ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gsumwsubmcl GIF version

Theorem gsumwsubmcl 13068
Description: Closure of the composite in any submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
gsumwsubmcl ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumwsubmcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5926 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ∅))
21adantl 277 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 = ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ∅))
3 submrcl 13043 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
4 eqid 2193 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
54gsum0g 12979 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺))
63, 5syl 14 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺))
76ad2antrr 488 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 = ∅) → (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺))
82, 7eqtrd 2226 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 = ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) = (0g𝐺))
94subm0cl 13050 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
109ad2antrr 488 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 = ∅) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
118, 10eqeltrd 2270 . 2 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 = ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)
12 eqid 2193 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13 eqid 2193 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
143ad2antrr 488 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ Mnd)
15 lennncl 10934 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
1615adantll 476 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
17 nnm1nn0 9281 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
1816, 17syl 14 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
19 nn0uz 9627 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
2018, 19eleqtrdi 2286 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘0))
21 wrdf 10920 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
2221ad2antlr 489 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
2316nnzd 9438 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
24 fzoval 10214 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
2523, 24syl 14 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
2625feq2d 5391 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝑆))
2722, 26mpbid 147 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝑆)
2812submss 13048 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
2928ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3027, 29fssd 5416 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝐺))
3112, 13, 14, 20, 30gsumval2 12980 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) = (seq0((+g𝐺), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
32 fvexg 5573 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑥 ∈ (ℤ‘0)) → (𝑊𝑥) ∈ V)
3332ad4ant24 516 . . . 4 ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘0)) → (𝑊𝑥) ∈ V)
3427ffvelcdmda 5693 . . . 4 ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊𝑥) ∈ 𝑆)
3513submcl 13051 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
36353expb 1206 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
3736ad4ant14 514 . . . 4 ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
38 ssv 3201 . . . . 5 𝑆 ⊆ V
3938a1i 9 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ V)
40 simprl 529 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → 𝑥 ∈ V)
4114adantr 276 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → 𝐺 ∈ Mnd)
42 plusgslid 12730 . . . . . . 7 (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
4342slotex 12645 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → (+g𝐺) ∈ V)
4441, 43syl 14 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (+g𝐺) ∈ V)
45 simprr 531 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → 𝑦 ∈ V)
46 ovexg 5952 . . . . 5 ((𝑥 ∈ V ∧ (+g𝐺) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ V)
4740, 44, 45, 46syl3anc 1249 . . . 4 ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ V)
4820, 33, 34, 37, 39, 47seq3clss 10542 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (seq0((+g𝐺), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑆)
4931, 48eqeltrd 2270 . 2 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)
50 wrdfin 10933 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Fin)
51 fin0or 6942 . . . . 5 (𝑊 ∈ Fin → (𝑊 = ∅ ∨ ∃𝑗 𝑗𝑊))
5250, 51syl 14 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 = ∅ ∨ ∃𝑗 𝑗𝑊))
53 n0r 3460 . . . . 5 (∃𝑗 𝑗𝑊𝑊 ≠ ∅)
5453orim2i 762 . . . 4 ((𝑊 = ∅ ∨ ∃𝑗 𝑗𝑊) → (𝑊 = ∅ ∨ 𝑊 ≠ ∅))
5552, 54syl 14 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 = ∅ ∨ 𝑊 ≠ ∅))
5655adantl 277 . 2 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (𝑊 = ∅ ∨ 𝑊 ≠ ∅))
5711, 49, 56mpjaodan 799 1 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 709   = wceq 1364  wex 1503  wcel 2164  wne 2364  Vcvv 2760  wss 3153  c0 3446  wf 5250  cfv 5254  (class class class)co 5918  Fincfn 6794  0cc0 7872  1c1 7873  cmin 8190  cn 8982  0cn0 9240  cz 9317  cuz 9592  ...cfz 10074  ..^cfzo 10208  seqcseq 10518  chash 10846  Word cword 10914  Basecbs 12618  +gcplusg 12695  0gc0g 12867   Σg cgsu 12868  Mndcmnd 12997  SubMndcsubmnd 13030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-ihash 10847  df-word 10915  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-igsum 12870  df-submnd 13032
This theorem is referenced by:  gsumwcl  13069
  Copyright terms: Public domain W3C validator