MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2submod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2submod 12939
Description: If a real number is between a positive real number and twice the positive real number, the real number modulo the positive real number equals the real number minus the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
2submod (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem 2submod
StepHypRef Expression
1 rpre 12036 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
2 ax-1rid 10259 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
43adantl 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
54oveq2d 6858 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − (𝐵 · 1)) = (𝐴𝐵))
65oveq1d 6857 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = ((𝐴𝐵) mod 𝐵))
76adantr 472 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = ((𝐴𝐵) mod 𝐵))
8 simpl 474 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 simpr 477 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
10 1zzd 11655 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℤ)
118, 9, 103jca 1158 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ))
1211adantr 472 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ))
13 modcyc2 12914 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
1412, 13syl 17 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
15 resubcl 10599 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
161, 15sylan2 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
1716, 9jca 507 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
1817adantr 472 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
19 subge0 10795 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
201, 19sylan2 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
2120bicomd 214 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴𝐵)))
22 rpcn 12040 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ)
23222timesd 11521 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ+ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
2423adantl 473 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
2524breq2d 4821 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < (2 · 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐵 + 𝐵)))
261adantl 473 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
278, 26, 26ltsubaddd 10877 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴𝐵) < 𝐵𝐴 < (𝐵 + 𝐵)))
2825, 27bitr4d 273 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴𝐵) < 𝐵))
2921, 28anbi12d 624 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵)) ↔ (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) < 𝐵)))
3029biimpa 468 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) < 𝐵))
31 modid 12903 . . 3 ((((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) < 𝐵)) → ((𝐴𝐵) mod 𝐵) = (𝐴𝐵))
3218, 30, 31syl2anc 579 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴𝐵) mod 𝐵) = (𝐴𝐵))
337, 14, 323eqtr3d 2807 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155   class class class wbr 4809  (class class class)co 6842  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  2c2 11327  cz 11624  +crp 12028   mod cmo 12876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fl 12801  df-mod 12877
This theorem is referenced by:  modifeq2int  12940  modaddmodup  12941  crctcshwlkn0lem5  26998
  Copyright terms: Public domain W3C validator