Theorem repiecele0 16949

Description: Piecewise definition on the reals agrees with the nonpositive part of the definition. See repiecef 16951 for more on this construction. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
repiece.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(-∞(,]0)⟶ℝ)
repiece.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:(0[,)+∞)⟶ℝ)
repiece.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
repiece.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)))

Assertion

Ref	Expression
repiecele0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐻‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem repiecele0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repiece.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)))
2		preq1 3773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥, 0} = {𝐴, 0})
3	2	infeq1d 7316	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → inf({𝑥, 0}, ℝ, < ) = inf({𝐴, 0}, ℝ, < ))
4	3	fveq2d 5679	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) = (𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )))
5	2	supeq1d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → sup({𝑥, 0}, ℝ, < ) = sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))
6	5	fveq2d 5679	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < )) = (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < )))
7	4, 6	oveq12d 6076	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))) = ((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))))
8	7	oveq1d 6073	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) = (((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)))
9		simp2 1025	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		repiece.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(-∞(,]0)⟶ℝ)
11		repiece.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0[,)+∞)⟶ℝ)
12		repiece.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
13	10, 11, 12, 1	repiecelem 16948	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) ∈ ℝ)
14	13	3adant3 1044	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) ∈ ℝ)
15	1, 8, 9, 14	fvmptd3 5776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐻‘𝐴) = (((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)))
16		simp3 1026	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
17		0re 8290	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		mingeb 11955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) = 𝐴))
19	9, 17, 18	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 ≤ 0 ↔ inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) = 𝐴))
20	16, 19	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) = 𝐴)
21	20	fveq2d 5679	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) = (𝐹‘𝐴))
22		maxleb 11929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = 0))
23	9, 17, 22	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 ≤ 0 ↔ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = 0))
24	16, 23	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = 0)
25	24	fveq2d 5679	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < )) = (𝐺‘0))
26	12	3ad2ant1 1045	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
27	25, 26	eqtr4d 2270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < )) = (𝐹‘0))
28	21, 27	oveq12d 6076	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) = ((𝐹‘𝐴) + (𝐹‘0)))
29	28	oveq1d 6073	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) = (((𝐹‘𝐴) + (𝐹‘0)) − (𝐹‘0)))
30	10	3ad2ant1 1045	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐹:(-∞(,]0)⟶ℝ)
31		mnflt 10138	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
32	9, 31	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → -∞ < 𝐴)
33		mnfxr 8346	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
34		elioc2 10291	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0)))
35	33, 17, 34	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0))
36	9, 32, 16, 35	syl3anbrc 1208	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
37	30, 36	ffvelcdmd 5818	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
38	37	recnd 8318	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
39	11	3ad2ant1 1045	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐺:(0[,)+∞)⟶ℝ)
40		maxcl 11923	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
41	9, 17, 40	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
42		maxle2 11925	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → 0 ≤ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))
43	9, 17, 42	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))
44	41	ltpnfd 10136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) < +∞)
45		pnfxr 8342	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
46		elico2 10292	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ (0[,)+∞) ↔ (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∧ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) < +∞)))
47	17, 45, 46	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ (0[,)+∞) ↔ (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∧ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) < +∞))
48	41, 43, 44, 47	syl3anbrc 1208	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ (0[,)+∞))
49	39, 48	ffvelcdmd 5818	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
50	27, 49	eqeltrrd 2312	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐹‘0) ∈ ℝ)
51	50	recnd 8318	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
52	38, 51	pncand 8602	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (((𝐹‘𝐴) + (𝐹‘0)) − (𝐹‘0)) = (𝐹‘𝐴))
53	15, 29, 52	3eqtrd 2271	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐻‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {cpr 3695   class class class wbr 4114   ↦ cmpt 4176  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  supcsup 7286  infcinf 7287  ℝcr 8142  0cc0 8143   + caddc 8146  +∞cpnf 8321  -∞cmnf 8322  ℝ^*cxr 8323   < clt 8324   ≤ cle 8325   − cmin 8461  (,]cioc 10244  [,)cico 10245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-rp 10008  df-ioc 10248  df-ico 10249  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557  df-rsqrt 11711  df-abs 11712

This theorem is referenced by: (None)