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Theorem fmtnoprmfac2lem1 46234
Description: Lemma for fmtnoprmfac2 46235. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoprmfac2lem1 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
Proof of Theorem fmtnoprmfac2lem1
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12868 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 eldifi 4127 . . 3 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
3 id 22 . . 3 (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
4 fmtnoprmfac1 46233 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
51, 2, 3, 4syl3an 1161 . 2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
6 2z 12594 . . . . . 6 2 ∈ β„€
7 simp2 1138 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
8 lgsvalmod 26819 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃))
98eqcomd 2739 . . . . . 6 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
106, 7, 9sylancr 588 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
1110ad2antrr 725 . . . 4 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
12 nncn 12220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
1312adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
14 2nn 12285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„•
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„•)
16 eluzge2nn0 12871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
17 peano2nn0 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
1915, 18nnexpcld 14208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•)
2019nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
2120adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
2213, 21mulcomd 11235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 𝑛))
23 8cn 12309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ β„‚
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 8 ∈ β„‚)
25 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
26 8pos 12324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 8
2725, 26gtneii 11326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 β‰  0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 8 β‰  0)
2921, 24, 28divcan2d 11992 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (8 Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) = (2↑(𝑁 + 1)))
3029eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = (8 Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)))
3130oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 𝑛) = ((8 Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) Β· 𝑛))
3223a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 8 ∈ β„‚)
3327a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 8 β‰  0)
3420, 32, 33divcld 11990 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„‚)
3534adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„‚)
3624, 35, 13mulassd 11237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((8 Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) Β· 𝑛) = (8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)))
3722, 31, 363eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) = (8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)))
3837oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1))
3938eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ 𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1)))
40 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) β†’ (𝑃 mod 8) = (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8))
4140adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1)) β†’ (𝑃 mod 8) = (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8))
42 3m1e2 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (3 βˆ’ 1) = 2
43 eluzle 12835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ≀ 𝑁)
4442, 43eqbrtrid 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (3 βˆ’ 1) ≀ 𝑁)
45 3re 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 ∈ ℝ
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 3 ∈ ℝ)
47 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 ∈ ℝ)
48 eluzelre 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4946, 47, 48lesubaddd 11811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((3 βˆ’ 1) ≀ 𝑁 ↔ 3 ≀ (𝑁 + 1)))
5044, 49mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 3 ≀ (𝑁 + 1))
51 3nn0 12490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ β„•0
52 nn0sub 12522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((3 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„•0) β†’ (3 ≀ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) βˆ’ 3) ∈ β„•0))
5351, 18, 52sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (3 ≀ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) βˆ’ 3) ∈ β„•0))
5450, 53mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 3) ∈ β„•0)
5515, 54nnexpcld 14208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) ∈ β„•)
5655nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) ∈ β„€)
57 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) β†’ (8 Β· π‘˜) = (8 Β· (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))))
5857eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) β†’ ((8 Β· π‘˜) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ (8 Β· (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))) = (2↑(𝑁 + 1))))
5958adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘˜ = (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))) β†’ ((8 Β· π‘˜) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ (8 Β· (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))) = (2↑(𝑁 + 1))))
60 cu2 14164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2↑3) = 8
6160eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8 = (2↑3)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 8 = (2↑3))
63 2cnne0 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0))
65 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
6665peano2zd 12669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
67 3z 12595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ β„€
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 3 ∈ β„€)
69 expsub 14076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ 3 ∈ β„€)) β†’ (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3)))
7064, 66, 68, 69syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3)))
7162, 70oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (8 Β· (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))) = ((2↑3) Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3))))
72 nnexpcl 14040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ β„• ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ (2↑3) ∈ β„•)
7314, 51, 72mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2↑3) ∈ β„•
7473nncni 12222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2↑3) ∈ β„‚
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑3) ∈ β„‚)
76 2cn 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ β„‚
77 2ne0 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 β‰  0
78 expne0i 14060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0 ∧ 3 ∈ β„€) β†’ (2↑3) β‰  0)
7976, 77, 67, 78mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2↑3) β‰  0
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑3) β‰  0)
8120, 75, 80divcan2d 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑3) Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3))) = (2↑(𝑁 + 1)))
8271, 81eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (8 Β· (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))) = (2↑(𝑁 + 1)))
8356, 59, 82rspcedvd 3615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (8 Β· π‘˜) = (2↑(𝑁 + 1)))
84 8nn 12307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8 ∈ β„•
85 2nn0 12489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ β„•0
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„•0)
8786, 18nn0expcld 14209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•0)
8887nn0zd 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„€)
89 zdiv 12632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((8 ∈ β„• ∧ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (8 Β· π‘˜) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„€))
9084, 88, 89sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (8 Β· π‘˜) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„€))
9183, 90mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„€)
9291adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„€)
93 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„€)
9493adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
9592, 94zmulcld 12672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛) ∈ β„€)
9684nnzi 12586 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ β„€
97 2re 12286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
98 8re 12308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℝ
99 2lt8 12409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 < 8
10097, 98, 99ltleii 11337 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≀ 8
101 eluz2 12828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (2 ∈ β„€ ∧ 8 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 8))
1026, 96, 100, 101mpbir3an 1342 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
103 mulp1mod1 13877 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛) ∈ β„€ ∧ 8 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8) = 1)
10495, 102, 103sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8) = 1)
105 1nn 12223 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„•
106 prid1g 4765 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ β„• β†’ 1 ∈ {1, 7})
107105, 106mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ {1, 7})
108104, 107eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8) ∈ {1, 7})
109108adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1)) β†’ (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8) ∈ {1, 7})
11041, 109eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1)) β†’ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
111110ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) β†’ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
11239, 111sylbid 239 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) β†’ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1131123ad2antl1 1186 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) β†’ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
114113imp 408 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
115 2lgs 26910 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ β„™ β†’ ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1162, 115syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1171163ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
118117ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
119114, 118mpbird 257 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ (2 /L 𝑃) = 1)
120119oveq1d 7424 . . . 4 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
121 prmuz2 16633 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
122 eluzelre 12833 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
123 eluz2gt1 12904 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < 𝑃)
124122, 123jca 513 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
125121, 124syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
126 1mod 13868 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
1272, 125, 1263syl 18 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
1281273ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
129128ad2antrr 725 . . . 4 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
13011, 120, 1293eqtrd 2777 . . 3 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
131130rexlimdva2 3158 . 2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1))
1325, 131mpd 15 1 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  7c7 12272  8c8 12273  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822   mod cmo 13834  β†‘cexp 14027   βˆ₯ cdvds 16197  β„™cprime 16608   /L clgs 26797  FermatNocfmtno 46195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-odz 16698  df-phi 16699  df-pc 16770  df-lgs 26798  df-fmtno 46196
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac2  46235
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