Theorem 2txmodxeq0 14075

Description: Two times a positive real number modulo the real number is zero. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2txmodxeq0	⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → ((2 · 𝑋) mod 𝑋) = 0)

Proof of Theorem 2txmodxeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 12422	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
2		rpcn 13132	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 𝑋 ∈ ℂ)
3		rpne0 13138	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 𝑋 ≠ 0)
4	1, 2, 3	divcan4d 12100	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → ((2 · 𝑋) / 𝑋) = 2)
5		2z 12729	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
6	4, 5	eqeltrdi 2869	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → ((2 · 𝑋) / 𝑋) ∈ ℤ)
7		2re 12418	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ)
9		rpre 13130	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → 𝑋 ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 11340	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (2 · 𝑋) ∈ ℝ)
11		mod0 14017	. . 3 ⊢ (((2 · 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+) → (((2 · 𝑋) mod 𝑋) = 0 ↔ ((2 · 𝑋) / 𝑋) ∈ ℤ))
12	10, 11	mpancom 701	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → (((2 · 𝑋) mod 𝑋) = 0 ↔ ((2 · 𝑋) / 𝑋) ∈ ℤ))
13	6, 12	mpbird 260	1 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ+ → ((2 · 𝑋) mod 𝑋) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7421  ℝcr 11200  0cc0 11201   · cmul 11206   / cdiv 11974  2c2 12398  ℤcz 12694  ℝ⁺crp 13121   mod cmo 14010

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9435  df-inf 9436  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fl 13933  df-mod 14011

This theorem is used by: (None)