MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1loopgrvd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1loopgrvd2 28493
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. I. e. in a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has degree 2. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1loopgruspgr.v (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜πΊ) = 𝑉)
1loopgruspgr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
1loopgruspgr.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑉)
1loopgruspgr.i (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
Assertion
Ref Expression
1loopgrvd2 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) = 2)

Proof of Theorem 1loopgrvd2
Dummy variables π‘Ž 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1loopgruspgr.v . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜πΊ) = 𝑉)
2 1loopgruspgr.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3 1loopgruspgr.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑉)
4 1loopgruspgr.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
51, 2, 3, 41loopgruspgr 28490 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ USPGraph)
6 uspgrushgr 28168 . . . 4 (𝐺 ∈ USPGraph β†’ 𝐺 ∈ USHGraph)
75, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ USHGraph)
83, 1eleqtrrd 2841 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
9 eqid 2737 . . . 4 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
10 eqid 2737 . . . 4 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
11 eqid 2737 . . . 4 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
129, 10, 11vtxdushgrfvedg 28480 . . 3 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑁 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) = ((β™―β€˜{𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) +𝑒 (β™―β€˜{𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
137, 8, 12syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) = ((β™―β€˜{𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) +𝑒 (β™―β€˜{𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑒 = {𝑁}})))
14 snex 5393 . . . . . . . 8 {𝑁} ∈ V
15 sneq 4601 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = {𝑁} β†’ {π‘Ž} = {{𝑁}})
1615eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 (π‘Ž = {𝑁} β†’ ({{𝑁}} = {π‘Ž} ↔ {{𝑁}} = {{𝑁}}))
17 eqid 2737 . . . . . . . 8 {{𝑁}} = {{𝑁}}
1814, 16, 17ceqsexv2d 3500 . . . . . . 7 βˆƒπ‘Ž{{𝑁}} = {π‘Ž}
1918a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž{{𝑁}} = {π‘Ž})
20 snidg 4625 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ 𝑁 ∈ {𝑁})
213, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ {𝑁})
2221iftrued 4499 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, βˆ…) = {{𝑁}})
2322eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, βˆ…) = {π‘Ž} ↔ {{𝑁}} = {π‘Ž}))
2423exbidv 1925 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Žif(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, βˆ…) = {π‘Ž} ↔ βˆƒπ‘Ž{{𝑁}} = {π‘Ž}))
2519, 24mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Žif(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, βˆ…) = {π‘Ž})
261, 2, 3, 41loopgredg 28491 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Edgβ€˜πΊ) = {{𝑁}})
2726rabeqdv 3425 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁 ∈ 𝑒})
28 eleq2 2827 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {𝑁} β†’ (𝑁 ∈ 𝑒 ↔ 𝑁 ∈ {𝑁}))
2928rabsnif 4689 . . . . . . . 8 {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, βˆ…)
3027, 29eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, βˆ…))
3130eqeq1d 2739 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {π‘Ž} ↔ if(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, βˆ…) = {π‘Ž}))
3231exbidv 1925 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž{𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {π‘Ž} ↔ βˆƒπ‘Žif(𝑁 ∈ {𝑁}, {{𝑁}}, βˆ…) = {π‘Ž}))
3325, 32mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž{𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {π‘Ž})
34 fvex 6860 . . . . . 6 (Edgβ€˜πΊ) ∈ V
3534rabex 5294 . . . . 5 {𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ V
36 hash1snb 14326 . . . . 5 ({𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} ∈ V β†’ ((β™―β€˜{𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1 ↔ βˆƒπ‘Ž{𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {π‘Ž}))
3735, 36ax-mp 5 . . . 4 ((β™―β€˜{𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1 ↔ βˆƒπ‘Ž{𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒} = {π‘Ž})
3833, 37sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) = 1)
39 eqid 2737 . . . . . . . . 9 {𝑁} = {𝑁}
4039iftruei 4498 . . . . . . . 8 if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, βˆ…) = {{𝑁}}
4140eqeq1i 2742 . . . . . . 7 (if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, βˆ…) = {π‘Ž} ↔ {{𝑁}} = {π‘Ž})
4241exbii 1851 . . . . . 6 (βˆƒπ‘Žif({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, βˆ…) = {π‘Ž} ↔ βˆƒπ‘Ž{{𝑁}} = {π‘Ž})
4319, 42sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Žif({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, βˆ…) = {π‘Ž})
4426rabeqdv 3425 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}})
45 eqeq1 2741 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {𝑁} β†’ (𝑒 = {𝑁} ↔ {𝑁} = {𝑁}))
4645rabsnif 4689 . . . . . . . 8 {𝑒 ∈ {{𝑁}} ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, βˆ…)
4744, 46eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, βˆ…))
4847eqeq1d 2739 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {π‘Ž} ↔ if({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, βˆ…) = {π‘Ž}))
4948exbidv 1925 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž{𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {π‘Ž} ↔ βˆƒπ‘Žif({𝑁} = {𝑁}, {{𝑁}}, βˆ…) = {π‘Ž}))
5043, 49mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž{𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {π‘Ž})
5134rabex 5294 . . . . 5 {𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ∈ V
52 hash1snb 14326 . . . . 5 ({𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑒 = {𝑁}} ∈ V β†’ ((β™―β€˜{𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1 ↔ βˆƒπ‘Ž{𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {π‘Ž}))
5351, 52ax-mp 5 . . . 4 ((β™―β€˜{𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1 ↔ βˆƒπ‘Ž{𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑒 = {𝑁}} = {π‘Ž})
5450, 53sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑒 = {𝑁}}) = 1)
5538, 54oveq12d 7380 . 2 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜{𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ 𝑒}) +𝑒 (β™―β€˜{𝑒 ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∣ 𝑒 = {𝑁}})) = (1 +𝑒 1))
56 1re 11162 . . . . 5 1 ∈ ℝ
57 rexadd 13158 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (1 +𝑒 1) = (1 + 1))
5856, 56, 57mp2an 691 . . . 4 (1 +𝑒 1) = (1 + 1)
59 1p1e2 12285 . . . 4 (1 + 1) = 2
6058, 59eqtri 2765 . . 3 (1 +𝑒 1) = 2
6160a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (1 +𝑒 1) = 2)
6213, 55, 613eqtrd 2781 1 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {crab 3410  Vcvv 3448  βˆ…c0 4287  ifcif 4491  {csn 4591  βŸ¨cop 4597  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  1c1 11059   + caddc 11061  2c2 12215   +𝑒 cxad 13038  β™―chash 14237  Vtxcvtx 27989  iEdgciedg 27990  Edgcedg 28040  USHGraphcushgr 28050  USPGraphcuspgr 28141  VtxDegcvtxdg 28455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-xadd 13041  df-fz 13432  df-hash 14238  df-edg 28041  df-uhgr 28051  df-ushgr 28052  df-uspgr 28143  df-vtxdg 28456
This theorem is referenced by:  uspgrloopvd2  28510  eupth2lem3lem3  29216
  Copyright terms: Public domain W3C validator