 + 1)))
8356, 59, 82rspcedvd 3629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑘 ∈ ℤ (8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)))
84 8nn 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8 ∈ ℕ
85 2nn0 11906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℕ0
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
8786, 18nn0expcld 13600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
8887nn0zd 12077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
89 zdiv 12044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((8 ∈ ℕ ∧ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℤ))
9084, 88, 89sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑘 ∈ ℤ (8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℤ))
9183, 90mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℤ)
9291adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℤ)
93 nnz 11996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
9493adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
9592, 94zmulcld 12085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛) ∈ ℤ)
9684nnzi 11998 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ ℤ
97 2re 11703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
98 8re 11725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℝ
99 2lt8 11826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 < 8
10097, 98, 99ltleii 10755 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≤ 8
101 eluz2 12241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 8))
1026, 96, 100, 101mpbir3an 1335 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ (ℤ‘2)
103 mulp1mod1 13273 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛) ∈ ℤ ∧ 8 ∈ (ℤ‘2)) → (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8) = 1)
10495, 102, 103sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8) = 1)
105 1nn 11641 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
106 prid1g 4694 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℕ → 1 ∈ {1, 7})
107105, 106mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ {1, 7})
108104, 107eqeltrd 2917 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8) ∈ {1, 7})
109108adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1)) → (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8) ∈ {1, 7})
11041, 109eqeltrd 2917 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1)) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
111110ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
11239, 111sylbid 241 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1131123ad2antl1 1179 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
114113imp 407 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
115 2lgs 25900 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1162, 115syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1171163ad2ant2 1128 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
118117ad2antrr 722 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
119114, 118mpbird 258 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → (2 /L 𝑃) = 1)
120119oveq1d 7166 . . . 4 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
121 prmuz2 16033 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
122 eluzelre 12246 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
123 eluz2gt1 12312 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
124122, 123jca 512 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
125121, 124syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
126 1mod 13264 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
1272, 125, 1263syl 18 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1 mod 𝑃) = 1)
1281273ad2ant2 1128 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (1 mod 𝑃) = 1)
129128ad2antrr 722 . . . 4 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → (1 mod 𝑃) = 1)
13011, 120, 1293eqtrd 2864 . . 3 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
131130rexlimdva2 3291 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1))
1325, 131mpd 15 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  wrex 3143  cdif 3936  {csn 4563  {cpr 4565   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862   / cdiv 11289  cn 11630  2c2 11684  3c3 11685  7c7 11689  8c8 11690  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235   mod cmo 13230  cexp 13422  cdvds 15600  cprime 16008   /L clgs 25787  FermatNocfmtno 43524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-fac 13627  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-prod 15253  df-dvds 15601  df-gcd 15837  df-prm 16009  df-odz 16095  df-phi 16096  df-pc 16167  df-lgs 25788  df-fmtno 43525
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac2  43564
  Copyright terms: Public domain W3C validator