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Theorem fmtnoprmfac2lem1 46829
Description: Lemma for fmtnoprmfac2 46830. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoprmfac2lem1 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
Proof of Theorem fmtnoprmfac2lem1
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12890 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 eldifi 4122 . . 3 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
3 id 22 . . 3 (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
4 fmtnoprmfac1 46828 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
51, 2, 3, 4syl3an 1158 . 2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
6 2z 12616 . . . . . 6 2 ∈ β„€
7 simp2 1135 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
8 lgsvalmod 27236 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃))
98eqcomd 2733 . . . . . 6 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
106, 7, 9sylancr 586 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
1110ad2antrr 725 . . . 4 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
12 nncn 12242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
14 2nn 12307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„•
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„•)
16 eluzge2nn0 12893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
17 peano2nn0 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
1915, 18nnexpcld 14231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•)
2019nncnd 12250 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
2213, 21mulcomd 11257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 𝑛))
23 8cn 12331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ β„‚
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 8 ∈ β„‚)
25 0re 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
26 8pos 12346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 8
2725, 26gtneii 11348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 β‰  0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 8 β‰  0)
2921, 24, 28divcan2d 12014 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (8 Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) = (2↑(𝑁 + 1)))
3029eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = (8 Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)))
3130oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 𝑛) = ((8 Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) Β· 𝑛))
3223a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 8 ∈ β„‚)
3327a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 8 β‰  0)
3420, 32, 33divcld 12012 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„‚)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„‚)
3624, 35, 13mulassd 11259 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((8 Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) Β· 𝑛) = (8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)))
3722, 31, 363eqtrd 2771 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) = (8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)))
3837oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1))
3938eqeq2d 2738 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ 𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1)))
40 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) β†’ (𝑃 mod 8) = (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8))
4140adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1)) β†’ (𝑃 mod 8) = (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8))
42 3m1e2 12362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (3 βˆ’ 1) = 2
43 eluzle 12857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ≀ 𝑁)
4442, 43eqbrtrid 5177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (3 βˆ’ 1) ≀ 𝑁)
45 3re 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 ∈ ℝ
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 3 ∈ ℝ)
47 1red 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 ∈ ℝ)
48 eluzelre 12855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4946, 47, 48lesubaddd 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((3 βˆ’ 1) ≀ 𝑁 ↔ 3 ≀ (𝑁 + 1)))
5044, 49mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 3 ≀ (𝑁 + 1))
51 3nn0 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ β„•0
52 nn0sub 12544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((3 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„•0) β†’ (3 ≀ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) βˆ’ 3) ∈ β„•0))
5351, 18, 52sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (3 ≀ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) βˆ’ 3) ∈ β„•0))
5450, 53mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 3) ∈ β„•0)
5515, 54nnexpcld 14231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) ∈ β„•)
5655nnzd 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) ∈ β„€)
57 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) β†’ (8 Β· π‘˜) = (8 Β· (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))))
5857eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) β†’ ((8 Β· π‘˜) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ (8 Β· (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))) = (2↑(𝑁 + 1))))
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘˜ = (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))) β†’ ((8 Β· π‘˜) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ (8 Β· (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))) = (2↑(𝑁 + 1))))
60 cu2 14187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2↑3) = 8
6160eqcomi 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8 = (2↑3)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 8 = (2↑3))
63 2cnne0 12444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0))
65 eluzelz 12854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
6665peano2zd 12691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
67 3z 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ β„€
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 3 ∈ β„€)
69 expsub 14099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ 3 ∈ β„€)) β†’ (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3)))
7064, 66, 68, 69syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3)))
7162, 70oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (8 Β· (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))) = ((2↑3) Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3))))
72 nnexpcl 14063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ β„• ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ (2↑3) ∈ β„•)
7314, 51, 72mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2↑3) ∈ β„•
7473nncni 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2↑3) ∈ β„‚
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑3) ∈ β„‚)
76 2cn 12309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ β„‚
77 2ne0 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 β‰  0
78 expne0i 14083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0 ∧ 3 ∈ β„€) β†’ (2↑3) β‰  0)
7976, 77, 67, 78mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2↑3) β‰  0
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑3) β‰  0)
8120, 75, 80divcan2d 12014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑3) Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3))) = (2↑(𝑁 + 1)))
8271, 81eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (8 Β· (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))) = (2↑(𝑁 + 1)))
8356, 59, 82rspcedvd 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (8 Β· π‘˜) = (2↑(𝑁 + 1)))
84 8nn 12329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8 ∈ β„•
85 2nn0 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ β„•0
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„•0)
8786, 18nn0expcld 14232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•0)
8887nn0zd 12606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„€)
89 zdiv 12654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((8 ∈ β„• ∧ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (8 Β· π‘˜) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„€))
9084, 88, 89sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (8 Β· π‘˜) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„€))
9183, 90mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„€)
9291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„€)
93 nnz 12601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„€)
9493adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
9592, 94zmulcld 12694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛) ∈ β„€)
9684nnzi 12608 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ β„€
97 2re 12308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
98 8re 12330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℝ
99 2lt8 12431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 < 8
10097, 98, 99ltleii 11359 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≀ 8
101 eluz2 12850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (2 ∈ β„€ ∧ 8 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 8))
1026, 96, 100, 101mpbir3an 1339 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
103 mulp1mod1 13901 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛) ∈ β„€ ∧ 8 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8) = 1)
10495, 102, 103sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8) = 1)
105 1nn 12245 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„•
106 prid1g 4760 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ β„• β†’ 1 ∈ {1, 7})
107105, 106mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ {1, 7})
108104, 107eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8) ∈ {1, 7})
109108adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1)) β†’ (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8) ∈ {1, 7})
11041, 109eqeltrd 2828 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1)) β†’ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
111110ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) β†’ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
11239, 111sylbid 239 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) β†’ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1131123ad2antl1 1183 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) β†’ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
114113imp 406 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
115 2lgs 27327 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ β„™ β†’ ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1162, 115syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1171163ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
118117ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
119114, 118mpbird 257 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ (2 /L 𝑃) = 1)
120119oveq1d 7429 . . . 4 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
121 prmuz2 16658 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
122 eluzelre 12855 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
123 eluz2gt1 12926 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < 𝑃)
124122, 123jca 511 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
125121, 124syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
126 1mod 13892 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
1272, 125, 1263syl 18 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
1281273ad2ant2 1132 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
129128ad2antrr 725 . . . 4 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
13011, 120, 1293eqtrd 2771 . . 3 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
131130rexlimdva2 3152 . 2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1))
1325, 131mpd 15 1 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆƒwrex 3065   βˆ– cdif 3941  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  β„•cn 12234  2c2 12289  3c3 12290  7c7 12294  8c8 12295  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844   mod cmo 13858  β†‘cexp 14050   βˆ₯ cdvds 16222  β„™cprime 16633   /L clgs 27214  FermatNocfmtno 46790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-prod 15874  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-odz 16725  df-phi 16726  df-pc 16797  df-lgs 27215  df-fmtno 46791
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac2  46830
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