MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1hegrvtxdg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1hegrvtxdg1 28743
Description: The vertex degree of a graph with one hyperedge, case 2: an edge from the given vertex to some other vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 23-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1hegrvtxdg1.a (𝜑𝐴𝑋)
1hegrvtxdg1.b (𝜑𝐵𝑉)
1hegrvtxdg1.c (𝜑𝐶𝑉)
1hegrvtxdg1.n (𝜑𝐵𝐶)
1hegrvtxdg1.x (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hegrvtxdg1.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hegrvtxdg1.e (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
1hegrvtxdg1.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
1hegrvtxdg1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = 1)

Proof of Theorem 1hegrvtxdg1
StepHypRef Expression
1 1hegrvtxdg1.i . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
2 1hegrvtxdg1.v . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
3 1hegrvtxdg1.a . 2 (𝜑𝐴𝑋)
4 1hegrvtxdg1.b . 2 (𝜑𝐵𝑉)
5 1hegrvtxdg1.x . 2 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
6 1hegrvtxdg1.e . . 3 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
7 prid1g 4762 . . . 4 (𝐵𝑉𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
84, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
96, 8sseldd 3981 . 2 (𝜑𝐵𝐸)
10 1hegrvtxdg1.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑉)
11 prid2g 4763 . . . . 5 (𝐶𝑉𝐶 ∈ {𝐵, 𝐶})
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ {𝐵, 𝐶})
136, 12sseldd 3981 . . 3 (𝜑𝐶𝐸)
14 1hegrvtxdg1.n . . 3 (𝜑𝐵𝐶)
155, 9, 13, 14nehash2 14430 . 2 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
161, 2, 3, 4, 5, 9, 151hevtxdg1 28742 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wss 3946  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  {cpr 4628  cop 4632  cfv 6539  1c1 11106  Vtxcvtx 28235  iEdgciedg 28236  VtxDegcvtxdg 28701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-dju 9891  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-2 12270  df-n0 12468  df-xnn0 12540  df-z 12554  df-uz 12818  df-xadd 13088  df-fz 13480  df-hash 14286  df-vtxdg 28702
This theorem is referenced by:  1hegrvtxdg1r  28744  eupth2lem3lem4  29463
  Copyright terms: Public domain W3C validator