MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1loopgrvd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1loopgrvd2 29536
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. I. e. in a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has degree 2. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1loopgruspgr.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a (𝜑𝐴𝑋)
1loopgruspgr.n (𝜑𝑁𝑉)
1loopgruspgr.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
Assertion
Ref Expression
1loopgrvd2 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

Proof of Theorem 1loopgrvd2
Dummy variables 𝑎 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1loopgruspgr.v . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2 1loopgruspgr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
3 1loopgruspgr.n . . . . 5 (𝜑𝑁𝑉)
4 1loopgruspgr.i . . . . 5 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
51, 2, 3, 41loopgruspgr 29533 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ USPGraph)
6 uspgrushgr 29209 . . . 4 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ USHGraph)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ USHGraph)
83, 1eleqtrrd 2842 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
9 eqid 2735 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10 eqid 2735 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
11 eqid 2735 . . . 4 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
129, 10, 11vtxdushgrfvedg 29523 . . 3 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
137, 8, 12syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
14 snex 5442 . . . . . . . 8 {𝑁} ∈ V
15 sneq 4641 . . . . . . . . 9 (𝑎 = {𝑁} → {𝑎} = {{𝑁}})
1615eqeq2d 2746 . . . . . . . 8 (𝑎 = {𝑁} → ({{𝑁}} = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {{𝑁}}))
17 eqid 2735 . . . . . . . 8 {{𝑁}} = {{𝑁}}
1814, 16, 17ceqsexv2d 3533 . . . . . . 7 𝑎{{𝑁}} = {𝑎}
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
20 snidg 4665 . . . . . . . . . 10 (𝑁𝑉𝑁 ∈ {𝑁})
213, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ {𝑁})
2221iftrued 4539 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}})
2322eqeq1d 2737 . . . . . . 7 (𝜑 → (if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎}))
2423exbidv 1919 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎}))
2519, 24mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
261, 2, 3, 41loopgredg 29534 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝑁}})
2726rabeqdv 3449 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁𝑒})
28 eleq2 2828 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {𝑁} → (𝑁𝑒𝑁 ∈ {𝑁}))
2928rabsnif 4728 . . . . . . . 8 {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
3027, 29eqtrdi 2791 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
3130eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑎} ↔ if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
3231exbidv 1919 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
3325, 32mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑎})
34 fvex 6920 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) ∈ V
3534rabex 5345 . . . . 5 {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} ∈ V
36 hash1snb 14455 . . . . 5 ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} ∈ V → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑎}))
3735, 36ax-mp 5 . . . 4 ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑎})
3833, 37sylibr 234 . . 3 (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) = 1)
39 eqid 2735 . . . . . . . . 9 {𝑁} = {𝑁}
4039iftruei 4538 . . . . . . . 8 if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}}
4140eqeq1i 2740 . . . . . . 7 (if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎})
4241exbii 1845 . . . . . 6 (∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
4319, 42sylibr 234 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
4426rabeqdv 3449 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}})
45 eqeq1 2739 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {𝑁} → (𝑒 = {𝑁} ↔ {𝑁} = {𝑁}))
4645rabsnif 4728 . . . . . . . 8 {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
4744, 46eqtrdi 2791 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
4847eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
4948exbidv 1919 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
5043, 49mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
5134rabex 5345 . . . . 5 {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ∈ V
52 hash1snb 14455 . . . . 5 ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ∈ V → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎}))
5351, 52ax-mp 5 . . . 4 ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
5450, 53sylibr 234 . . 3 (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1)
5538, 54oveq12d 7449 . 2 (𝜑 → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})) = (1 +𝑒 1))
56 1re 11259 . . . . 5 1 ∈ ℝ
57 rexadd 13271 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 +𝑒 1) = (1 + 1))
5856, 56, 57mp2an 692 . . . 4 (1 +𝑒 1) = (1 + 1)
59 1p1e2 12389 . . . 4 (1 + 1) = 2
6058, 59eqtri 2763 . . 3 (1 +𝑒 1) = 2
6160a1i 11 . 2 (𝜑 → (1 +𝑒 1) = 2)
6213, 55, 613eqtrd 2779 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  c0 4339  ifcif 4531  {csn 4631  cop 4637  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156  2c2 12319   +𝑒 cxad 13150  chash 14366  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  Edgcedg 29079  USHGraphcushgr 29089  USPGraphcuspgr 29180  VtxDegcvtxdg 29498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-xadd 13153  df-fz 13545  df-hash 14367  df-edg 29080  df-uhgr 29090  df-ushgr 29091  df-uspgr 29182  df-vtxdg 29499
This theorem is referenced by:  uspgrloopvd2  29553  eupth2lem3lem3  30259
  Copyright terms: Public domain W3C validator