Theorem 1hegrvtxdg1 29953

Description: The vertex degree of a graph with one hyperedge, case 2: an edge from the given vertex to some other vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hegrvtxdg1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hegrvtxdg1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
1hegrvtxdg1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1hegrvtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
1hegrvtxdg1.x	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hegrvtxdg1.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hegrvtxdg1.e	⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
1hegrvtxdg1.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
1hegrvtxdg1	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = 1)

Proof of Theorem 1hegrvtxdg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hegrvtxdg1.i	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
2		1hegrvtxdg1.v	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
3		1hegrvtxdg1.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
4		1hegrvtxdg1.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
5		1hegrvtxdg1.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
6		1hegrvtxdg1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ 𝐸)
7		prid1g 4724	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
8	4, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
9	6, 8	sseldd 3935	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐸)
10		1hegrvtxdg1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
11		prid2g 4725	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐶})
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ {𝐵, 𝐶})
13	6, 12	sseldd 3935	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐸)
14		1hegrvtxdg1.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
15	5, 9, 13, 14	nehash2 14541	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
16	1, 2, 3, 4, 5, 9, 15	1hevtxdg1 29952	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560  {csn 4587  {cpr 4589  ⟨cop 4593  ‘cfv 6537  1c1 11128  Vtxcvtx 29439  iEdgciedg 29440  VtxDegcvtxdg 29911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-xadd 13166  df-fz 13564  df-hash 14397  df-vtxdg 29912

This theorem is used by:  1hegrvtxdg1r  29954  eupth2lem3lem4  30697