Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prodsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodsplit 40659
Description: Product split into two factors, original by Steven Nguyen. (Contributed by metakunt, 21-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodsplit.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
prodsplit.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
prodsplit.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
prodsplit.4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
prodsplit.5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + ๐พ))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
prodsplit (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + ๐พ))๐ด = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘ + 1)...(๐‘ + ๐พ))๐ด))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐พ   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐ด(๐‘˜)

Proof of Theorem prodsplit
StepHypRef Expression
1 prodsplit.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
21zred 12612 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
32ltp1d 12090 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < (๐‘ + 1))
4 fzdisj 13474 . . 3 (๐‘ < (๐‘ + 1) โ†’ ((๐‘€...๐‘) โˆฉ ((๐‘ + 1)...(๐‘ + ๐พ))) = โˆ…)
53, 4syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€...๐‘) โˆฉ ((๐‘ + 1)...(๐‘ + ๐พ))) = โˆ…)
6 prodsplit.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
7 prodsplit.4 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
87nn0zd 12530 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
91, 8zaddcld 12616 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + ๐พ) โˆˆ โ„ค)
10 prodsplit.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
11 nn0addge1 12464 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘ + ๐พ))
122, 7, 11syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘ + ๐พ))
136, 9, 1, 10, 12elfzd 13438 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + ๐พ)))
14 fzsplit 13473 . . 3 (๐‘ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + ๐พ)) โ†’ (๐‘€...(๐‘ + ๐พ)) = ((๐‘€...๐‘) โˆช ((๐‘ + 1)...(๐‘ + ๐พ))))
1513, 14syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€...(๐‘ + ๐พ)) = ((๐‘€...๐‘) โˆช ((๐‘ + 1)...(๐‘ + ๐พ))))
16 fzfid 13884 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€...(๐‘ + ๐พ)) โˆˆ Fin)
17 prodsplit.5 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + ๐พ))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
185, 15, 16, 17fprodsplit 15854 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + ๐พ))๐ด = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘ + 1)...(๐‘ + ๐พ))๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆช cun 3909   โˆฉ cin 3910  โˆ…c0 4283   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  ...cfz 13430  โˆcprod 15793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-prod 15794
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator