![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > isumdivapc | GIF version |
Description: An infinite sum divided by a constant. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
isumcl.1 | โข ๐ = (โคโฅโ๐) |
isumcl.2 | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
isumcl.3 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด) |
isumcl.4 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) |
isumcl.5 | โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ ) |
summulc.6 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
isumdivapc.7 | โข (๐ โ ๐ต # 0) |
Ref | Expression |
---|---|
isumdivapc | โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด / ๐ต) = ฮฃ๐ โ ๐ (๐ด / ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | isumcl.1 | . . 3 โข ๐ = (โคโฅโ๐) | |
2 | isumcl.2 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โค) | |
3 | isumcl.3 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ๐ด) | |
4 | isumcl.4 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ด โ โ) | |
5 | isumcl.5 | . . 3 โข (๐ โ seq๐( + , ๐น) โ dom โ ) | |
6 | summulc.6 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
7 | isumdivapc.7 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต # 0) | |
8 | 6, 7 | recclapd 8741 | . . 3 โข (๐ โ (1 / ๐ต) โ โ) |
9 | 1, 2, 3, 4, 5, 8 | isummulc1 11438 | . 2 โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด ยท (1 / ๐ต)) = ฮฃ๐ โ ๐ (๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
10 | 1, 2, 3, 4, 5 | isumcl 11436 | . . 3 โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด โ โ) |
11 | 10, 6, 7 | divrecapd 8753 | . 2 โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด / ๐ต) = (ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
12 | 6 | adantr 276 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ต โ โ) |
13 | 7 | adantr 276 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ต # 0) |
14 | 4, 12, 13 | divrecapd 8753 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
15 | 14 | sumeq2dv 11379 | . 2 โข (๐ โ ฮฃ๐ โ ๐ (๐ด / ๐ต) = ฮฃ๐ โ ๐ (๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
16 | 9, 11, 15 | 3eqtr4d 2220 | 1 โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ ๐ ๐ด / ๐ต) = ฮฃ๐ โ ๐ (๐ด / ๐ต)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 = wceq 1353 โ wcel 2148 class class class wbr 4005 dom cdm 4628 โcfv 5218 (class class class)co 5878 โcc 7812 0cc0 7814 1c1 7815 + caddc 7817 ยท cmul 7819 # cap 8541 / cdiv 8632 โคcz 9256 โคโฅcuz 9531 seqcseq 10448 โ cli 11289 ฮฃcsu 11364 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7905 ax-resscn 7906 ax-1cn 7907 ax-1re 7908 ax-icn 7909 ax-addcl 7910 ax-addrcl 7911 ax-mulcl 7912 ax-mulrcl 7913 ax-addcom 7914 ax-mulcom 7915 ax-addass 7916 ax-mulass 7917 ax-distr 7918 ax-i2m1 7919 ax-0lt1 7920 ax-1rid 7921 ax-0id 7922 ax-rnegex 7923 ax-precex 7924 ax-cnre 7925 ax-pre-ltirr 7926 ax-pre-ltwlin 7927 ax-pre-lttrn 7928 ax-pre-apti 7929 ax-pre-ltadd 7930 ax-pre-mulgt0 7931 ax-pre-mulext 7932 ax-arch 7933 ax-caucvg 7934 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-isom 5227 df-riota 5834 df-ov 5881 df-oprab 5882 df-mpo 5883 df-1st 6144 df-2nd 6145 df-recs 6309 df-irdg 6374 df-frec 6395 df-1o 6420 df-oadd 6424 df-er 6538 df-en 6744 df-dom 6745 df-fin 6746 df-pnf 7997 df-mnf 7998 df-xr 7999 df-ltxr 8000 df-le 8001 df-sub 8133 df-neg 8134 df-reap 8535 df-ap 8542 df-div 8633 df-inn 8923 df-2 8981 df-3 8982 df-4 8983 df-n0 9180 df-z 9257 df-uz 9532 df-q 9623 df-rp 9657 df-fz 10012 df-fzo 10146 df-seqfrec 10449 df-exp 10523 df-ihash 10759 df-cj 10854 df-re 10855 df-im 10856 df-rsqrt 11010 df-abs 11011 df-clim 11290 df-sumdc 11365 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |