Theorem 1hegrvtxdg1 30118

Description: The vertex degree of a graph with one hyperedge, case 2: an edge from the given vertex to some other vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hegrvtxdg1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hegrvtxdg1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
1hegrvtxdg1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1hegrvtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
1hegrvtxdg1.x	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hegrvtxdg1.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hegrvtxdg1.e	⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
1hegrvtxdg1.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
1hegrvtxdg1	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = 1)

Proof of Theorem 1hegrvtxdg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hegrvtxdg1.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
2		1hegrvtxdg1.v	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
3		1hegrvtxdg1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
4		1hegrvtxdg1.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
5		1hegrvtxdg1.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
6		1hegrvtxdg1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
7		prid1g 4721	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
8	4, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
9	6, 8	sseldd 3914	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)
10		1hegrvtxdg1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
11		prid2g 4722	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐶})
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐶})
13	6, 12	sseldd 3914	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐸)
14		1hegrvtxdg1.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
15	5, 9, 13, 14	nehash2 14646	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
16	1, 2, 3, 4, 5, 9, 15	1hevtxdg1 30117	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  {cpr 4590  ⟨cop 4838  ‘cfv 6558  1c1 11228  Vtxcvtx 29604  iEdgciedg 29605  VtxDegcvtxdg 30076

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-xadd 13269  df-fz 13667  df-hash 14502  df-vtxdg 30077

This theorem is used by:  1hegrvtxdg1r  30119  eupth2lem3lem4  30862