Theorem 2lgslem3d1 15960

Description: Lemma 4 for 2lgslem3 15961. (Contributed by AV, 15-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3d1	⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (𝑁 mod 2) = 0)

Proof of Theorem 2lgslem3d1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9499	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
2		8nn 9401	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		nnq 9961	. . . . 5 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
4	2, 3	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
5	2	nngt0i 9263	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 < 8)
7		modqmuladdnn0 10726	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8) → ((𝑃 mod 8) = 7 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)))
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 7 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)))
9		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10		nn0cn 9502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
11		8cn 9319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℂ
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcomd 8291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
14	13	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
15	14	oveq1d 6064	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 · 8) + 7) = ((8 · 𝑘) + 7))
16	15	eqeq2d 2244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7) ↔ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7)))
17	16	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7))
18		2lgslem2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
19	18	2lgslem3d 15956	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝑘) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2))
20	9, 17, 19	syl2an2r 599	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2))
21		oveq1 6056	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2) → (𝑁 mod 2) = (((2 · 𝑘) + 2) mod 2))
22		2t1e2 9387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 1) = 2
23	22	eqcomi 2236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (2 · 1)
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 = (2 · 1))
25	24	oveq2d 6065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 2) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
26		2cnd 9306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
27		1cnd 8286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
28		adddi 8255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
29	28	eqcomd 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = (2 · (𝑘 + 1)))
30	26, 10, 27, 29	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = (2 · (𝑘 + 1)))
31	10, 27	addcld 8289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
32	26, 31	mulcomd 8291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (2 · (𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · 2))
33	25, 30, 32	3eqtrd 2269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 2) = ((𝑘 + 1) · 2))
34	33	oveq1d 6064	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 2) mod 2) = (((𝑘 + 1) · 2) mod 2))
35		peano2nn0 9532	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
36	35	nn0zd 9694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
37		2nn 9395	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
38		nnq 9961	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℕ → 2 ∈ ℚ)
39	37, 38	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℚ)
40	37	nngt0i 9263	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
41	40	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
42		mulqmod0 10688	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℚ ∧ 0 < 2) → (((𝑘 + 1) · 2) mod 2) = 0)
43	36, 39, 41, 42	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑘 + 1) · 2) mod 2) = 0)
44	34, 43	eqtrd 2265	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑘) + 2) mod 2) = 0)
45	21, 44	sylan9eqr 2287	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑘) + 2)) → (𝑁 mod 2) = 0)
46	9, 20, 45	syl2an2r 599	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7)) → (𝑁 mod 2) = 0)
47	46	rexlimdva2 2663	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑃 = ((𝑘 · 8) + 7) → (𝑁 mod 2) = 0))
48	8, 47	syld 45	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 mod 8) = 7 → (𝑁 mod 2) = 0))
49	48	imp 124	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑃 mod 8) = 7) → (𝑁 mod 2) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∃wrex 2521   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8121  0cc0 8123  1c1 8124   + caddc 8126   · cmul 8128   < clt 8304   − cmin 8440   / cdiv 8942  ℕcn 9233  2c2 9284  4c4 9286  7c7 9289  8c8 9290  ℕ₀cn0 9492  ℤcz 9573  ℚcq 9947  ⌊cfl 10624   mod cmo 10680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-n0 9493  df-z 9574  df-q 9948  df-rp 9983  df-ico 10223  df-fl 10626  df-mod 10681

This theorem is referenced by:  2lgslem3  15961