Theorem 2strop 17235

Description: The other slot of a constructed two-slot structure not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
2str.b	⊢ (Base‘ndx) < 𝑁
2str.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
2str.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁

Assertion

Ref	Expression
2strop	⊢ ( + ∈ 𝑉 → + = (𝐸‘𝐺))

Proof of Theorem 2strop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2str.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
2		2str.b	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) < 𝑁
3		2str.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	2strstr 17233	. 2 ⊢ 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑁⟩
5		2str.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
6	5, 3	ndxid 17201	. 2 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
7		snsspr2 4788	. . 3 ⊢ {⟨𝑁, + ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
8	5, 3	ndxarg 17200	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
9	8	opeq1i 4849	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), + ⟩ = ⟨𝑁, + ⟩
10	9	sneqi 4610	. . 3 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} = {⟨𝑁, + ⟩}
11	7, 10, 1	3sstr4i 4008	. 2 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), + ⟩} ⊆ 𝐺
12	4, 6, 11	strfv 17207	1 ⊢ ( + ∈ 𝑉 → + = (𝐸‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {csn 4599  {cpr 4601  ⟨cop 4605   class class class wbr 5116  ‘cfv 6527   < clt 11261  ℕcn 12232  Slot cslot 17185  ndxcnx 17197  Basecbs 17213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-n0 12494  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13514  df-struct 17151  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214

This theorem is referenced by:  grpplusg  17289  isposix  18321  eltpsg  22866  indistpsALT  22936  tuslem  24190  tmslem  24406  resipos  48828