Theorem repiecef 16804

Description: Piecewise definition on the reals yields a function. The function agrees with 𝐹 and 𝐺 on their respective parts of the real line; see repiecele0 16802 and repiecege0 16803. From an online post by James E Hanson. The construction was published in Martín Hötzel Escardó, "Effective and sequential definition by cases on the reals via infinite signed-digit numerals", Electronic Notes in Theoretical Computer Science 10 (1998), page 2, https://martinescardo.github.io/papers/lexnew.pdf. 16803 (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
repiece.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(-∞(,]0)⟶ℝ)
repiece.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:(0[,)+∞)⟶ℝ)
repiece.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
repiece.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)))

Assertion

Ref	Expression
repiecef	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℝ⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem repiecef

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repiece.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(-∞(,]0)⟶ℝ)
2		repiece.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0[,)+∞)⟶ℝ)
3		repiece.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
4		repiece.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)))
5	1, 2, 3, 4	repiecelem 16801	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐹‘inf({𝑦, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑦, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) ∈ ℝ)
6	5	ralrimiva 2615	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝐹‘inf({𝑦, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑦, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) ∈ ℝ)
7		preq1 3767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → {𝑦, 0} = {𝑥, 0})
8	7	infeq1d 7302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → inf({𝑦, 0}, ℝ, < ) = inf({𝑥, 0}, ℝ, < ))
9	8	fveq2d 5673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘inf({𝑦, 0}, ℝ, < )) = (𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )))
10	7	supeq1d 7277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → sup({𝑦, 0}, ℝ, < ) = sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))
11	10	fveq2d 5673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘sup({𝑦, 0}, ℝ, < )) = (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < )))
12	9, 11	oveq12d 6067	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘inf({𝑦, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑦, 0}, ℝ, < ))) = ((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))))
13	12	oveq1d 6064	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝐹‘inf({𝑦, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑦, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) = (((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)))
14	13	eleq1d 2301	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((((𝐹‘inf({𝑦, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑦, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) ∈ ℝ ↔ (((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) ∈ ℝ))
15	14	cbvralv 2777	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ (((𝐹‘inf({𝑦, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑦, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) ∈ ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) ∈ ℝ)
16	6, 15	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) ∈ ℝ)
17	4	fmpt 5826	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ (((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) ∈ ℝ ↔ 𝐻:ℝ⟶ℝ)
18	16, 17	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  {cpr 3689   ↦ cmpt 4170  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  supcsup 7272  infcinf 7273  ℝcr 8125  0cc0 8126   + caddc 8129  +∞cpnf 8304  -∞cmnf 8305   < clt 8307   − cmin 8443  (,]cioc 10221  [,)cico 10222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-sup 7274  df-inf 7275  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-rp 9986  df-ioc 10225  df-ico 10226  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680

This theorem is referenced by: (None)