MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1hegrvtxdg1r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1hegrvtxdg1r 26640
Description: The vertex degree of a graph with one hyperedge, case 3: an edge from some other vertex to the given vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 23-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1hegrvtxdg1.a (𝜑𝐴𝑋)
1hegrvtxdg1.b (𝜑𝐵𝑉)
1hegrvtxdg1.c (𝜑𝐶𝑉)
1hegrvtxdg1.n (𝜑𝐵𝐶)
1hegrvtxdg1.x (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hegrvtxdg1.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hegrvtxdg1.e (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
1hegrvtxdg1.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
1hegrvtxdg1r (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 1)

Proof of Theorem 1hegrvtxdg1r
StepHypRef Expression
1 1hegrvtxdg1.a . 2 (𝜑𝐴𝑋)
2 1hegrvtxdg1.c . 2 (𝜑𝐶𝑉)
3 1hegrvtxdg1.b . 2 (𝜑𝐵𝑉)
4 1hegrvtxdg1.n . . 3 (𝜑𝐵𝐶)
54necomd 2998 . 2 (𝜑𝐶𝐵)
6 1hegrvtxdg1.x . 2 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
7 1hegrvtxdg1.i . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
8 prcom 4404 . . 3 {𝐶, 𝐵} = {𝐵, 𝐶}
9 1hegrvtxdg1.e . . 3 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
108, 9syl5eqss 3799 . 2 (𝜑 → {𝐶, 𝐵} ⊆ 𝐸)
11 1hegrvtxdg1.v . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
121, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 111hegrvtxdg1 26639 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐶) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wss 3724  𝒫 cpw 4298  {csn 4317  {cpr 4319  cop 4323  cfv 6032  1c1 10140  Vtxcvtx 26096  iEdgciedg 26097  VtxDegcvtxdg 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-oadd 7718  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-card 8966  df-cda 9193  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-nn 11224  df-2 11282  df-n0 11496  df-xnn0 11567  df-z 11581  df-uz 11890  df-xadd 12153  df-fz 12535  df-hash 13323  df-vtxdg 26598
This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem4  27412
  Copyright terms: Public domain W3C validator