Theorem 1loopgruspgr 29432

Description: A graph with one edge which is a loop is a simple pseudograph (see also uspgr1v1eop 29180). (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1loopgruspgr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
1loopgruspgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})

Assertion

Ref	Expression
1loopgruspgr	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)

Proof of Theorem 1loopgruspgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. 2 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		1loopgruspgr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		1loopgruspgr.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
4		1loopgruspgr.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
5	3, 4	eleqtrrd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		1loopgruspgr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
7		dfsn2 4637	. . . . . 6 ⊢ {𝑁} = {𝑁, 𝑁}
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑁} = {𝑁, 𝑁})
9	8	opeq2d 4879	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, {𝑁}⟩ = ⟨𝐴, {𝑁, 𝑁}⟩)
10	9	sneqd 4636	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {⟨𝐴, {𝑁, 𝑁}⟩})
11	6, 10	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁, 𝑁}⟩})
12	1, 2, 5, 5, 11	uspgr1e 29175	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4624  {cpr 4626  ⟨cop 4630  ‘cfv 6544  Vtxcvtx 28927  iEdgciedg 28928  USPGraphcuspgr 29079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-oadd 8490  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9935  df-card 9973  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-n0 12517  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12867  df-fz 13531  df-hash 14341  df-uspgr 29081

This theorem is referenced by:  1loopgrnb0  29434  1loopgrvd2  29435