Theorem gsumsplit0 14102

Description: Splitting off the rightmost summand of a group sum (even if it is the only summand). Similar to gsumsplit1r 13664 except that 𝑁 can equal 𝑀 − 1. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsplit0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit0.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumsplit0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumsplit0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumsplit0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
gsumsplit0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumsplit0	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem gsumsplit0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 = (𝑀 − 1))
2	1	oveq1d 6073	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
3		gsumsplit0.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 9722	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
5		1cnd 8306	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6	4, 5	npcand 8605	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
8	2, 7	eqtrd 2267	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = 𝑀)
9	8	fveq2d 5679	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘𝑀))
10	3	zred 9721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
11	10	ltm1d 9226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
13	1, 12	eqbrtrd 4136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 < 𝑀)
14		peano2zm 9635	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
17	1, 16	eqeltrd 2311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
18		fzn 10399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
19	3, 17, 18	syl2an2r 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
20	13, 19	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ∅)
21	20	reseq2d 5043	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)) = (𝐹 ↾ ∅))
22		res0 5047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
23	21, 22	eqtrdi 2283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)) = ∅)
24	23	oveq2d 6074	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) = (𝐺 Σg ∅))
25		gsumsplit0.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
26	25	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝐺 ∈ Mnd)
27		eqid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
28	27	gsum0g 13662	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
29	26, 28	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
30	24, 29	eqtrd 2267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) = (0g‘𝐺))
31	30	oveq1d 6073	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((0g‘𝐺) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
32		gsumsplit0.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
33	32	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
34	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
35	8, 34	eqeltrd 2311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
36	8	eqcomd 2240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 = (𝑁 + 1))
37		eqle 8381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 = (𝑁 + 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
38	10, 36, 37	syl2an2r 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
39		eluz2 9880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
40	34, 35, 38, 39	syl3anbrc 1208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
41		eluzfz2 10389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
42	40, 41	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
43	33, 42	ffvelcdmd 5818	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝐵)
44		gsumsplit0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
45		gsumsplit0.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
46	44, 45, 27	mndlid 13699	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
47	25, 43, 46	syl2an2r 599	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((0g‘𝐺) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
48	31, 47	eqtrd 2267	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
49	8	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = (𝑀...𝑀))
50		fzsn 10424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
51	3, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
53	49, 52	eqtrd 2267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = {𝑀})
54	53	feq2d 5501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵 ↔ 𝐹:{𝑀}⟶𝐵))
55	33, 54	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝐹:{𝑀}⟶𝐵)
56		fsn2g 5857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹:{𝑀}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩})))
57	3, 56	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹:{𝑀}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩})))
58	57	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹:{𝑀}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩})))
59	55, 58	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝐹‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩}))
60	59	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝐹 = {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩})
61	59	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐵)
62		fmptsn 5878	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐵) → {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑀} ↦ (𝐹‘𝑀)))
63	3, 61, 62	syl2an2r 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑀} ↦ (𝐹‘𝑀)))
64	60, 63	eqtrd 2267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ {𝑀} ↦ (𝐹‘𝑀)))
65	64	oveq2d 6074	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ {𝑀} ↦ (𝐹‘𝑀))))
66		eqidd 2235	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → (𝐹‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
67		nfv 1577	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1))
68		nfcv 2386	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑀)
69	44, 26, 34, 61, 66, 67, 68	gsumfzsnfd 14101	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ {𝑀} ↦ (𝐹‘𝑀))) = (𝐹‘𝑀))
70	65, 69	eqtrd 2267	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑀))
71	9, 48, 70	3eqtr4rd 2278	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
72	25	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐺 ∈ Mnd)
73	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
74		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
75	32	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
76	44, 45, 72, 73, 74, 75	gsumsplit1r 13664	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
77		gsumsplit0.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
78		uzp1 9909	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))))
79	77, 78	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))))
80	6	fveq2d 5679	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑀))
81	80	eleq2d 2304	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
82	81	orbi2d 798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))) ↔ (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
83	79, 82	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
84	71, 76, 83	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∅c0 3512  {csn 3694  ⟨cop 3697   class class class wbr 4114   ↦ cmpt 4176   ↾ cres 4756  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℝcr 8142  1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   ≤ cle 8325   − cmin 8461  ℤcz 9597  ℤ_≥cuz 9874  ...cfz 10364  Basecbs 13299  +_gcplusg 13377  0_gc0g 13556   Σ_g cgsu 13557  Mndcmnd 13680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-inn 9258  df-2 9316  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-fz 10365  df-seqfrec 10837  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-plusg 13390  df-0g 13558  df-igsum 13559  df-mgm 13622  df-sgrp 13668  df-mnd 13681  df-minusg 13762  df-mulg 13876

This theorem is referenced by:  gfsump1  14111