Theorem 2lgslem3d1 16102

Description: Lemma 4 for 2lgslem3 16103. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3d1	⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (𝑁 mod 2) = 0)

Proof of Theorem 2lgslem3d1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9523	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
2		8nn 9425	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		nnq 9986	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
4	2, 3	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
5	2	nngt0i 9287	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 < 8)
7		modqmuladdnn0 10757	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8) → ((𝑃 mod 8) = 7 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)))
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 7 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)))
9		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10		nn0cn 9526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
11		8cn 9343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcomd 8311	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
14	13	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
15	14	oveq1d 6073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 · 8) + 7) = ((8 · 𝑘) + 7))
16	15	eqeq2d 2246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7) ↔ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7)))
17	16	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7))
18		2lgslem2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
19	18	2lgslem3d 16098	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2))
20	9, 17, 19	syl2an2r 599	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2))
21		oveq1 6065	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑘) + 2) mod 2))
22		2t1e2 9411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 1) = 2
23	22	eqcomi 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (2 · 1)
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 = (2 · 1))
25	24	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 2) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
26		2cnd 9330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
27		1cnd 8306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
28		adddi 8275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
29	28	eqcomd 2240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = (2 · (𝑘 + 1)))
30	26, 10, 27, 29	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = (2 · (𝑘 + 1)))
31	10, 27	addcld 8309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
32	26, 31	mulcomd 8311	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 2))
33	25, 30, 32	3eqtrd 2271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 2) = ((𝑘 + 1) · 2))
34	33	oveq1d 6073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 2) mod 2) = (((𝑘 + 1) · 2) mod 2))
35		peano2nn0 9556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
36	35	nn0zd 9719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
37		2nn 9419	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
38		nnq 9986	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℕ → 2 ∈ ℚ)
39	37, 38	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℚ)
40	37	nngt0i 9287	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
41	40	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
42		mulqmod0 10719	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 0 < 2) → (((𝑘 + 1) · 2) mod 2) = 0)
43	36, 39, 41, 42	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑘 + 1) · 2) mod 2) = 0)
44	34, 43	eqtrd 2267	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 2) mod 2) = 0)
45	21, 44	sylan9eqr 2289	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2)) → (𝑁 mod 2) = 0)
46	9, 20, 45	syl2an2r 599	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → (𝑁 mod 2) = 0)
47	46	rexlimdva2 2665	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7) → (𝑁 mod 2) = 0))
48	8, 47	syld 45	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 7 → (𝑁 mod 2) = 0))
49	48	imp 124	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (𝑁 mod 2) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148   < clt 8324   − cmin 8461   / cdiv 8966  ℕcn 9257  2c2 9308  4c4 9310  7c7 9313  8c8 9314  ℕ₀cn0 9516  ℤcz 9597  ℚcq 9972  ⌊cfl 10655   mod cmo 10711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-n0 9517  df-z 9598  df-q 9973  df-rp 10008  df-ico 10249  df-fl 10657  df-mod 10712

This theorem is referenced by:  2lgslem3  16103