Theorem 2submod 13935

Description: If a real number is between a positive real number and twice the positive real number, the real number modulo the positive real number equals the real number minus the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2submod	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem 2submod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12992	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
2		ax-1rid 11133	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
4	3	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
5	4	oveq2d 7401	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − (𝐵 · 1)) = (𝐴 − 𝐵))
6	5	oveq1d 7400	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐵))
7	6	adantr 483	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐵))
8		simpl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
10		1zzd 12592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℤ)
11	8, 9, 10	3jca 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ))
12	11	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ))
13		modcyc2 13907	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
15		resubcl 11485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
16	1, 15	sylan2 601	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
17	16, 9	jca 518	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
18		subge0 11690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
19	1, 18	sylan2 601	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
20	19	bicomd 225	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
21		rpcn 12994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
22	21	2timesd 12454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
23	22	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
24	23	breq2d 5106	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < (2 · 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐵 + 𝐵)))
25	1	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
26	8, 25, 25	ltsubaddd 11773	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐵) < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐵 + 𝐵)))
27	24, 26	bitr4d 284	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) < 𝐵))
28	20, 27	anbi12d 640	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ↔ (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐵)))
29	28	biimpa 479	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐵))
30		modid 13896	. . 3 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
31	17, 29, 30	syl2an2r 693	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
32	7, 14, 31	3eqtr3d 2799	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   class class class wbr 5094  (class class class)co 7385  ℝcr 11062  0cc0 11063  1c1 11064   + caddc 11066   · cmul 11068   < clt 11206   ≤ cle 11207   − cmin 11404  2c2 12262  ℤcz 12558  ℝ⁺crp 12983   mod cmo 13869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-rp 12984  df-fl 13792  df-mod 13870

This theorem is referenced by:  modifeq2int  13936  modaddmodup  13937  crctcshwlkn0lem5  29953