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Theorem fmtnoprmfac2lem1 46534
Description: Lemma for fmtnoprmfac2 46535. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoprmfac2lem1 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
Proof of Theorem fmtnoprmfac2lem1
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12874 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 eldifi 4127 . . 3 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
3 id 22 . . 3 (𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
4 fmtnoprmfac1 46533 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
51, 2, 3, 4syl3an 1158 . 2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
6 2z 12600 . . . . . 6 2 ∈ β„€
7 simp2 1135 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
8 lgsvalmod 27053 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃))
98eqcomd 2736 . . . . . 6 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2})) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
106, 7, 9sylancr 585 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
1110ad2antrr 722 . . . 4 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
12 nncn 12226 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
1312adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
14 2nn 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„•
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„•)
16 eluzge2nn0 12877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
17 peano2nn0 12518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
1915, 18nnexpcld 14214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•)
2019nncnd 12234 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
2120adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
2213, 21mulcomd 11241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) = ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 𝑛))
23 8cn 12315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ β„‚
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 8 ∈ β„‚)
25 0re 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
26 8pos 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 8
2725, 26gtneii 11332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 β‰  0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 8 β‰  0)
2921, 24, 28divcan2d 11998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (8 Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) = (2↑(𝑁 + 1)))
3029eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) = (8 Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)))
3130oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) Β· 𝑛) = ((8 Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) Β· 𝑛))
3223a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 8 ∈ β„‚)
3327a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 8 β‰  0)
3420, 32, 33divcld 11996 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„‚)
3534adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„‚)
3624, 35, 13mulassd 11243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((8 Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) Β· 𝑛) = (8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)))
3722, 31, 363eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) = (8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)))
3837oveq1d 7428 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1))
3938eqeq2d 2741 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ 𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1)))
40 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) β†’ (𝑃 mod 8) = (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8))
4140adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1)) β†’ (𝑃 mod 8) = (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8))
42 3m1e2 12346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (3 βˆ’ 1) = 2
43 eluzle 12841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ≀ 𝑁)
4442, 43eqbrtrid 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (3 βˆ’ 1) ≀ 𝑁)
45 3re 12298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 ∈ ℝ
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 3 ∈ ℝ)
47 1red 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 ∈ ℝ)
48 eluzelre 12839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4946, 47, 48lesubaddd 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((3 βˆ’ 1) ≀ 𝑁 ↔ 3 ≀ (𝑁 + 1)))
5044, 49mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 3 ≀ (𝑁 + 1))
51 3nn0 12496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ β„•0
52 nn0sub 12528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((3 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„•0) β†’ (3 ≀ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) βˆ’ 3) ∈ β„•0))
5351, 18, 52sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (3 ≀ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) βˆ’ 3) ∈ β„•0))
5450, 53mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 3) ∈ β„•0)
5515, 54nnexpcld 14214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) ∈ β„•)
5655nnzd 12591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) ∈ β„€)
57 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) β†’ (8 Β· π‘˜) = (8 Β· (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))))
5857eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) β†’ ((8 Β· π‘˜) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ (8 Β· (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))) = (2↑(𝑁 + 1))))
5958adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘˜ = (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))) β†’ ((8 Β· π‘˜) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ (8 Β· (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))) = (2↑(𝑁 + 1))))
60 cu2 14170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2↑3) = 8
6160eqcomi 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8 = (2↑3)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 8 = (2↑3))
63 2cnne0 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0))
65 eluzelz 12838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
6665peano2zd 12675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
67 3z 12601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ β„€
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 3 ∈ β„€)
69 expsub 14082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ β„€ ∧ 3 ∈ β„€)) β†’ (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3)))
7064, 66, 68, 69syl12anc 833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3)))
7162, 70oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (8 Β· (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))) = ((2↑3) Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3))))
72 nnexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ β„• ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ (2↑3) ∈ β„•)
7314, 51, 72mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2↑3) ∈ β„•
7473nncni 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2↑3) ∈ β„‚
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑3) ∈ β„‚)
76 2cn 12293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ β„‚
77 2ne0 12322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 β‰  0
78 expne0i 14066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0 ∧ 3 ∈ β„€) β†’ (2↑3) β‰  0)
7976, 77, 67, 78mp3an 1459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2↑3) β‰  0
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑3) β‰  0)
8120, 75, 80divcan2d 11998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑3) Β· ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3))) = (2↑(𝑁 + 1)))
8271, 81eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (8 Β· (2↑((𝑁 + 1) βˆ’ 3))) = (2↑(𝑁 + 1)))
8356, 59, 82rspcedvd 3615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (8 Β· π‘˜) = (2↑(𝑁 + 1)))
84 8nn 12313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8 ∈ β„•
85 2nn0 12495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ β„•0
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„•0)
8786, 18nn0expcld 14215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„•0)
8887nn0zd 12590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„€)
89 zdiv 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((8 ∈ β„• ∧ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (8 Β· π‘˜) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„€))
9084, 88, 89sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (8 Β· π‘˜) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„€))
9183, 90mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„€)
9291adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ β„€)
93 nnz 12585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„€)
9493adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
9592, 94zmulcld 12678 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛) ∈ β„€)
9684nnzi 12592 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ β„€
97 2re 12292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
98 8re 12314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℝ
99 2lt8 12415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 < 8
10097, 98, 99ltleii 11343 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≀ 8
101 eluz2 12834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (2 ∈ β„€ ∧ 8 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 8))
1026, 96, 100, 101mpbir3an 1339 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
103 mulp1mod1 13883 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛) ∈ β„€ ∧ 8 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8) = 1)
10495, 102, 103sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8) = 1)
105 1nn 12229 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„•
106 prid1g 4765 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ β„• β†’ 1 ∈ {1, 7})
107105, 106mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ {1, 7})
108104, 107eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8) ∈ {1, 7})
109108adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1)) β†’ (((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) mod 8) ∈ {1, 7})
11041, 109eqeltrd 2831 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1)) β†’ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
111110ex 411 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑃 = ((8 Β· (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) Β· 𝑛)) + 1) β†’ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
11239, 111sylbid 239 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) β†’ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1131123ad2antl1 1183 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) β†’ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
114113imp 405 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
115 2lgs 27144 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ β„™ β†’ ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1162, 115syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1171163ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
118117ad2antrr 722 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
119114, 118mpbird 256 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ (2 /L 𝑃) = 1)
120119oveq1d 7428 . . . 4 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
121 prmuz2 16639 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
122 eluzelre 12839 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑃 ∈ ℝ)
123 eluz2gt1 12910 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 < 𝑃)
124122, 123jca 510 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
125121, 124syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
126 1mod 13874 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
1272, 125, 1263syl 18 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
1281273ad2ant2 1132 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
129128ad2antrr 722 . . . 4 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ (1 mod 𝑃) = 1)
13011, 120, 1293eqtrd 2774 . . 3 ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
131130rexlimdva2 3155 . 2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑃 = ((𝑛 Β· (2↑(𝑁 + 1))) + 1) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1))
1325, 131mpd 15 1 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ ((2↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068   βˆ– cdif 3946  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119   < clt 11254   ≀ cle 11255   βˆ’ cmin 11450   / cdiv 11877  β„•cn 12218  2c2 12273  3c3 12274  7c7 12278  8c8 12279  β„•0cn0 12478  β„€cz 12564  β„€β‰₯cuz 12828   mod cmo 13840  β†‘cexp 14033   βˆ₯ cdvds 16203  β„™cprime 16614   /L clgs 27031  FermatNocfmtno 46495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14034  df-fac 14240  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-prod 15856  df-dvds 16204  df-gcd 16442  df-prm 16615  df-odz 16704  df-phi 16705  df-pc 16776  df-lgs 27032  df-fmtno 46496
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac2  46535
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