Theorem prodsplit 40411

Description: Product split into two factors, original by Steven Nguyen. (Contributed by metakunt, 21-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodsplit.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
prodsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
prodsplit.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
prodsplit.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
prodsplit.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾))) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
prodsplit	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem prodsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodsplit.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 12519	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
3	2	ltp1d 11998	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < (𝑁 + 1))
4		fzdisj 13376	. . 3 ⊢ (𝑁 < (𝑁 + 1) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))) = ∅)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))) = ∅)
6		prodsplit.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		prodsplit.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12517	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
9	1, 8	zaddcld 12523	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
10		prodsplit.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
11		nn0addge1 12372	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐾))
12	2, 7, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐾))
13	6, 9, 1, 10, 12	elfzd 13340	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾)))
14		fzsplit 13375	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑀...(𝑁 + 𝐾)) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 𝐾)) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))))
16		fzfid 13786	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 𝐾)) ∈ Fin)
17		prodsplit.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾))) → 𝐴 ∈ ℂ)
18	5, 15, 16, 17	fprodsplit 15767	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896  ∅c0 4268   class class class wbr 5089  (class class class)co 7329  ℂcc 10962  ℝcr 10963  1c1 10965   + caddc 10967   · cmul 10969   < clt 11102   ≤ cle 11103  ℕ₀cn0 12326  ℤcz 12412  ...cfz 13332  ∏cprod 15706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-sup 9291  df-oi 9359  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-rp 12824  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-seq 13815  df-exp 13876  df-hash 14138  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-clim 15288  df-prod 15707

This theorem is referenced by: (None)