Theorem repiecelem 17297

Description: Lemma for repiecele0 17298, repiecege0 17299, and repiecef 17300. The function 𝐻 is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
repiece.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(-∞(,]0)⟶ℝ)
repiece.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:(0[,)+∞)⟶ℝ)
repiece.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
repiece.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)))

Assertion

Ref	Expression
repiecelem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem repiecelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repiece.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(-∞(,]0)⟶ℝ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹:(-∞(,]0)⟶ℝ)
3		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		0re 8332	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		mincl 12020	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	sylancl 417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7		mnflt 10201	. . . . . 6 ⊢ (inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ → -∞ < inf({𝐴, 0}, ℝ, < ))
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → -∞ < inf({𝐴, 0}, ℝ, < ))
9		min2inf 12022	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) ≤ 0)
10	3, 4, 9	sylancl 417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) ≤ 0)
11		mnfxr 8388	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
12		elioc2 10354	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ (-∞(,]0) ↔ (inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ -∞ < inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∧ inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) ≤ 0)))
13	11, 4, 12	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ (inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ (-∞(,]0) ↔ (inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ -∞ < inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∧ inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) ≤ 0))
14	6, 8, 10, 13	syl3anbrc 1212	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ (-∞(,]0))
15	2, 14	ffvelcdmd 5847	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
16		repiece.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0[,)+∞)⟶ℝ)
17	16	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐺:(0[,)+∞)⟶ℝ)
18		maxcl 11998	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
19	3, 4, 18	sylancl 417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
20		maxle2 12000	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → 0 ≤ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))
21	3, 4, 20	sylancl 417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))
22	19	ltpnfd 10199	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) < +∞)
23		pnfxr 8384	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
24		elico2 10355	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ (0[,)+∞) ↔ (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∧ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) < +∞)))
25	4, 23, 24	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ (0[,)+∞) ↔ (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∧ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) < +∞))
26	19, 21, 22, 25	syl3anbrc 1212	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ (0[,)+∞))
27	17, 26	ffvelcdmd 5847	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
28	15, 27	readdcld 8361	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) ∈ ℝ)
29		0xr 8378	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
30		mnflt0 10202	. . . . 5 ⊢ -∞ < 0
31		ubioc1 10347	. . . . 5 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0) → 0 ∈ (-∞(,]0))
32	11, 29, 30, 31	mp3an 1378	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (-∞(,]0)
33	32	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ∈ (-∞(,]0))
34	2, 33	ffvelcdmd 5847	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐹‘0) ∈ ℝ)
35	28, 34	resubcld 8715	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cpr 3710   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  supcsup 7328  infcinf 7329  ℝcr 8184  0cc0 8185   + caddc 8188  +∞cpnf 8363  -∞cmnf 8364  ℝ^*cxr 8365   < clt 8366   ≤ cle 8367   − cmin 8504  (,]cioc 10307  [,)cico 10308

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-frec 6667  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9654  df-uz 9937  df-rp 10071  df-ioc 10311  df-ico 10312  df-seqfrec 10905  df-exp 10996  df-cj 11628  df-re 11629  df-im 11630  df-rsqrt 11785  df-abs 11786

This theorem is used by:  repiecele0  17298  repiecege0  17299  repiecef  17300