Theorem umgrclwwlkge2 16809

Description: A closed walk in a multigraph has a length of at least 2 (because it cannot have a loop). (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
umgrclwwlkge2	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Proof of Theorem umgrclwwlkge2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	clwwlkbp 16802	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅))
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅))
4		lencl 11324	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant2 1050	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
6	5	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
7		wrdfin 11339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑃 ∈ Fin)
8		fihasheq0 11248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Fin → ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
10	9	bicomd 141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 = ∅ ↔ (♯‘𝑃) = 0))
11	10	necon3bid 2461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑃) ≠ 0))
12	11	biimpd 144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ → (♯‘𝑃) ≠ 0))
13	12	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ → (♯‘𝑃) ≠ 0)))
14	13	3imp 1224	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 0)
15	14	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 0)
16	6	nn0zd 9771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
17		1z 9675	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
18		zdceq 9725	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (♯‘𝑃) = 1)
19	16, 17, 18	sylancl 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → DECID (♯‘𝑃) = 1)
20		exmiddc 848	. . . . . . 7 ⊢ (DECID (♯‘𝑃) = 1 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ ¬ (♯‘𝑃) = 1))
21	19, 20	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ ¬ (♯‘𝑃) = 1))
22		clwwlk1loop 16806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 1) → {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
23	22	expcom 116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
24		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃‘0) = (𝑃‘0)
25		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
26	25	umgredgne 16557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘0))
27		eqneqall 2430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘0) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘0) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1)))
28	24, 26, 27	mpsyl 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1))
29	28	expcom 116	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1)))
30	23, 29	syl6 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1))))
31	30	com23 78	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1))))
32	31	imp4c 351	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 1))
33		neqne 2428	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (♯‘𝑃) = 1 → (♯‘𝑃) ≠ 1)
34	33	a1d 22	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (♯‘𝑃) = 1 → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 1))
35	32, 34	jaoi 728	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑃) = 1 ∨ ¬ (♯‘𝑃) = 1) → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 1))
36	21, 35	mpcom 36	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 1)
37	6, 15, 36	3jca 1208	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 1))
38	3, 37	mpdan 425	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 1))
39		nn0n0n1ge2 9720	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
40	38, 39	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
41	40	ex 115	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 2 ≤ (♯‘𝑃)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  Vcvv 2821  ∅c0 3520  {cpr 3710   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  Fincfn 7022  0cc0 8180  1c1 8181   ≤ cle 8362  2c2 9358  ℕ₀cn0 9568  ℤcz 9649  ♯chash 11230  Word cword 11320  Vtxcvtx 16419  Edgcedg 16464  UMGraphcumgr 16499  ClWWalkscclwwlk 16798

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-dec 9783  df-uz 9932  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-ihash 11231  df-word 11321  df-lsw 11366  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-edgf 16412  df-vtx 16421  df-iedg 16422  df-edg 16465  df-umgren 16501  df-clwwlk 16799

This theorem is used by: (None)