Theorem 1loopgrvd2 28760

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. I. e. in a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has degree 2. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1loopgruspgr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
1loopgruspgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd2	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

Proof of Theorem 1loopgrvd2

Dummy variables 𝑎 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1loopgruspgr.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2		1loopgruspgr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		1loopgruspgr.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
4		1loopgruspgr.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
5	1, 2, 3, 4	1loopgruspgr 28757	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
6		uspgrushgr 28435	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ USHGraph)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USHGraph)
8	3, 1	eleqtrrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
9		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
11		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
12	9, 10, 11	vtxdushgrfvedg 28747	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
13	7, 8, 12	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
14		snex 5432	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑁} ∈ V
15		sneq 4639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {𝑁} → {𝑎} = {{𝑁}})
16	15	eqeq2d 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = {𝑁} → ({{𝑁}} = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {{𝑁}}))
17		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ {{𝑁}} = {{𝑁}}
18	14, 16, 17	ceqsexv2d 3529	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎}
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
20		snidg 4663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ {𝑁})
21	3, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑁})
22	21	iftrued 4537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}})
23	22	eqeq1d 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎}))
24	23	exbidv 1925	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎}))
25	19, 24	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
26	1, 2, 3, 4	1loopgredg 28758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝑁}})
27	26	rabeqdv 3448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁 ∈ 𝑒})
28		eleq2 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = {𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑒 ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
29	28	rabsnif 4728	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
30	27, 29	eqtrdi 2789	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
31	30	eqeq1d 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎} ↔ if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
32	31	exbidv 1925	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
33	25, 32	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎})
34		fvex 6905	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) ∈ V
35	34	rabex 5333	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ V
36		hash1snb 14379	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ V → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎}))
37	35, 36	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎})
38	33, 37	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1)
39		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑁} = {𝑁}
40	39	iftruei 4536	. . . . . . . 8 ⊢ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}}
41	40	eqeq1i 2738	. . . . . . 7 ⊢ (if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎})
42	41	exbii 1851	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
43	19, 42	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
44	26	rabeqdv 3448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}})
45		eqeq1 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = {𝑁} → (𝑒 = {𝑁} ↔ {𝑁} = {𝑁}))
46	45	rabsnif 4728	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
47	44, 46	eqtrdi 2789	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
48	47	eqeq1d 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
49	48	exbidv 1925	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
50	43, 49	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
51	34	rabex 5333	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ∈ V
52		hash1snb 14379	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ∈ V → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎}))
53	51, 52	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
54	50, 53	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1)
55	38, 54	oveq12d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})) = (1 +𝑒 1))
56		1re 11214	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
57		rexadd 13211	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 +𝑒 1) = (1 + 1))
58	56, 56, 57	mp2an 691	. . . 4 ⊢ (1 +𝑒 1) = (1 + 1)
59		1p1e2 12337	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
60	58, 59	eqtri 2761	. . 3 ⊢ (1 +𝑒 1) = 2
61	60	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 +𝑒 1) = 2)
62	13, 55, 61	3eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475  ∅c0 4323  ifcif 4529  {csn 4629  ⟨cop 4635  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  1c1 11111   + caddc 11113  2c2 12267   +_𝑒 cxad 13090  ♯chash 14290  Vtxcvtx 28256  iEdgciedg 28257  Edgcedg 28307  USHGraphcushgr 28317  USPGraphcuspgr 28408  VtxDegcvtxdg 28722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-xadd 13093  df-fz 13485  df-hash 14291  df-edg 28308  df-uhgr 28318  df-ushgr 28319  df-uspgr 28410  df-vtxdg 28723

This theorem is referenced by:  uspgrloopvd2  28777  eupth2lem3lem3  29483