Theorem repiecele0 16859

Description: Piecewise definition on the reals agrees with the nonpositive part of the definition. See repiecef 16861 for more on this construction. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
repiece.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(-∞(,]0)⟶ℝ)
repiece.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:(0[,)+∞)⟶ℝ)
repiece.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
repiece.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)))

Assertion

Ref	Expression
repiecele0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐻‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem repiecele0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repiece.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)))
2		preq1 3770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥, 0} = {𝐴, 0})
3	2	infeq1d 7305	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → inf({𝑥, 0}, ℝ, < ) = inf({𝐴, 0}, ℝ, < ))
4	3	fveq2d 5676	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) = (𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )))
5	2	supeq1d 7280	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → sup({𝑥, 0}, ℝ, < ) = sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))
6	5	fveq2d 5676	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < )) = (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < )))
7	4, 6	oveq12d 6070	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))) = ((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))))
8	7	oveq1d 6067	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) = (((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)))
9		simp2 1025	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		repiece.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(-∞(,]0)⟶ℝ)
11		repiece.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0[,)+∞)⟶ℝ)
12		repiece.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
13	10, 11, 12, 1	repiecelem 16858	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) ∈ ℝ)
14	13	3adant3 1044	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) ∈ ℝ)
15	1, 8, 9, 14	fvmptd3 5773	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐻‘𝐴) = (((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)))
16		simp3 1026	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
17		0re 8279	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		mingeb 11935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) = 𝐴))
19	9, 17, 18	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 ≤ 0 ↔ inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) = 𝐴))
20	16, 19	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) = 𝐴)
21	20	fveq2d 5676	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) = (𝐹‘𝐴))
22		maxleb 11909	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = 0))
23	9, 17, 22	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 ≤ 0 ↔ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = 0))
24	16, 23	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = 0)
25	24	fveq2d 5676	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < )) = (𝐺‘0))
26	12	3ad2ant1 1045	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
27	25, 26	eqtr4d 2270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < )) = (𝐹‘0))
28	21, 27	oveq12d 6070	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) = ((𝐹‘𝐴) + (𝐹‘0)))
29	28	oveq1d 6067	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) = (((𝐹‘𝐴) + (𝐹‘0)) − (𝐹‘0)))
30	10	3ad2ant1 1045	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐹:(-∞(,]0)⟶ℝ)
31		mnflt 10122	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
32	9, 31	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → -∞ < 𝐴)
33		mnfxr 8335	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
34		elioc2 10275	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0)))
35	33, 17, 34	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0))
36	9, 32, 16, 35	syl3anbrc 1208	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
37	30, 36	ffvelcdmd 5815	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
38	37	recnd 8307	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
39	11	3ad2ant1 1045	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐺:(0[,)+∞)⟶ℝ)
40		maxcl 11903	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
41	9, 17, 40	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
42		maxle2 11905	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → 0 ≤ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))
43	9, 17, 42	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))
44	41	ltpnfd 10120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) < +∞)
45		pnfxr 8331	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
46		elico2 10276	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ (0[,)+∞) ↔ (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∧ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) < +∞)))
47	17, 45, 46	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ (0[,)+∞) ↔ (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∧ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) < +∞))
48	41, 43, 44, 47	syl3anbrc 1208	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ (0[,)+∞))
49	39, 48	ffvelcdmd 5815	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
50	27, 49	eqeltrrd 2312	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐹‘0) ∈ ℝ)
51	50	recnd 8307	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
52	38, 51	pncand 8590	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (((𝐹‘𝐴) + (𝐹‘0)) − (𝐹‘0)) = (𝐹‘𝐴))
53	15, 29, 52	3eqtrd 2271	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐻‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {cpr 3692   class class class wbr 4111   ↦ cmpt 4173  ⟶wf 5350  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  supcsup 7275  infcinf 7276  ℝcr 8131  0cc0 8132   + caddc 8135  +∞cpnf 8310  -∞cmnf 8311  ℝ^*cxr 8312   < clt 8313   ≤ cle 8314   − cmin 8449  (,]cioc 10228  [,)cico 10229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-sup 7277  df-inf 7278  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-rp 9993  df-ioc 10232  df-ico 10233  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692

This theorem is referenced by: (None)