Theorem fmtnoprmfac2lem1 48023

Description: Lemma for fmtnoprmfac2 48024. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoprmfac2lem1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)

Proof of Theorem fmtnoprmfac2lem1

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12838	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		eldifi 4072	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))
4		fmtnoprmfac1 48022	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1161	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
6		2z 12559	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
8		lgsvalmod 27279	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
9	8	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
10	6, 7, 9	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
11	10	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
12		nncn 12182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
14		2nn 12254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ)
16		eluzge2nn0 12842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
17		peano2nn0 12477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19	15, 18	nnexpcld 14207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
20	19	nncnd 12190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
22	13, 21	mulcomd 11166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((2↑(𝑁 + 1)) · 𝑛))
23		8cn 12278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 8 ∈ ℂ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 8 ∈ ℂ)
25		0re 11146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		8pos 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 8
27	25, 26	gtneii 11258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 8 ≠ 0
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 8 ≠ 0)
29	21, 24, 28	divcan2d 11933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (8 · ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) = (2↑(𝑁 + 1)))
30	29	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) = (8 · ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)))
31	30	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 𝑛) = ((8 · ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) · 𝑛))
32	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 8 ∈ ℂ)
33	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 8 ≠ 0)
34	20, 32, 33	divcld 11931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℂ)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℂ)
36	24, 35, 13	mulassd 11168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((8 · ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) · 𝑛) = (8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)))
37	22, 31, 36	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) = (8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)))
38	37	oveq1d 7382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1))
39	38	eqeq2d 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ 𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1)))
40		oveq1 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) → (𝑃 mod 8) = (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1)) → (𝑃 mod 8) = (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8))
42		3m1e2 12304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (3 − 1) = 2
43		eluzle 12801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
44	42, 43	eqbrtrid 5121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (3 − 1) ≤ 𝑁)
45		3re 12261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 3 ∈ ℝ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 3 ∈ ℝ)
47		1red 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
48		eluzelre 12799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
49	46, 47, 48	lesubaddd 11747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((3 − 1) ≤ 𝑁 ↔ 3 ≤ (𝑁 + 1)))
50	44, 49	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 3 ≤ (𝑁 + 1))
51		3nn0 12455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 ∈ ℕ0
52		nn0sub 12487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (3 ≤ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 3) ∈ ℕ0))
53	51, 18, 52	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (3 ≤ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 3) ∈ ℕ0))
54	50, 53	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 + 1) − 3) ∈ ℕ0)
55	15, 54	nnexpcld 14207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((𝑁 + 1) − 3)) ∈ ℕ)
56	55	nnzd 12550	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((𝑁 + 1) − 3)) ∈ ℤ)
57		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = (2↑((𝑁 + 1) − 3)) → (8 · 𝑘) = (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))))
58	57	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = (2↑((𝑁 + 1) − 3)) → ((8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))) = (2↑(𝑁 + 1))))
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 = (2↑((𝑁 + 1) − 3))) → ((8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))) = (2↑(𝑁 + 1))))
60		cu2 14162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2↑3) = 8
61	60	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 8 = (2↑3)
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 8 = (2↑3))
63		2cnne0 12386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
65		eluzelz 12798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
66	65	peano2zd 12636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
67		3z 12560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 ∈ ℤ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 3 ∈ ℤ)
69		expsub 14072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)) → (2↑((𝑁 + 1) − 3)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3)))
70	64, 66, 68, 69	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((𝑁 + 1) − 3)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3)))
71	62, 70	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))) = ((2↑3) · ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3))))
72		nnexpcl 14036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑3) ∈ ℕ)
73	14, 51, 72	mp2an 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2↑3) ∈ ℕ
74	73	nncni 12184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2↑3) ∈ ℂ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑3) ∈ ℂ)
76		2cn 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℂ
77		2ne0 12285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ≠ 0
78		expne0i 14056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 3 ∈ ℤ) → (2↑3) ≠ 0)
79	76, 77, 67, 78	mp3an 1464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2↑3) ≠ 0
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑3) ≠ 0)
81	20, 75, 80	divcan2d 11933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑3) · ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3))) = (2↑(𝑁 + 1)))
82	71, 81	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))) = (2↑(𝑁 + 1)))
83	56, 59, 82	rspcedvd 3567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑘 ∈ ℤ (8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)))
84		8nn 12276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 8 ∈ ℕ
85		2nn0 12454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℕ0
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
87	86, 18	nn0expcld 14208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
88	87	nn0zd 12549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
89		zdiv 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((8 ∈ ℕ ∧ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℤ))
90	84, 88, 89	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑘 ∈ ℤ (8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℤ))
91	83, 90	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℤ)
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℤ)
93		nnz 12545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
94	93	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
95	92, 94	zmulcld 12639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛) ∈ ℤ)
96	84	nnzi 12551	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℤ
97		2re 12255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ
98		8re 12277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 8 ∈ ℝ
99		2lt8 12373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 < 8
100	97, 98, 99	ltleii 11269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≤ 8
101		eluz2 12794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (8 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 8))
102	6, 96, 100, 101	mpbir3an 1343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 ∈ (ℤ≥‘2)
103		mulp1mod1 13873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛) ∈ ℤ ∧ 8 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8) = 1)
104	95, 102, 103	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8) = 1)
105		1nn 12185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
106		prid1g 4705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ {1, 7})
107	105, 106	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ {1, 7})
108	104, 107	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8) ∈ {1, 7})
109	108	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1)) → (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8) ∈ {1, 7})
110	41, 109	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1)) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
111	110	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
112	39, 111	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
113	112	3ad2antl1 1187	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
114	113	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
115		2lgs 27370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
116	2, 115	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
117	116	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
118	117	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
119	114, 118	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → (2 /L 𝑃) = 1)
120	119	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
121		prmuz2 16665	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
122		eluzelre 12799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
123		eluz2gt1 12870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑃)
124	122, 123	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
125		1mod 13862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
126	2, 121, 124, 125	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1 mod 𝑃) = 1)
127	126	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (1 mod 𝑃) = 1)
128	127	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → (1 mod 𝑃) = 1)
129	11, 120, 128	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
130	129	rexlimdva2 3141	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1))
131	5, 130	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887  {csn 4568  {cpr 4570   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  3c3 12237  7c7 12241  8c8 12242  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788   mod cmo 13828  ↑cexp 14023   ∥ cdvds 16221  ℙcprime 16640   /_L clgs 27257  FermatNocfmtno 47984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-prod 15869  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-odz 16735  df-phi 16736  df-pc 16808  df-lgs 27258  df-fmtno 47985

This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac2  48024