Theorem 1loopgrvd2 29587

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. I. e. in a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has degree 2. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1loopgruspgr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
1loopgruspgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd2	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

Proof of Theorem 1loopgrvd2

Dummy variables 𝑎 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1loopgruspgr.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2		1loopgruspgr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		1loopgruspgr.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
4		1loopgruspgr.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
5	1, 2, 3, 4	1loopgruspgr 29584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
6		uspgrushgr 29260	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ USHGraph)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USHGraph)
8	3, 1	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
12	9, 10, 11	vtxdushgrfvedg 29574	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
13	7, 8, 12	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
14		snex 5376	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑁} ∈ V
15		sneq 4578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {𝑁} → {𝑎} = {{𝑁}})
16	15	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = {𝑁} → ({{𝑁}} = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {{𝑁}}))
17		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ {{𝑁}} = {{𝑁}}
18	14, 16, 17	ceqsexv2d 3480	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎}
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
20		snidg 4605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ {𝑁})
21	3, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑁})
22	21	iftrued 4475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}})
23	22	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎}))
24	23	exbidv 1923	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎}))
25	19, 24	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
26	1, 2, 3, 4	1loopgredg 29585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝑁}})
27	26	rabeqdv 3405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁 ∈ 𝑒})
28		eleq2 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = {𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑒 ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
29	28	rabsnif 4668	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
30	27, 29	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
31	30	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎} ↔ if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
32	31	exbidv 1923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
33	25, 32	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎})
34		fvex 6847	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) ∈ V
35	34	rabex 5276	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ V
36		hash1snb 14372	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ V → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎}))
37	35, 36	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎})
38	33, 37	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1)
39		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑁} = {𝑁}
40	39	iftruei 4474	. . . . . . . 8 ⊢ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}}
41	40	eqeq1i 2742	. . . . . . 7 ⊢ (if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎})
42	41	exbii 1850	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
43	19, 42	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
44	26	rabeqdv 3405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}})
45		eqeq1 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = {𝑁} → (𝑒 = {𝑁} ↔ {𝑁} = {𝑁}))
46	45	rabsnif 4668	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
47	44, 46	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
48	47	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
49	48	exbidv 1923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
50	43, 49	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
51	34	rabex 5276	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ∈ V
52		hash1snb 14372	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ∈ V → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎}))
53	51, 52	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
54	50, 53	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1)
55	38, 54	oveq12d 7378	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})) = (1 +𝑒 1))
56		1re 11135	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
57		rexadd 13175	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 +𝑒 1) = (1 + 1))
58	56, 56, 57	mp2an 693	. . . 4 ⊢ (1 +𝑒 1) = (1 + 1)
59		1p1e2 12292	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
60	58, 59	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (1 +𝑒 1) = 2
61	60	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 +𝑒 1) = 2)
62	13, 55, 61	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430  ∅c0 4274  ifcif 4467  {csn 4568  ⟨cop 4574  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032  2c2 12227   +_𝑒 cxad 13052  ♯chash 14283  Vtxcvtx 29079  iEdgciedg 29080  Edgcedg 29130  USHGraphcushgr 29140  USPGraphcuspgr 29231  VtxDegcvtxdg 29549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-xadd 13055  df-fz 13453  df-hash 14284  df-edg 29131  df-uhgr 29141  df-ushgr 29142  df-uspgr 29233  df-vtxdg 29550

This theorem is referenced by:  uspgrloopvd2  29604  eupth2lem3lem3  30315