Theorem prodsplit 41480

Description: Product split into two factors, original by Steven Nguyen. (Contributed by metakunt, 21-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodsplit.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
prodsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
prodsplit.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
prodsplit.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
prodsplit.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾))) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
prodsplit	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem prodsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodsplit.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 12662	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
3	2	ltp1d 12140	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 1))
4		fzdisj 13524	. . 3 ⊢ (𝑁 < (𝑁 + 1) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))) = ∅)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))) = ∅)
6		prodsplit.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		prodsplit.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12580	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
9	1, 8	zaddcld 12666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
10		prodsplit.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
11		nn0addge1 12514	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐾))
12	2, 7, 11	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐾))
13	6, 9, 1, 10, 12	elfzd 13488	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾)))
14		fzsplit 13523	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑀...(𝑁 + 𝐾)) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 𝐾)) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))))
16		fzfid 13934	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 𝐾)) ∈ Fin)
17		prodsplit.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾))) → 𝐴 ∈ ℂ)
18	5, 15, 16, 17	fprodsplit 15906	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3938   ∩ cin 3939  ∅c0 4314   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  ℂcc 11103  ℝcr 11104  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ...cfz 13480  ∏cprod 15845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-prod 15846

This theorem is referenced by: (None)