Theorem isumdivapc 11982

Description: An infinite sum divided by a constant. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumcl.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumcl.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumcl.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumcl.5	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
summulc.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
isumdivapc.7	⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)

Assertion

Ref	Expression
isumdivapc	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 / 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 / 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumdivapc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumcl.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumcl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		isumcl.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
4		isumcl.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		isumcl.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
6		summulc.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7		isumdivapc.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 # 0)
8	6, 7	recclapd 8954	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	isummulc1 11981	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 · (1 / 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 · (1 / 𝐵)))
10	1, 2, 3, 4, 5	isumcl 11979	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ∈ ℂ)
11	10, 6, 7	divrecapd 8966	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 / 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 · (1 / 𝐵)))
12	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 # 0)
14	4, 12, 13	divrecapd 8966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
15	14	sumeq2dv 11922	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 / 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 · (1 / 𝐵)))
16	9, 11, 15	3eqtr4d 2272	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 / 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  dom cdm 4723  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8023  0cc0 8025  1c1 8026   + caddc 8028   · cmul 8030   # cap 8754   / cdiv 8845  ℤcz 9472  ℤ_≥cuz 9748  seqcseq 10702   ⇝ cli 11832  Σcsu 11907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-ihash 11031  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-clim 11833  df-sumdc 11908

This theorem is referenced by: (None)