Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isumdivapc GIF version

Theorem isumdivapc 11318
 Description: An infinite sum divided by a constant. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumcl.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumcl.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumcl.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumcl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumcl.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
summulc.6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
isumdivapc.7 (𝜑𝐵 # 0)
Assertion
Ref Expression
isumdivapc (𝜑 → (Σ𝑘𝑍 𝐴 / 𝐵) = Σ𝑘𝑍 (𝐴 / 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumdivapc
StepHypRef Expression
1 isumcl.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumcl.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 isumcl.3 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
4 isumcl.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 isumcl.5 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
6 summulc.6 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
7 isumdivapc.7 . . . 4 (𝜑𝐵 # 0)
86, 7recclapd 8648 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
91, 2, 3, 4, 5, 8isummulc1 11317 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝑍 𝐴 · (1 / 𝐵)) = Σ𝑘𝑍 (𝐴 · (1 / 𝐵)))
101, 2, 3, 4, 5isumcl 11315 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 ∈ ℂ)
1110, 6, 7divrecapd 8660 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝑍 𝐴 / 𝐵) = (Σ𝑘𝑍 𝐴 · (1 / 𝐵)))
126adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
137adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 # 0)
144, 12, 13divrecapd 8660 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
1514sumeq2dv 11258 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 (𝐴 / 𝐵) = Σ𝑘𝑍 (𝐴 · (1 / 𝐵)))
169, 11, 153eqtr4d 2200 1 (𝜑 → (Σ𝑘𝑍 𝐴 / 𝐵) = Σ𝑘𝑍 (𝐴 / 𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  dom cdm 4585  ‘cfv 5169  (class class class)co 5821  ℂcc 7724  0cc0 7726  1c1 7727   + caddc 7729   · cmul 7731   # cap 8450   / cdiv 8539  ℤcz 9161  ℤ≥cuz 9433  seqcseq 10337   ⇝ cli 11168  Σcsu 11243 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-fz 9906  df-fzo 10035  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-ihash 10643  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-clim 11169  df-sumdc 11244 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator