Theorem repiecele0 16697

Description: Piecewise definition on the reals agrees with the nonpositive part of the definition. See repiecef 16699 for more on this construction. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
repiece.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(-∞(,]0)⟶ℝ)
repiece.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:(0[,)+∞)⟶ℝ)
repiece.0	⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
repiece.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)))

Assertion

Ref	Expression
repiecele0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐻‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem repiecele0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repiece.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)))
2		preq1 3749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥, 0} = {𝐴, 0})
3	2	infeq1d 7216	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → inf({𝑥, 0}, ℝ, < ) = inf({𝐴, 0}, ℝ, < ))
4	3	fveq2d 5646	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) = (𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )))
5	2	supeq1d 7191	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → sup({𝑥, 0}, ℝ, < ) = sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))
6	5	fveq2d 5646	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < )) = (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < )))
7	4, 6	oveq12d 6041	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))) = ((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))))
8	7	oveq1d 6038	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝐹‘inf({𝑥, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝑥, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) = (((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)))
9		simp2 1024	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		repiece.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(-∞(,]0)⟶ℝ)
11		repiece.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(0[,)+∞)⟶ℝ)
12		repiece.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
13	10, 11, 12, 1	repiecelem 16696	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) ∈ ℝ)
14	13	3adant3 1043	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) ∈ ℝ)
15	1, 8, 9, 14	fvmptd3 5743	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐻‘𝐴) = (((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)))
16		simp3 1025	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
17		0re 8184	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
18		mingeb 11825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) = 𝐴))
19	9, 17, 18	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 ≤ 0 ↔ inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) = 𝐴))
20	16, 19	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → inf({𝐴, 0}, ℝ, < ) = 𝐴)
21	20	fveq2d 5646	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) = (𝐹‘𝐴))
22		maxleb 11799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = 0))
23	9, 17, 22	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 ≤ 0 ↔ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = 0))
24	16, 23	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) = 0)
25	24	fveq2d 5646	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < )) = (𝐺‘0))
26	12	3ad2ant1 1044	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
27	25, 26	eqtr4d 2266	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < )) = (𝐹‘0))
28	21, 27	oveq12d 6041	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → ((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) = ((𝐹‘𝐴) + (𝐹‘0)))
29	28	oveq1d 6038	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (((𝐹‘inf({𝐴, 0}, ℝ, < )) + (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))) − (𝐹‘0)) = (((𝐹‘𝐴) + (𝐹‘0)) − (𝐹‘0)))
30	10	3ad2ant1 1044	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐹:(-∞(,]0)⟶ℝ)
31		mnflt 10023	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
32	9, 31	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → -∞ < 𝐴)
33		mnfxr 8241	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
34		elioc2 10176	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0)))
35	33, 17, 34	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0))
36	9, 32, 16, 35	syl3anbrc 1207	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
37	30, 36	ffvelcdmd 5786	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
38	37	recnd 8213	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
39	11	3ad2ant1 1044	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐺:(0[,)+∞)⟶ℝ)
40		maxcl 11793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
41	9, 17, 40	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
42		maxle2 11795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → 0 ≤ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))
43	9, 17, 42	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ))
44	41	ltpnfd 10021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) < +∞)
45		pnfxr 8237	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
46		elico2 10177	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ (0[,)+∞) ↔ (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∧ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) < +∞)))
47	17, 45, 46	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ (0[,)+∞) ↔ (sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∧ sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) < +∞))
48	41, 43, 44, 47	syl3anbrc 1207	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → sup({𝐴, 0}, ℝ, < ) ∈ (0[,)+∞))
49	39, 48	ffvelcdmd 5786	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐺‘sup({𝐴, 0}, ℝ, < )) ∈ ℝ)
50	27, 49	eqeltrrd 2308	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐹‘0) ∈ ℝ)
51	50	recnd 8213	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
52	38, 51	pncand 8496	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (((𝐹‘𝐴) + (𝐹‘0)) − (𝐹‘0)) = (𝐹‘𝐴))
53	15, 29, 52	3eqtrd 2267	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (𝐻‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  {cpr 3671   class class class wbr 4089   ↦ cmpt 4151  ⟶wf 5324  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  supcsup 7186  infcinf 7187  ℝcr 8036  0cc0 8037   + caddc 8040  +∞cpnf 8216  -∞cmnf 8217  ℝ^*cxr 8218   < clt 8219   ≤ cle 8220   − cmin 8355  (,]cioc 10129  [,)cico 10130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-isom 5337  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-sup 7188  df-inf 7189  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-rp 9894  df-ioc 10133  df-ico 10134  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582

This theorem is referenced by: (None)