MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1loopgrvd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1loopgrvd2 29521
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. I. e. in a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has degree 2. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1loopgruspgr.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a (𝜑𝐴𝑋)
1loopgruspgr.n (𝜑𝑁𝑉)
1loopgruspgr.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
Assertion
Ref Expression
1loopgrvd2 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)

Proof of Theorem 1loopgrvd2
Dummy variables 𝑎 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1loopgruspgr.v . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2 1loopgruspgr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
3 1loopgruspgr.n . . . . 5 (𝜑𝑁𝑉)
4 1loopgruspgr.i . . . . 5 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
51, 2, 3, 41loopgruspgr 29518 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ USPGraph)
6 uspgrushgr 29194 . . . 4 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ USHGraph)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ USHGraph)
83, 1eleqtrrd 2844 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
9 eqid 2737 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10 eqid 2737 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
11 eqid 2737 . . . 4 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
129, 10, 11vtxdushgrfvedg 29508 . . 3 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
137, 8, 12syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
14 snex 5436 . . . . . . . 8 {𝑁} ∈ V
15 sneq 4636 . . . . . . . . 9 (𝑎 = {𝑁} → {𝑎} = {{𝑁}})
1615eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 (𝑎 = {𝑁} → ({{𝑁}} = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {{𝑁}}))
17 eqid 2737 . . . . . . . 8 {{𝑁}} = {{𝑁}}
1814, 16, 17ceqsexv2d 3533 . . . . . . 7 𝑎{{𝑁}} = {𝑎}
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
20 snidg 4660 . . . . . . . . . 10 (𝑁𝑉𝑁 ∈ {𝑁})
213, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ {𝑁})
2221iftrued 4533 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}})
2322eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (𝜑 → (if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎}))
2423exbidv 1921 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎}))
2519, 24mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
261, 2, 3, 41loopgredg 29519 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝑁}})
2726rabeqdv 3452 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁𝑒})
28 eleq2 2830 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {𝑁} → (𝑁𝑒𝑁 ∈ {𝑁}))
2928rabsnif 4723 . . . . . . . 8 {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
3027, 29eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
3130eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑎} ↔ if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
3231exbidv 1921 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
3325, 32mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑎})
34 fvex 6919 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) ∈ V
3534rabex 5339 . . . . 5 {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} ∈ V
36 hash1snb 14458 . . . . 5 ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} ∈ V → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑎}))
3735, 36ax-mp 5 . . . 4 ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒} = {𝑎})
3833, 37sylibr 234 . . 3 (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) = 1)
39 eqid 2737 . . . . . . . . 9 {𝑁} = {𝑁}
4039iftruei 4532 . . . . . . . 8 if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {{𝑁}}
4140eqeq1i 2742 . . . . . . 7 (if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ {{𝑁}} = {𝑎})
4241exbii 1848 . . . . . 6 (∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎} ↔ ∃𝑎{{𝑁}} = {𝑎})
4319, 42sylibr 234 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎})
4426rabeqdv 3452 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}})
45 eqeq1 2741 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {𝑁} → (𝑒 = {𝑁} ↔ {𝑁} = {𝑁}))
4645rabsnif 4723 . . . . . . . 8 {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅)
4744, 46eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅))
4847eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
4948exbidv 1921 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎} ↔ ∃𝑎if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, ∅) = {𝑎}))
5043, 49mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
5134rabex 5339 . . . . 5 {𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ∈ V
52 hash1snb 14458 . . . . 5 ({𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ∈ V → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎}))
5351, 52ax-mp 5 . . . 4 ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1 ↔ ∃𝑎{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑎})
5450, 53sylibr 234 . . 3 (𝜑 → (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1)
5538, 54oveq12d 7449 . 2 (𝜑 → ((♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑁𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ (Edg‘𝐺) ∣ 𝑒 = {𝑁}})) = (1 +𝑒 1))
56 1re 11261 . . . . 5 1 ∈ ℝ
57 rexadd 13274 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 +𝑒 1) = (1 + 1))
5856, 56, 57mp2an 692 . . . 4 (1 +𝑒 1) = (1 + 1)
59 1p1e2 12391 . . . 4 (1 + 1) = 2
6058, 59eqtri 2765 . . 3 (1 +𝑒 1) = 2
6160a1i 11 . 2 (𝜑 → (1 +𝑒 1) = 2)
6213, 55, 613eqtrd 2781 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626  cop 4632  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158  2c2 12321   +𝑒 cxad 13152  chash 14369  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  Edgcedg 29064  USHGraphcushgr 29074  USPGraphcuspgr 29165  VtxDegcvtxdg 29483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-xadd 13155  df-fz 13548  df-hash 14370  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-ushgr 29076  df-uspgr 29167  df-vtxdg 29484
This theorem is referenced by:  uspgrloopvd2  29538  eupth2lem3lem3  30249
  Copyright terms: Public domain W3C validator