Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prodsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodsplit 39336
 Description: Product split into two factors, original by Steven Nguyen. (Contributed by metakunt, 21-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodsplit.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
prodsplit.2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
prodsplit.3 (𝜑𝑀𝑁)
prodsplit.4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
prodsplit.5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾))) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
prodsplit (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem prodsplit
StepHypRef Expression
1 prodsplit.2 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21zred 12075 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
32ltp1d 11559 . . 3 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 1))
4 fzdisj 12929 . . 3 (𝑁 < (𝑁 + 1) → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))) = ∅)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑀...𝑁) ∩ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))) = ∅)
6 prodsplit.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 prodsplit.4 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
87nn0zd 12073 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
91, 8zaddcld 12079 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
10 prodsplit.3 . . . 4 (𝜑𝑀𝑁)
11 nn0addge1 11931 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐾))
122, 7, 11syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐾))
13 elfz4 12895 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑁𝑁 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾)))
146, 9, 1, 10, 12, 13syl32anc 1375 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾)))
15 fzsplit 12928 . . 3 (𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑀...(𝑁 + 𝐾)) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))))
1614, 15syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 𝐾)) = ((𝑀...𝑁) ∪ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))))
17 fzfid 13336 . 2 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 𝐾)) ∈ Fin)
18 prodsplit.5 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾))) → 𝐴 ∈ ℂ)
195, 16, 17, 18fprodsplit 15311 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 𝐾))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑁 + 1)...(𝑁 + 𝐾))𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3906   ∩ cin 3907  ∅c0 4265   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  ℂcc 10524  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℕ0cn0 11885  ℤcz 11969  ...cfz 12885  ∏cprod 15250 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-prod 15251 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator