Theorem gsumsplit0 13956

Description: Splitting off the rightmost summand of a group sum (even if it is the only summand). Similar to gsumsplit1r 13504 except that 𝑁 can equal 𝑀 − 1. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsplit0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit0.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumsplit0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumsplit0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumsplit0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
gsumsplit0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumsplit0	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem gsumsplit0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 = (𝑀 − 1))
2	1	oveq1d 6038	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
3		gsumsplit0.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 9608	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
5		1cnd 8200	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6	4, 5	npcand 8499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
8	2, 7	eqtrd 2263	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = 𝑀)
9	8	fveq2d 5646	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘𝑀))
10	3	zred 9607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
11	10	ltm1d 9117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
13	1, 12	eqbrtrd 4111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 < 𝑀)
14		peano2zm 9522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
17	1, 16	eqeltrd 2307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
18		fzn 10282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
19	3, 17, 18	syl2an2r 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
20	13, 19	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ∅)
21	20	reseq2d 5015	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)) = (𝐹 ↾ ∅))
22		res0 5019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
23	21, 22	eqtrdi 2279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)) = ∅)
24	23	oveq2d 6039	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) = (𝐺 Σg ∅))
25		gsumsplit0.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
26	25	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝐺 ∈ Mnd)
27		eqid 2230	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
28	27	gsum0g 13502	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
29	26, 28	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
30	24, 29	eqtrd 2263	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) = (0g‘𝐺))
31	30	oveq1d 6038	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((0g‘𝐺) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
32		gsumsplit0.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
33	32	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
34	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
35	8, 34	eqeltrd 2307	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
36	8	eqcomd 2236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 = (𝑁 + 1))
37		eqle 8276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 = (𝑁 + 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
38	10, 36, 37	syl2an2r 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
39		eluz2 9766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
40	34, 35, 38, 39	syl3anbrc 1207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
41		eluzfz2 10272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
42	40, 41	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
43	33, 42	ffvelcdmd 5786	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝐵)
44		gsumsplit0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
45		gsumsplit0.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
46	44, 45, 27	mndlid 13541	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
47	25, 43, 46	syl2an2r 599	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((0g‘𝐺) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
48	31, 47	eqtrd 2263	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
49	8	oveq2d 6039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = (𝑀...𝑀))
50		fzsn 10306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
51	3, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
53	49, 52	eqtrd 2263	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = {𝑀})
54	53	feq2d 5472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵 ↔ 𝐹:{𝑀}⟶𝐵))
55	33, 54	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝐹:{𝑀}⟶𝐵)
56		fsn2g 5825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹:{𝑀}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩})))
57	3, 56	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹:{𝑀}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩})))
58	57	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹:{𝑀}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩})))
59	55, 58	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝐹‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩}))
60	59	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝐹 = {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩})
61	59	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐵)
62		fmptsn 5846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐵) → {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑀} ↦ (𝐹‘𝑀)))
63	3, 61, 62	syl2an2r 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑀} ↦ (𝐹‘𝑀)))
64	60, 63	eqtrd 2263	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ {𝑀} ↦ (𝐹‘𝑀)))
65	64	oveq2d 6039	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ {𝑀} ↦ (𝐹‘𝑀))))
66		eqidd 2231	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → (𝐹‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
67		nfv 1576	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1))
68		nfcv 2373	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑀)
69	44, 26, 34, 61, 66, 67, 68	gsumfzsnfd 13955	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ {𝑀} ↦ (𝐹‘𝑀))) = (𝐹‘𝑀))
70	65, 69	eqtrd 2263	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑀))
71	9, 48, 70	3eqtr4rd 2274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
72	25	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐺 ∈ Mnd)
73	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
74		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
75	32	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
76	44, 45, 72, 73, 74, 75	gsumsplit1r 13504	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
77		gsumsplit0.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
78		uzp1 9795	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))))
79	77, 78	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))))
80	6	fveq2d 5646	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑀))
81	80	eleq2d 2300	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
82	81	orbi2d 797	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))) ↔ (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
83	79, 82	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
84	71, 76, 83	mpjaodan 805	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ∅c0 3493  {csn 3670  ⟨cop 3673   class class class wbr 4089   ↦ cmpt 4151   ↾ cres 4729  ⟶wf 5324  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  ℝcr 8036  1c1 8038   + caddc 8040   < clt 8219   ≤ cle 8220   − cmin 8355  ℤcz 9484  ℤ_≥cuz 9760  ...cfz 10248  Basecbs 13105  +_gcplusg 13183  0_gc0g 13362   Σ_g cgsu 13363  Mndcmnd 13522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-1o 6587  df-er 6707  df-en 6915  df-fin 6917  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-2 9207  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-fz 10249  df-seqfrec 10716  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-plusg 13196  df-0g 13364  df-igsum 13365  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-minusg 13610  df-mulg 13730

This theorem is referenced by:  gfsump1  16754