Theorem prodsplit 41016

Description: Product split into two factors, original by Steven Nguyen. (Contributed by metakunt, 21-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodsplit.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
prodsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
prodsplit.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
prodsplit.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
prodsplit.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾))) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
prodsplit	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem prodsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodsplit.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 12665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
3	2	ltp1d 12143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 1))
4		fzdisj 13527	. . 3 ⊢ (𝑁 < (𝑁 + 1) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))) = ∅)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))) = ∅)
6		prodsplit.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		prodsplit.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
9	1, 8	zaddcld 12669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
10		prodsplit.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
11		nn0addge1 12517	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐾))
12	2, 7, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐾))
13	6, 9, 1, 10, 12	elfzd 13491	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾)))
14		fzsplit 13526	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑀...(𝑁 + 𝐾)) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 𝐾)) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))))
16		fzfid 13937	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 𝐾)) ∈ Fin)
17		prodsplit.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾))) → 𝐴 ∈ ℂ)
18	5, 15, 16, 17	fprodsplit 15909	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℝcr 11108  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   < clt 11247   ≤ cle 11248  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557  ...cfz 13483  ∏cprod 15848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-prod 15849

This theorem is referenced by: (None)