Theorem gsumwsubmcl 13138

Description: Closure of the composite in any submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gsumwsubmcl	⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumwsubmcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5931	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ∅))
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 = ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ∅))
3		submrcl 13113	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
4		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	4	gsum0g 13049	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
6	3, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
7	6	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 = ∅) → (𝐺 Σg ∅) = (0g‘𝐺))
8	2, 7	eqtrd 2229	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 = ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) = (0g‘𝐺))
9	4	subm0cl 13120	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
10	9	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 = ∅) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑆)
11	8, 10	eqeltrd 2273	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 = ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)
12		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
14	3	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ Mnd)
15		lennncl 10957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
16	15	adantll 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
17		nnm1nn0 9292	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
19		nn0uz 9638	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
20	18, 19	eleqtrdi 2289	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
21		wrdf 10943	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
22	21	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
23	16	nnzd 9449	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
24		fzoval 10225	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
26	25	feq2d 5396	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ↔ 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝑆))
27	22, 26	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝑆)
28	12	submss 13118	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
29	28	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
30	27, 29	fssd 5421	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝐺))
31	12, 13, 14, 20, 30	gsumval2 13050	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) = (seq0((+g‘𝐺), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
32		fvexg 5578	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝑊‘𝑥) ∈ V)
33	32	ad4ant24 516	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝑊‘𝑥) ∈ V)
34	27	ffvelcdmda 5698	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘𝑥) ∈ 𝑆)
35	13	submcl 13121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
36	35	3expb 1206	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
37	36	ad4ant14 514	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
38		ssv 3206	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ V
39	38	a1i 9	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ V)
40		simprl 529	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → 𝑥 ∈ V)
41	14	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → 𝐺 ∈ Mnd)
42		plusgslid 12800	. . . . . . 7 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
43	42	slotex 12715	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (+g‘𝐺) ∈ V)
44	41, 43	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (+g‘𝐺) ∈ V)
45		simprr 531	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → 𝑦 ∈ V)
46		ovexg 5957	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ (+g‘𝐺) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ V)
47	40, 44, 45, 46	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ V)
48	20, 33, 34, 37, 39, 47	seq3clss 10565	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (seq0((+g‘𝐺), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑆)
49	31, 48	eqeltrd 2273	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)
50		wrdfin 10956	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)
51		fin0or 6948	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (𝑊 = ∅ ∨ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑊))
52	50, 51	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 = ∅ ∨ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑊))
53		n0r 3465	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑊 → 𝑊 ≠ ∅)
54	53	orim2i 762	. . . 4 ⊢ ((𝑊 = ∅ ∨ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑊) → (𝑊 = ∅ ∨ 𝑊 ≠ ∅))
55	52, 54	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 = ∅ ∨ 𝑊 ≠ ∅))
56	55	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (𝑊 = ∅ ∨ 𝑊 ≠ ∅))
57	11, 49, 56	mpjaodan 799	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  ∅c0 3451  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923  Fincfn 6800  0cc0 7881  1c1 7882   − cmin 8199  ℕcn 8992  ℕ₀cn0 9251  ℤcz 9328  ℤ_≥cuz 9603  ...cfz 10085  ..^cfzo 10219  seqcseq 10541  ♯chash 10869  Word cword 10937  Basecbs 12688  +_gcplusg 12765  0_gc0g 12937   Σ_g cgsu 12938  Mndcmnd 13067  SubMndcsubmnd 13100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-1o 6475  df-er 6593  df-en 6801  df-dom 6802  df-fin 6803  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-inn 8993  df-2 9051  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-seqfrec 10542  df-ihash 10870  df-word 10938  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-plusg 12778  df-0g 12939  df-igsum 12940  df-submnd 13102

This theorem is referenced by:  gsumwcl  13139