Theorem isclwwlknx 16158

Description: Characterization of a word representing a closed walk of a fixed length, definition of ClWWalks expanded. (Contributed by AV, 25-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 22-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
isclwwlknx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isclwwlknx.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isclwwlknx	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem isclwwlknx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
2		len0nnbi 11119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
3	2	biimprcd 160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ≠ ∅))
4	1, 3	biimtrrdi 164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ≠ ∅)))
5	4	impcom 125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ≠ ∅))
6	5	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 ≠ ∅)
7	6	biantrurd 305	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
8	7	bicomd 141	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
9	8	pm5.32da 452	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
10	9	ex 115	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))))
11	10	pm5.32rd 451	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
12		nnnn0 9387	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		isclwwlkng 16149	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
14	12, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
15		isclwwlknx.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
16		isclwwlknx.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
17	15, 16	isclwwlk 16137	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
18		3anass 1006	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
19		anass 401	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
20	17, 18, 19	3bitri 206	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))))
21	20	anbi1i 458	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
22	14, 21	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 ≠ ∅ ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
23		3anass 1006	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)))
24	23	anbi1i 458	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
25	24	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
26	11, 22, 25	3bitr4d 220	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∀wral 2508  ∅c0 3491  {cpr 3667  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  0cc0 8010  1c1 8011   + caddc 8013   − cmin 8328  ℕcn 9121  ℕ₀cn0 9380  ..^cfzo 10350  ♯chash 11009  Word cword 11084  lastSclsw 11129  Vtxcvtx 15829  Edgcedg 15874  ClWWalkscclwwlk 16134   ClWWalksN cclwwlkn 16146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-map 6805  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-ihash 11010  df-word 11085  df-ndx 13051  df-slot 13052  df-base 13054  df-vtx 15831  df-clwwlk 16135  df-clwwlkn 16147

This theorem is referenced by:  clwwlknp  16159  clwwlkn1  16160  clwwlkn2  16163  clwwlkext2edg  16164