Theorem 2submod 13901

Description: If a real number is between a positive real number and twice the positive real number, the real number modulo the positive real number equals the real number minus the positive real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2submod	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem 2submod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12986	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
2		ax-1rid 11182	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
4	3	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
5	4	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − (𝐵 · 1)) = (𝐴 − 𝐵))
6	5	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐵))
7	6	adantr 479	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐵))
8		simpl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
10		1zzd 12597	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℤ)
11	8, 9, 10	3jca 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ))
12	11	adantr 479	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ))
13		modcyc2 13876	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴 − (𝐵 · 1)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
15		resubcl 11528	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
16	1, 15	sylan2 591	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
17	16, 9	jca 510	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
18		subge0 11731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
19	1, 18	sylan2 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
20	19	bicomd 222	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 − 𝐵)))
21		rpcn 12988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
22	21	2timesd 12459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
23	22	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
24	23	breq2d 5159	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < (2 · 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐵 + 𝐵)))
25	1	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
26	8, 25, 25	ltsubaddd 11814	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − 𝐵) < 𝐵 ↔ 𝐴 < (𝐵 + 𝐵)))
27	24, 26	bitr4d 281	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < (2 · 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) < 𝐵))
28	20, 27	anbi12d 629	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ↔ (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐵)))
29	28	biimpa 475	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐵))
30		modid 13865	. . 3 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝐴 − 𝐵) ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
31	17, 29, 30	syl2an2r 681	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
32	7, 14, 31	3eqtr3d 2778	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448  2c2 12271  ℤcz 12562  ℝ⁺crp 12978   mod cmo 13838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761  df-mod 13839

This theorem is referenced by:  modifeq2int  13902  modaddmodup  13903  crctcshwlkn0lem5  29335