Theorem 1loopgrvd2 28451

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. I. e. in a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has degree 2. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1loopgruspgr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
1loopgruspgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd2	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

Proof of Theorem 1loopgrvd2

Dummy variables 𝑎 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1loopgruspgr.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2		1loopgruspgr.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		1loopgruspgr.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
4		1loopgruspgr.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
5	1, 2, 3, 4	1loopgruspgr 28448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
6		uspgrushgr 28126	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ USHGraph)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USHGraph)
8	3, 1	eleqtrrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
12	9, 10, 11	vtxdushgrfvedg 28438	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
13	7, 8, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
14		snex 5388	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑁} ∈ V
15		sneq 4596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {𝑁} → {𝑎} = {{𝑁}})
16	15	eqeq2d 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = {𝑁} → ({{𝑁}} = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {{𝑁}}))
17		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ {{𝑁}} = {{𝑁}}
18	14, 16, 17	ceqsexv2d 3497	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎}
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
20		snidg 4620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ {𝑁})
21	3, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑁})
22	21	iftrued 4494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}})
23	22	eqeq1d 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎}))
24	23	exbidv 1924	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎}))
25	19, 24	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
26	1, 2, 3, 4	1loopgredg 28449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝑁}})
27	26	rabeqdv 3422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁 ∈ 𝑒})
28		eleq2 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = {𝑁} → (𝑁 ∈ 𝑒 ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
29	28	rabsnif 4684	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
30	27, 29	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
31	30	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎} ↔ if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
32	31	exbidv 1924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
33	25, 32	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎})
34		fvex 6855	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) ∈ V
35	34	rabex 5289	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ V
36		hash1snb 14319	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ V → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎}))
37	35, 36	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑎})
38	33, 37	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1)
39		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑁} = {𝑁}
40	39	iftruei 4493	. . . . . . . 8 ⊢ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}}
41	40	eqeq1i 2741	. . . . . . 7 ⊢ (if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎})
42	41	exbii 1850	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
43	19, 42	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
44	26	rabeqdv 3422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}})
45		eqeq1 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = {𝑁} → (𝑒 = {𝑁} ↔ {𝑁} = {𝑁}))
46	45	rabsnif 4684	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
47	44, 46	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
48	47	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
49	48	exbidv 1924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
50	43, 49	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
51	34	rabex 5289	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ∈ V
52		hash1snb 14319	. . . . 5 ⊢ ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ∈ V → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎}))
53	51, 52	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
54	50, 53	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1)
55	38, 54	oveq12d 7375	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})) = (1 +𝑒 1))
56		1re 11155	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
57		rexadd 13151	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 +𝑒 1) = (1 + 1))
58	56, 56, 57	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (1 +𝑒 1) = (1 + 1)
59		1p1e2 12278	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
60	58, 59	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (1 +𝑒 1) = 2
61	60	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 +𝑒 1) = 2)
62	13, 55, 61	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  {crab 3407  Vcvv 3445  ∅c0 4282  ifcif 4486  {csn 4586  ⟨cop 4592  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  1c1 11052   + caddc 11054  2c2 12208   +_𝑒 cxad 13031  ♯chash 14230  Vtxcvtx 27947  iEdgciedg 27948  Edgcedg 27998  USHGraphcushgr 28008  USPGraphcuspgr 28099  VtxDegcvtxdg 28413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-xadd 13034  df-fz 13425  df-hash 14231  df-edg 27999  df-uhgr 28009  df-ushgr 28010  df-uspgr 28101  df-vtxdg 28414

This theorem is referenced by:  uspgrloopvd2  28468  eupth2lem3lem3  29174