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Theorem fmtnoprmfac2lem1 44500
 Description: Lemma for fmtnoprmfac2 44501. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoprmfac2lem1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)

Proof of Theorem fmtnoprmfac2lem1
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12337 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 eldifi 4034 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
3 id 22 . . 3 (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))
4 fmtnoprmfac1 44499 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
51, 2, 3, 4syl3an 1157 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
6 2z 12066 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
7 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
8 lgsvalmod 26012 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
98eqcomd 2764 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
106, 7, 9sylancr 590 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
1110ad2antrr 725 . . . 4 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
12 nncn 11695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
1312adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
14 2nn 11760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ)
16 eluzge2nn0 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
17 peano2nn0 11987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1915, 18nnexpcld 13669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
2019nncnd 11703 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
2120adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
2213, 21mulcomd 10713 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((2↑(𝑁 + 1)) · 𝑛))
23 8cn 11784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 8 ∈ ℂ)
25 0re 10694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
26 8pos 11799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 8
2725, 26gtneii 10803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ≠ 0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 8 ≠ 0)
2921, 24, 28divcan2d 11469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (8 · ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) = (2↑(𝑁 + 1)))
3029eqcomd 2764 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) = (8 · ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)))
3130oveq1d 7171 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 𝑛) = ((8 · ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) · 𝑛))
3223a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 8 ∈ ℂ)
3327a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 8 ≠ 0)
3420, 32, 33divcld 11467 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℂ)
3534adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℂ)
3624, 35, 13mulassd 10715 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((8 · ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) · 𝑛) = (8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)))
3722, 31, 363eqtrd 2797 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) = (8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)))
3837oveq1d 7171 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1))
3938eqeq2d 2769 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ 𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1)))
40 oveq1 7163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) → (𝑃 mod 8) = (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8))
4140adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1)) → (𝑃 mod 8) = (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8))
42 3m1e2 11815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (3 − 1) = 2
43 eluzle 12308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
4442, 43eqbrtrid 5071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (3 − 1) ≤ 𝑁)
45 3re 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 ∈ ℝ
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 3 ∈ ℝ)
47 1red 10693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
48 eluzelre 12306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
4946, 47, 48lesubaddd 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((3 − 1) ≤ 𝑁 ↔ 3 ≤ (𝑁 + 1)))
5044, 49mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 3 ≤ (𝑁 + 1))
51 3nn0 11965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ ℕ0
52 nn0sub 11997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (3 ≤ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 3) ∈ ℕ0))
5351, 18, 52sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (3 ≤ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 3) ∈ ℕ0))
5450, 53mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 + 1) − 3) ∈ ℕ0)
5515, 54nnexpcld 13669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 + 1) − 3)) ∈ ℕ)
5655nnzd 12138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 + 1) − 3)) ∈ ℤ)
57 oveq2 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = (2↑((𝑁 + 1) − 3)) → (8 · 𝑘) = (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))))
5857eqeq1d 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = (2↑((𝑁 + 1) − 3)) → ((8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))) = (2↑(𝑁 + 1))))
5958adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑘 = (2↑((𝑁 + 1) − 3))) → ((8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))) = (2↑(𝑁 + 1))))
60 cu2 13626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2↑3) = 8
6160eqcomi 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8 = (2↑3)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 8 = (2↑3))
63 2cnne0 11897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
65 eluzelz 12305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
6665peano2zd 12142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
67 3z 12067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ ℤ
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 3 ∈ ℤ)
69 expsub 13540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)) → (2↑((𝑁 + 1) − 3)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3)))
7064, 66, 68, 69syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 + 1) − 3)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3)))
7162, 70oveq12d 7174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))) = ((2↑3) · ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3))))
72 nnexpcl 13505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ ℕ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑3) ∈ ℕ)
7314, 51, 72mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2↑3) ∈ ℕ
7473nncni 11697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2↑3) ∈ ℂ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑3) ∈ ℂ)
76 2cn 11762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℂ
77 2ne0 11791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ≠ 0
78 expne0i 13524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 3 ∈ ℤ) → (2↑3) ≠ 0)
7976, 77, 67, 78mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2↑3) ≠ 0
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑3) ≠ 0)
8120, 75, 80divcan2d 11469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑3) · ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3))) = (2↑(𝑁 + 1)))
8271, 81eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))) = (2↑(𝑁 + 1)))
8356, 59, 82rspcedvd 3546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑘 ∈ ℤ (8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)))
84 8nn 11782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8 ∈ ℕ
85 2nn0 11964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℕ0
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
8786, 18nn0expcld 13670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
8887nn0zd 12137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
89 zdiv 12104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((8 ∈ ℕ ∧ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℤ))
9084, 88, 89sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑘 ∈ ℤ (8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℤ))
9183, 90mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℤ)
9291adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℤ)
93 nnz 12056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
9493adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
9592, 94zmulcld 12145 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛) ∈ ℤ)
9684nnzi 12058 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ ℤ
97 2re 11761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
98 8re 11783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℝ
99 2lt8 11884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 < 8
10097, 98, 99ltleii 10814 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≤ 8
101 eluz2 12301 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 8))
1026, 96, 100, 101mpbir3an 1338 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ (ℤ‘2)
103 mulp1mod1 13342 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛) ∈ ℤ ∧ 8 ∈ (ℤ‘2)) → (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8) = 1)
10495, 102, 103sylancl 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8) = 1)
105 1nn 11698 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
106 prid1g 4656 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℕ → 1 ∈ {1, 7})
107105, 106mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ {1, 7})
108104, 107eqeltrd 2852 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8) ∈ {1, 7})
109108adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1)) → (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8) ∈ {1, 7})
11041, 109eqeltrd 2852 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1)) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
111110ex 416 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
11239, 111sylbid 243 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1131123ad2antl1 1182 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
114113imp 410 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
115 2lgs 26103 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1162, 115syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
1171163ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
118117ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
119114, 118mpbird 260 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → (2 /L 𝑃) = 1)
120119oveq1d 7171 . . . 4 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
121 prmuz2 16105 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
122 eluzelre 12306 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
123 eluz2gt1 12373 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
124122, 123jca 515 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
125121, 124syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
126 1mod 13333 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
1272, 125, 1263syl 18 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1 mod 𝑃) = 1)
1281273ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (1 mod 𝑃) = 1)
129128ad2antrr 725 . . . 4 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → (1 mod 𝑃) = 1)
13011, 120, 1293eqtrd 2797 . . 3 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
131130rexlimdva2 3211 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1))
1325, 131mpd 15 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∃wrex 3071   ∖ cdif 3857  {csn 4525  {cpr 4527   class class class wbr 5036  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  ℝcr 10587  0cc0 10588  1c1 10589   + caddc 10591   · cmul 10593   < clt 10726   ≤ cle 10727   − cmin 10921   / cdiv 11348  ℕcn 11687  2c2 11742  3c3 11743  7c7 11747  8c8 11748  ℕ0cn0 11947  ℤcz 12033  ℤ≥cuz 12295   mod cmo 13299  ↑cexp 13492   ∥ cdvds 15668  ℙcprime 16080   /L clgs 25990  FermatNocfmtno 44461 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-oadd 8122  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-dju 9376  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-n0 11948  df-xnn0 12020  df-z 12034  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-ioo 12796  df-ico 12798  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-fac 13697  df-hash 13754  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-clim 14906  df-prod 15321  df-dvds 15669  df-gcd 15907  df-prm 16081  df-odz 16170  df-phi 16171  df-pc 16242  df-lgs 25991  df-fmtno 44462 This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac2  44501
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