ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gsumwsubmcl GIF version

Theorem gsumwsubmcl 13058
Description: Closure of the composite in any submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
gsumwsubmcl ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumwsubmcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5918 . . . . 5 (𝑊 = ∅ → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ∅))
21adantl 277 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 = ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ∅))
3 submrcl 13033 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ Mnd)
4 eqid 2193 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
54gsum0g 12969 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺))
63, 5syl 14 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺))
76ad2antrr 488 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 = ∅) → (𝐺 Σg ∅) = (0g𝐺))
82, 7eqtrd 2226 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 = ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) = (0g𝐺))
94subm0cl 13040 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
109ad2antrr 488 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 = ∅) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
118, 10eqeltrd 2270 . 2 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 = ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)
12 eqid 2193 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13 eqid 2193 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
143ad2antrr 488 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ Mnd)
15 lennncl 10924 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
1615adantll 476 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
17 nnm1nn0 9271 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
1816, 17syl 14 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
19 nn0uz 9617 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
2018, 19eleqtrdi 2286 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (ℤ‘0))
21 wrdf 10910 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
2221ad2antlr 489 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
2316nnzd 9428 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
24 fzoval 10204 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
2523, 24syl 14 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
2625feq2d 5383 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝑆))
2722, 26mpbid 147 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶𝑆)
2812submss 13038 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
2928ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3027, 29fssd 5408 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊:(0...((♯‘𝑊) − 1))⟶(Base‘𝐺))
3112, 13, 14, 20, 30gsumval2 12970 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) = (seq0((+g𝐺), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)))
32 fvexg 5565 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑥 ∈ (ℤ‘0)) → (𝑊𝑥) ∈ V)
3332ad4ant24 516 . . . 4 ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘0)) → (𝑊𝑥) ∈ V)
3427ffvelcdmda 5685 . . . 4 ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊𝑥) ∈ 𝑆)
3513submcl 13041 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
36353expb 1206 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
3736ad4ant14 514 . . . 4 ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
38 ssv 3201 . . . . 5 𝑆 ⊆ V
3938a1i 9 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ V)
40 simprl 529 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → 𝑥 ∈ V)
4114adantr 276 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → 𝐺 ∈ Mnd)
42 plusgslid 12720 . . . . . . 7 (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
4342slotex 12635 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → (+g𝐺) ∈ V)
4441, 43syl 14 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (+g𝐺) ∈ V)
45 simprr 531 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → 𝑦 ∈ V)
46 ovexg 5944 . . . . 5 ((𝑥 ∈ V ∧ (+g𝐺) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ V)
4740, 44, 45, 46syl3anc 1249 . . . 4 ((((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ V)
4820, 33, 34, 37, 39, 47seq3clss 10532 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (seq0((+g𝐺), 𝑊)‘((♯‘𝑊) − 1)) ∈ 𝑆)
4931, 48eqeltrd 2270 . 2 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)
50 wrdfin 10923 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊 ∈ Fin)
51 fin0or 6933 . . . . 5 (𝑊 ∈ Fin → (𝑊 = ∅ ∨ ∃𝑗 𝑗𝑊))
5250, 51syl 14 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 = ∅ ∨ ∃𝑗 𝑗𝑊))
53 n0r 3460 . . . . 5 (∃𝑗 𝑗𝑊𝑊 ≠ ∅)
5453orim2i 762 . . . 4 ((𝑊 = ∅ ∨ ∃𝑗 𝑗𝑊) → (𝑊 = ∅ ∨ 𝑊 ≠ ∅))
5552, 54syl 14 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (𝑊 = ∅ ∨ 𝑊 ≠ ∅))
5655adantl 277 . 2 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (𝑊 = ∅ ∨ 𝑊 ≠ ∅))
5711, 49, 56mpjaodan 799 1 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 709   = wceq 1364  wex 1503  wcel 2164  wne 2364  Vcvv 2760  wss 3153  c0 3446  wf 5242  cfv 5246  (class class class)co 5910  Fincfn 6785  0cc0 7862  1c1 7863  cmin 8180  cn 8972  0cn0 9230  cz 9307  cuz 9582  ...cfz 10064  ..^cfzo 10198  seqcseq 10508  chash 10836  Word cword 10904  Basecbs 12608  +gcplusg 12685  0gc0g 12857   Σg cgsu 12858  Mndcmnd 12987  SubMndcsubmnd 13020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-frec 6435  df-1o 6460  df-er 6578  df-en 6786  df-dom 6787  df-fin 6788  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-inn 8973  df-2 9031  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-fz 10065  df-fzo 10199  df-seqfrec 10509  df-ihash 10837  df-word 10905  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-plusg 12698  df-0g 12859  df-igsum 12860  df-submnd 13022
This theorem is referenced by:  gsumwcl  13059
  Copyright terms: Public domain W3C validator